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Durée de l’épreuve : 4 heures. Les calculatrices sont interdites.
Sujet du Concours commun INP 2026.
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
Ce sujet est composé de deux exercices et d’un problème tous indépendants.
Soient \(a\) et \(b\) deux réels, \(a\neq0\),
on considère la matrice \[A=\begin{pmatrix} a+b & a & a\\ a & a+b & a\\ a & a & a+b\end{pmatrix} \quad\text{et on note}\quad J=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\]
Quel est le rang de la matrice \(J\) ? Diagonaliser la matrice \(J\) sans calculer de déterminant. On ne demande pas la matrice de passage.
En déduire que la matrice \(A\) est semblable à une matrice diagonale que l’on précisera.
Justifier, sans calculs, que le polynôme minimal de la matrice \(A\) est : \(\pi_A=(X-b)(X-3a-b)\).
Déterminer les puissances successives de \(A\) par deux méthodes différentes :
En déterminant le reste dans la division euclidienne de \(X^n\) par le polynôme \(\pi_A=(X-b)(X-3a-b)\).
On pourra laisser la réponse en fonction des matrices \(A\) et \(I\).
Pour simplifier les calculs, on posera \(\lambda=3a+b\) et on pourra laisser \(\lambda\) dans la réponse.
Calculer \(J^k\) pour tout entier \(k\geqslant1\), puis utiliser \(A=aJ+bI\).
On pourra laisser la réponse en fonction des matrices \(J\) et \(I\) (sans le signe somme).
Dans cet exercice \(n\) est un entier naturel non nul.
On note \(P=a_0+a_1X+a_2X^2+\dots+a_{n-1}X^{n-1}\) un polynôme de degré \(n-1\) à coefficients réels.
On note, pour \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\), \(\omega_k=\mathrm{e}^{\frac{i2k\pi}{n}}\) les \(n\) racines \(n\)-ièmes de l’unité.
Le but de l’exercice est de démontrer le résultat suivant :
(\(\ast\)) le produit \(P(\omega_1)P(\omega_2)\dots P(\omega_{n-1})\) est un nombre réel.
Exemple.
Si on note \(j=\mathrm{e}^{\frac{i2\pi}{3}}\), déterminer ce que vaut \(1+j+j^2\).
Choisir un polynôme de votre choix de degré 2 à coefficients réels tous non nuls et tous différents et vérifier le résultat (\(\ast\)).
On note la matrice \(J\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) : \[J=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \ddots & & \vdots\\ \vdots & 0 & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & 1 & 0\\ 0 & & & \ddots & 0 & 1\\ 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix}\] (chaque ligne et chaque colonne contient un et un seul 1).
Démontrer que le polynôme caractéristique de la matrice \(J\) est \(\chi_J=X^n-1\).
On note \[A=\begin{pmatrix} a_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-2} & a_{n-1}\\ a_{n-1} & a_0 & a_1 & \cdots & a_{n-3} & a_{n-2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\ a_2 & a_3 & a_4 & \cdots & a_0 & a_1\\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_{n-1} & a_0 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\] (les coefficients du polynôme \(P\) se trouvent sur la première ligne, puis sur les lignes suivantes avec un « décalage d’une case vers la droite »).
Comparer la matrice \(A\) et la matrice \(P(J)\) (on ne demande pas le détail des calculs).
Diagonaliser la matrice \(J\) dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) (on ne demande pas la matrice de passage), puis diagonaliser la matrice \(A\) dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\).
En déduire le résultat (\(\ast\)).
Question de cours.
Si \(E\) est un espace préhilbertien réel muni d’un produit scalaire \(\langle\ |\ \rangle\) et de sa norme euclidienne associée notée \(\|\ \|\), si \(F\) est un sous-espace vectoriel de dimension finie de \(E\), on définit le projeté orthogonal sur \(F\) d’un vecteur \(x\) de \(E\) noté \(p_F(x)\) ainsi :
\(p_F(x)\) est l’unique vecteur de \(F\) vérifiant \(x-p_F(x)\in F^\perp\).
Si \((e_0,e_1,e_2,\dots,e_n)\) est une base orthonormale de \(F\), démontrer que \(p_F(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^n\langle x|e_i\rangle\,e_i\).
Démontrer que pour tout vecteur \(x\) de \(E\), \(\|p_F(x)\|^2\leqslant\|x\|^2\) et que \(\displaystyle\sum_{i=0}^n\langle x|e_i\rangle^2\leqslant\|x\|^2\).
Justifier que pour tout couple \((a,b)\in\mathbb{R}^2\) : \(|ab|\leqslant\dfrac{a^2+b^2}{2}\).
On note désormais \(F=\mathbb{R}_n[X]\), \(I=\left[0,{+\infty}\right[\) et \(E\) l’ensemble des fonctions continues de \(I\) dans \(\mathbb{R}\), telles que la fonction \(t\mapsto\left(f(t)\right)^2\mathrm{e}^{-t}\) soit intégrable sur l’intervalle \(I\).
Justifier que pour \(f\) et \(g\) dans \(E\), la fonction \(t\mapsto f(t)g(t)\mathrm{e}^{-t}\) est intégrable sur l’intervalle \(I\).
Démontrer que \(E\) est un espace vectoriel et que l’on définit un produit scalaire sur \(E\) en posant : \[\forall(f,g)\in E^2,\ \langle f|g\rangle=\int_0^{+\infty}f(t)g(t)\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\]
On identifie \(\mathbb{R}[X]\) et les fonctions polynomiales sur \(\mathbb{R}\). Justifier que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).
Ainsi \(\langle\ |\ \rangle\), défini sur \(\mathbb{R}[X]\), par \(\forall(P,Q)\in\mathbb{R}[X]^2\), \(\langle P|Q\rangle=\displaystyle\int_0^{+\infty}P(t)Q(t)\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\) est un produit scalaire sur \(\mathbb{R}[X]\).
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on pose pour tout réel \(x\), \[h_n(x)=x^n\mathrm{e}^{-x}\quad\text{et}\quad L_n(x)=\frac{\mathrm{e}^x}{n!}\,h_n^{(n)}(x)=\frac{\mathrm{e}^x}{n!}\,\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(x^n\mathrm{e}^{-x}\right)\]
Calculer pour tout entier naturel \(p\leqslant n\), \(h_n^{(p)}(x)\).
Si \(p<n\), que vaut \(h_n^{(p)}(0)\) ?
Démontrer que \(L_n\in\mathbb{R}[X]\), préciser son degré et son coefficient dominant.
Soit \(g\) élément de \(\mathbb{R}[X]\), exprimer \(\langle g|h_n^{(n)}\rangle\) en fonction de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}g^{(n)}(t)h_n(t)\,\mathrm{d}t\), puis exprimer \(\langle g|L_n\rangle\) en fonction de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}g^{(n)}(t)t^n\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\).
Si \(L_i\) et \(L_j\), avec \(i<j\), sont deux éléments de \(F\), déterminer \(\langle L_i|L_j\rangle\).
Calculer par des intégrations par parties, \(\displaystyle\int_0^{+\infty}t^n\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\), puis pour tout \(n\in\mathbb{N}\), calculer \(\langle L_n|L_n\rangle\).
Que peut-on en conclure concernant la base \((L_0,L_1,L_2,\dots,L_n)\) de vecteurs de \(F\) ?
Exprimer, pour tout \(g\) élément de \(E\), \(P_F(g)\) dans cette base.
Démontrer que la série \(\displaystyle\sum_{n\geqslant0}\langle g|L_n\rangle^2\) converge et majorer \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\langle g|L_n\rangle^2\).
Pour \(\alpha>\dfrac{-1}{2}\), on pose \(g_\alpha(x)=\mathrm{e}^{-\alpha x}\).
Vérifier que pour tout \(\alpha\in\mathbb{R}\), \(g_\alpha\in E\).
Démontrer que \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\langle g_\alpha|L_n\rangle^2=\|g_\alpha\|^2\).
Fin
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un sujet très classique et accessible : réduction et puissances de la matrice aJ + bI₃, réalité du produit des P(ωₖ) par diagonalisation d'une matrice circulante, puis un problème sur le produit scalaire ∫ fg e^(-t), les polynômes de Laguerre et l'inégalité de Bessel.
Deux erreurs d'énoncé (Q15 et Q20) sont signalées et traitées dans le corrigé.