Dans cet exercice, on s’intéresse à une famille de fonctions \(f_n\) définies pour tout entier naturel \(n\) et tout réel \(x\) par : \[f_n(x)=\frac{x^n}{n!} \, \mathrm{e}^{1-x}\]
Étude des variations de la fonction \(f_1\) définie pour tout réel \(x\) par \(f_1(x)=x \, \mathrm{e}^{1-x}\).
Calculer la dérivée de \(f_1\).
En déduire le sens de variation de \(f_1\).
Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on a \(f_1''(x)= \left( x-2 \right)\mathrm{e}^{1-x}\). En déduire que \(f_1\) admet exactement un point d’inflexion et donner ses coordonnées.
Étude des limites de \(f_1\).
Rappeler \(\lim\limits_{x\to +\infty}\mathrm{e}^x\) et en déduire la limite de \(f_1\) en \(-\infty\).
Montrer que, pour tout réel \(x\), on a \(f_1(x)=\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x-1}}\).
En utilisant les croissances comparées, en déduire la limite de \(f_1\) en \(+\infty\).
Dresser le tableau de variations de \(f_1\) en y faisant figurer les limites calculées dans la question précédente.
Étude des variations de la fonction \(f_2\) définie pour tout réel \(x\) par \(f_2(x)=\dfrac{x^2}{2} \, \mathrm{e}^{1-x}\).
Calculer la dérivée de \(f_2\).
En déduire le sens de variation de \(f_2\).
Étude des limites de \(f_2\).
Calculer la limite de \(f_2\) en \(-\infty\).
Par une méthode analogue à celle de la question 2.c, calculer la limite de \(f_2\) en \(+\infty\).
Dresser le tableau de variations de \(f_2\) en y faisant figurer les limites calculées dans la question précédente.
On admet que les librairies numpy et
matplotlib.pyplot ont été importées avec les commandes
suivantes : import numpy as np et
import matplotlib.pyplot as plt.
Recopier et compléter la fonction fact(n) de la
variable \(n\), entier naturel,
suivante de telle sorte qu’elle renvoie la valeur de \(n!\).
En utilisant la fonction fact(n) de la question
précédente, donner une très courte fonction d’en-tête
def f(n,x):, des variables \(n\), entier naturel, et \(x\), réel, de telle sorte qu’elle renvoie
la valeur de \(f_n(x)\). On rappelle
que, pour tout réel \(x\),
np.exp(x) calcule la valeur de \(\exp(x)\).
Le script suivant permet de tracer la représentation graphique de la fonction \(f_n\) pour différentes valeurs de l’entier naturel \(n\) sur l’intervalle \([-1,10]\).
Dites, en justifiant, parmi les trois représentations graphiques suivantes lesquelles sont celles de \(f_1\) et \(f_2\).
Graphique 1
Graphique 2
Graphique 3
Pour tout entier naturel \(n\in\mathbb{N}\) et tout réel positif \(A\in\mathbb{R}^+\), on considère l’intégrale \[I_n(A)=\int_0^A \frac{t^n}{n!} \, \mathrm{e}^{1-t}\,\mathrm{d}t=\int_0^A f_n(t)\,\mathrm{d}t\] On considère aussi, si elle converge, l’intégrale \[I_n=\int_0^{+\infty}f_n(t)\,\mathrm{d}t\]
Étude de \(I_0\).
Calculer, pour tout réel positif \(A\), \(I_0(A)=\displaystyle\int_0^A \mathrm{e}^{1-t}\,\mathrm{d}t\).
En déduire que l’intégrale \(I_0=\displaystyle\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{1-t}\,\mathrm{d}t\) converge et que \(I_0=\mathrm{e}\).
Étude de \(I_1\).
Montrer, par intégration par parties, que pour tout \(A\in\mathbb{R}^+\), \[I_1(A)=\int_0^A t \, \mathrm{e}^{1-t}\,\mathrm{d}t=-A\mathrm{e}^{1-A}+I_0(A)\]
En déduire que, pour tout \(A\in\mathbb{R}^+\), \[I_1(A)=-A \, \mathrm{e}^{1-A}-\mathrm{e}^{1-A}+\mathrm{e}\]
Montrer que l’intégrale \(I_1=\displaystyle\int_0^{+\infty}t \, \mathrm{e}^{1-t}\,\mathrm{d}t\) converge et que \(I_1=\mathrm{e}\).
On admet que l’on peut montrer de manière analogue que \(I_2=\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{t^2}{2}\mathrm{e}^{1-t}\,\mathrm{d}t\) converge et que \(I_2=\mathrm{e}\).
On considère la fonction \(g\) définie pour tout réel \(t\) par \[g(t)= \begin{cases} 0 & \text{si } t<0 \\ \dfrac{1}{\mathrm{e}} \, f_1(t) & \text{si } t\geqslant 0 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
Montrer que \(g\) est une densité de probabilité. On pourra utiliser certains résultats de la partie III.
On considère une variable aléatoire \(X\) de densité \(g\). On note \(G\) sa fonction de répartition.
Calculer \(G(x)\) pour tout réel \(x\) en distinguant les cas \(x<0\) et \(x\geqslant 0\).
En utilisant l’intégrale \(I_2\) de la partie III, montrer que \(X\) admet une espérance et la calculer.
On considère les deux suites \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) et \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) définies par \[u_0=1,\quad v_0=2,\quad \forall n\in\mathbb{N}, \begin{cases} u_{n+1}=5u_n+2v_n \\ v_{n+1}=3u_n+6v_n \end{cases}\]
Montrer par récurrence, pour tout entier \(n\in\mathbb{N}\), la propriété \[P_n : u_n \text{ et } v_n \text{ sont des entiers strictement positifs.}\]
En déduire que les deux suites \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) et \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) sont strictement croissantes.
On considère, dans cette partie, les deux suites \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) et \((y_n)_{n\in\mathbb{N}}\) définies pour tout entier naturel \(n\) par \[x_n=u_n+v_n\quad \text{et}\quad y_n=3u_n-2v_n\]
Calculer les valeurs de \(x_0\) et \(y_0\).
Montrer que \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est géométrique de raison \(8\) puis donner le terme général de \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\).
Montrer que \((y_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est géométrique de raison \(3\) puis donner le terme général de \((y_n)_{n\in\mathbb{N}}\).
Pour tout \(n\) entier naturel fixé, résoudre le système suivant d’inconnues \(u_n\) et \(v_n\) et de paramètres \(x_n\) et \(y_n\) : \[\begin{cases} u_n+v_n=x_n \\ 3u_n-2v_n=y_n \end{cases}\]
On peut alors en déduire les termes généraux de \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) et \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) : montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \[u_n=-\frac{1}{5} \, 3^n+\frac{6}{5} \, 8^n \quad \text{et}\quad v_n=\frac{1}{5} \, 3^n+\frac{8}{5} \, 8^n\]
Calculer \(u_1\) et \(v_1\).
En notant que, pour tout entier naturel \(n\), on a la relation \[(*) :\quad v_n=\frac{1}{2} \left( u_{n+1}-5u_n \right)\] montrer que la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) vérifie, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), la relation \[u_{n+2}=11u_{n+1}-24u_n\]
Déterminer les racines \(x_1\) et \(x_2\) du polynôme \(X^2-11X+24\).
On admet qu’il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on ait \[u_n=a \left(x_1 \right)^n+b \left( x_2 \right)^n\] où \(x_1\) et \(x_2\) sont les réels trouvés à la question 10. En utilisant les valeurs de \(u_0\) et \(u_1\), déterminer les valeurs des réels \(a\) et \(b\).
En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), on a \[u_n=-\frac15 \, 3^n+\frac65 \, 8^n\] puis montrer, à l’aide de la relation \((*)\) de la question 9, que, pour tout entier naturel \(n\), on a \[v_n=\frac15 \, 3^n+\frac95 \, 8^n\]
On considère la matrice \[M=\begin{pmatrix}5&2\\3&6\end{pmatrix}\] et on note pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \[X_n=\begin{pmatrix}u_n\\v_n\end{pmatrix}\]
Vérifier que \(X_{n+1}=MX_n\).
Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel \(n\in\mathbb{N}\), \(X_n=M^nX_0\).
Calculer \(M^2\) puis \(M^2=11M-24I_2\), où on a noté \(I_2\) la matrice identité de taille \(2\).
En déduire un polynôme annulateur de \(M\).
Déterminer les valeurs propres possibles de \(M\).
Vérifier que \[\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} \quad \text{et}\quad \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\] sont deux vecteurs propres de \(M\) et donner les valeurs propres associées.
On considère les matrices \[P=\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix} \quad \text{et}\quad D=\begin{pmatrix}3&0\\0&8\end{pmatrix}\]
Montrer que \(P\) est inversible et calculer \(P^{-1}\).
Montrer que \(MP=PD\). En déduire que \(M\) est diagonalisable.
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(M^n=PD^nP^{-1}\).
Pour tout entier naturel \(n\), déterminer les quatre coefficients de \(D^n\) puis en déduire ceux de \(M^n\).
En utilisant la question 13.b, retrouver, encore une fois, les expressions des termes généraux des suites \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) et \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\).
Soit \(n\) un entier naturel non nul.
Une urne contient des jetons à deux faces portant chacun sur une des faces un numéro bleu, et sur l’autre face un numéro rouge.
Sur l’ensemble des jetons, on a, pour tout \(k\in\left[\!\left[1,n\right]\!\right]\), exactement \(k\) jetons qui portent le numéro \(k\) bleu, l’autre face, rouge, portant les numéros \(1\) à \(k\). On convient de noter le jeton avec son numéro bleu en premier et son numéro rouge en second.
Ainsi, lorsque \(n=2\), en notant en premier le numéro bleu et en second le numéro rouge, l’urne contient \(3\) jetons :
un jeton portant une face bleue numéro \(1\) et une face rouge numéro \(1\), que l’on note \((1,1)\) ;
un jeton portant une face bleue numéro \(2\) et une face rouge numéro \(1\), que l’on note \((2,1)\) ;
un jeton portant une face bleue numéro \(2\) et une face rouge numéro \(2\), que l’on note \((2,2)\).
De même, lorsque \(n=3\), en notant toujours en premier le numéro bleu et en second le numéro rouge, l’urne contient les \(6\) jetons \((1,1)\), \((2,1)\), \((2,2)\), \((3,1)\), \((3,2)\) et \((3,3)\).
On tire un jeton au hasard dans l’urne. On désigne par \(B\) la variable aléatoire réelle égale à son numéro bleu et par \(R\) la variable aléatoire réelle égale à son numéro rouge. On pose aussi \(G=B-R\).
Par exemple, si on a tiré le jeton \((3,2)\), c’est-à-dire avec le numéro \(3\) en bleu et le numéro \(2\) en rouge, on a \(B=3\), \(R=2\) et \(G=1\).
Justifier brièvement pourquoi on a les \(10\) jetons suivants dans l’urne (en notant toujours en premier le numéro bleu et en second le numéro rouge) : \[(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).\]
Décrire l’ensemble des valeurs prises par les variables aléatoires \(B\) et \(R\).
Justifier que \(\mathbb P((B=1)\cap(R=1))=\dfrac{1}{10}\). Que vaut \(\mathbb P((B=1)\cap(R=2))\) ?
Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi conjointe du couple \((B,R)\).
| \diagbox{\(j\in R(\Omega)\)}{\(i\in B(\Omega)\)} | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | $\dfrac{1}{10}$ | |||
| 2 | ||||
| 3 | ||||
| 4 |
Déduire du tableau de la question précédente donnant la loi du couple \((B,R)\), la loi de la variable aléatoire \(B\).
Vérifier que l’espérance de \(B\) vaut \(\mathbb E(B)=3\) et calculer la variance \(\mathbb V(B)\) de \(B\).
Déduire aussi de la loi du couple \((B,R)\), la loi de \(R\).
Calculer l’espérance \(\mathbb E(R)\) et la variance \(\mathbb V(R)\) de la variable aléatoire \(R\).
À partir de la loi du couple \((B,R)\) trouvée en question 2.c, calculer \(\mathbb E(BR)\).
Rappeler la formule donnant la covariance \(\mathrm{Cov}(B,R)\) du couple \((B,R)\) puis la calculer.
Est-ce que les variables aléatoires \(B\) et \(R\) sont indépendantes ?
Calculer l’espérance \(\mathbb E(G)\) de la variable aléatoire \(G\).
Dans cette partie, on effectue maintenant des tirages avec remise dans l’urne et on suppose encore que \(n=4\) ; on a donc encore les \(10\) jetons donnés à la question I.1. On considère, pour tout \(k\in\mathbb{N}^*\), l’événement \(S_k\) : « on obtient le jeton numéroté \(1\) en bleu lors du \(k\)-ième tirage » .
Soit \(k\in\mathbb{N}^*\). On conserve les notations de la partie précédente : \(B_k\) et \(R_k\) désignent les numéros bleus et rouges du jeton tiré au \(k\)-ième tirage. Expliquer brièvement pourquoi on a les égalités d’événements suivantes : \[S_k=(B_k=1)=(B_k=1)\cap(R_k=1)\] En déduire que, pour tout entier naturel non nul \(k\), on a \(\mathbb P(S_k)=\dfrac{1}{10}\).
On note \(T_1\) la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir pour la première fois le jeton numéroté \(1\) en bleu.
Donner, en justifiant, la loi suivie par la variable aléatoire \(T_1\) puis donner son espérance et sa variance.
On note \(T_2\) la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir pour la seconde fois le jeton numéroté \(1\) en bleu.
On note également, pour tout entier \(m\in\mathbb{N}^*\), \(X_m\) la variable aléatoire égale au nombre de fois où on a obtenu l’événement \(S\), c’est-à-dire où l’on a tiré le jeton numéroté \(1\) en bleu, lors des \(m\) premiers tirages.
Décrire l’ensemble des valeurs prises par \(T_2\).
Montrer que la variable aléatoire \(X_m\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Justifier que, pour tout entier \(k\geqslant 2\), on a l’égalité des événements : \[(T_2=k)=(X_{k-1}=1)\cap S_k\]
En déduire la loi de \(T_2\).
On appelle partie le tirage d’un jeton de l’urne. Des amis ont noté
les différents résultats qu’ils ont obtenus lors de leurs parties. Les
résultats sont mémorisés dans une base de données. Celle-ci est
constituée d’une table Partie avec les attributs
suivants.
IdPartie : identifiant unique, entier, de type
INT ;
NomJoueur : nom du joueur, de type TEXT
;
B : valeur du numéro bleu du jeton tiré, de type
INT ;
R : valeur du numéro rouge du jeton tiré, de type
INT.
Expliquer pourquoi NomJoueur ne peut sans doute pas
être choisi comme clé primaire. Proposer un attribut qui puisse être une
clé primaire.
En utilisant la commande CREATE TABLE, écrire une
requête qui permette de créer la table Partie.
Écrire une requête qui renvoie le nom des joueurs ayant obtenu le numéro \(1\) avec le jeton bleu.
FIN
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Sujet très accessible et progressif, couvrant des techniques classiques du programme ECT sans difficulté conceptuelle particulière.
Le premier exercice proposait essentiellement une étude guidée d’une famille de fonctions, avec calculs de dérivées, limites, intégrales impropres puis construction d’une densité.
Les questions s’enchaînaient de manière très standard et permettaient de sécuriser rapidement des points.
Le deuxième exercice constituait un exercice typique sur des suites définies par récurrence linéaire couplée, traité successivement par changement de variables, équation caractéristique puis diagonalisation matricielle.
Les méthodes utilisées sont très classiques et largement attendues à ce niveau.
Le troisième exercice reposait sur une modélisation probabiliste simple d’un tirage dans une urne, suivie d’une étude de lois discrètes usuelles (binomiale, géométrique) et de calculs d’espérance et de covariance, avant quelques questions élémentaires de SQL.
Dans l’ensemble, il s’agit d’un sujet globalement très simple, bien adapté au programme ECT, avec peu de pièges techniques et de nombreuses questions directes.
Il permettait aux candidats maîtrisant les bases du cours de traiter une grande partie de l’épreuve.