On considère les matrices \(A= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\), \(D=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\) et \(N=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\).
Exprimer la matrice \(A\) à l’aide des matrices \(D\) et \(N\).
Vérifier que \(D N=N\) et calculer \(N D\). Les matrices \(N\) et \(D\) commutent-elles?
La décomposition précédente de \(A\) ne permet pas de calculer \(A^{n}\) à l’aide de la formule du binôme de Newton.
L’objet de l’exercice est de proposer deux méthodes pour calculer une expression de \(A^{n}\) en fonction de \(n \in \mathbb{N}\).
On considère trois suites \(\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}},\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) et \(\left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) telles que \[a_{1}=-1, \ b_{1}=0, \ c_{1}=1\]
et, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), \[a_{n+1}=a_{n}-1, \quad b_{n+1}=b_{n}-c_{n}, \quad c_{n+1}-c_{n}=2^{n}\]
Calculer \(a_{4}\).
Justifier que \(c_{3}=7\).
Calculer \(b_{2}\) et \(b_{3}\).
Exprimer, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), \(a_{n}\) en fonction de \(n\).
Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\), exprimer la somme \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} 2^{k}\) en fonction de \(n\) ; en déduire, pour tout \(n \geqslant 2\), l’expression de \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k}\).
Démontrer que pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(2\), \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\left(c_{k+1}-c_{k}\right)=c_{n}-c_{1}\).
Déduire des deux questions précédentes que pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), \(c_{n}=2^{n}-1\).
Démontrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), \(b_{n}=(n+1)-2^{n}\).
On admet qu’il existe trois suites \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\), \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) et \(\left(w_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) telles que pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) : \[A^{n}=\begin{pmatrix} 1 & u_{n} & v_{n} \\ 0 & 1 & w_{n} \\ 0 & 0 & 2^{n} \end{pmatrix}\]
Donner les valeurs de \(u_{1}, v_{1}\) et \(w_{1}\).
Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\), calculer \(A \times A^{n}\) et en déduire que pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), \(u_{n}=a_{n}\), \(v_{n}=b_{n}\) et \(w_{n}=c_{n}\).
En déduire, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), une expression de \(A^{n}\) en explicitant ses coefficients.
Démontrer que 0 n’est pas valeur propre de la matrice \(A\).
On pose \(W=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\). Calculer \(A W\) et en déduire une valeur propre de \(A\).
Montrer que 1 est une valeur propre de \(A\) et déterminer un vecteur propre associé.
On pose \(P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\). Calculer \(P^{2}\).
En déduire que \(P\) est inversible et donner son inverse.
On note \(S=P A P\) et \(M=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\); montrer que \(S=D+M\) (où \(D\) est la matrice donnée en début d’énoncé).
Soit \(k \in \mathbb{N}\), exprimer \(D^{k}\) en fonction de \(k\).
Calculer \(M^{2}\) et en déduire, pour tout entier \(k \geqslant 2\), la matrice \(M^{k}\).
Montrer que \(M D=D M\).
Pour tout entier \(n \in \mathbb{N}\) et tout entier \(k\) compris entre 0 et \(n\), on note \(\displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\). Exprimer \(\binom{n}{1}\) en fonction de \(n\).
À l’aide de la formule du binôme de Newton, montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \[S^{n}=D^{n}+n M\]
Exprimer \(S^{n}\) en explicitant ses coefficients en fonction de \(n\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Démontrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(A^{n}=P S^{n} P\).
Déduire des deux questions précédentes l’expression \(A^{n}\) en explicitant ses coefficients en fonction de \(n\).
On considère les trois fonctions \(f, g\) et \(h\) définies sur \(\mathbb{R}\), ainsi que trois graphiques A, B et C : \begin{align*} & f(x)=\begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text { pour } x \notin[0,1] \\ \displaystyle \frac{1}{(1+x)^{2}} & \text { pour } x \in[0,1] \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases} \qquad g(x)= \begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text { pour } x \notin[0,1] \\ \displaystyle \frac{2}{(1+x)^{2}} & \text { pour } x \in[0,1] \rule[0pt]{0pt}{20pt}\end{cases} \\ & h(x)= \begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text { pour } x \notin[0,1] \\ \displaystyle \frac{3}{(1+x)^{2}} & \text { pour } x \in[0,1] \rule[0pt]{0pt}{20pt}\end{cases} \end{align*}
Chaque graphique représente la courbe d’une des trois fonctions \(f, g\) ou \(h\). Associer à chaque fonction le graphique correspondant, en expliquant rapidement votre raisonnement.
Expliquer pourquoi les graphiques \(\mathrm{A}\) et \(\mathrm{B}\) ne peuvent pas représenter une densité de probabilité.
Calculer \(\displaystyle I=\int_{0}^{1} g(x) \, \mathrm{d} x\).
En déduire que \(g\) est une densité de probabilité.
Soit \(X\) une variable aléatoire dont une densité est la fonction \(g\).
Démontrer que la fonction de répartition de \(X\) est la fonction \(G\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[G(x)= \begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text { pour } x<0 \\ 2-\frac{2}{1+x} & \text { pour } x \in[0,1] \\ \hfill 1 \hfill & \text { pour } x>1\end{cases}\]
Calculer \(\displaystyle \mathbb{P}\! \left( X \leqslant \frac{1}{2} \right)\).
Calculer \(\mathbb{E}(X)\), l’espérance de \(X\).
L’exercice comporte deux parties indépendantes. Dans tout l’énoncé, on note \(\mathbb{P}(A)\) la probabilité d’un évènement \(A\) et on note \(\mathbb{P}_{B}(A)\) la probabilité de \(A\) sachant \(B\).
Alice et Bob organisent un jeu à l’aide du matériel suivant :
Alice dispose de trois boules rouges et d’une pièce équilibrée;
Bob dispose de deux boules vertes et d’une pièce équilibrée;
une urne vide est placée entre les deux joueurs.
Le déroulement d’une partie est le suivant :
chaque joueur lance la pièce autant de fois qu’il possède de boules; pour chaque PILE obtenu, il place une de ses boules dans l’urne.
Alice est déclarée gagnante si l’urne contient strictement plus de boules rouges que de boules vertes; sinon, Bob est déclaré gagnant.
On note \(X\) le nombre de boules placées dans l’urne par Alice et \(Y\) le nombre de boules placées par Bob dans l’urne. Enfin, on nomme \(A\) l’évènement « Alice gagne ».
Lors d’une partie, Alice obtient PPF et Bob obtient PF lors des lancers de leur pièce (on a noté \(P\) pour PILE et \(F\) pour FACE); décrire la composition de l’urne, les valeurs de \(X\) et de \(Y\) et enfin donner le vainqueur de cette partie.
Décrire l’évènement \(A\) à l’aide des variables aléatoires \(X\) et \(Y\).
Reconnaitre la loi de \(X\) et celle de \(Y\); rappeler les valeurs de leurs espérances respectives \(\mathbb{E}(X)\) et \(\mathbb{E}(Y)\).
Recopier et compléter le tableau suivant, donnant la loi de \(X\) :
| $k$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| $\PR(X=k)$ | $1 / 8$ | $3 / 8$ | \evm |
La fonction Python ci-dessous a pour
objectif de simuler le nombre de boules placées par Alice dans
l’urne.
Recopier et compléter la ligne 7 afin que ce programme retourne une valeur suivant la loi de \(X\).
Comparer l’espérance de \(X\) avec celle de \(Y\). Lequel des deux joueurs semble favorisé? Expliquer pourquoi.
Expliquer que la probabilité qu’Alice gagne sachant que Bob n’a obtenu aucun PILE, \(\mathbb{P}_{(Y=0)}(A)\), est égale à \(\displaystyle \frac{7}{8}\).
En considérant le système complet d’événements \(\{(Y=0),(Y=1),(Y=2)\}\), montrer que \(\displaystyle \mathbb{P}(A)=\frac{1}{2}\).
Le jeu est-il équitable?
Sachant qu’Alice a remporté la partie, quelle est la probabilité que Bob n’ait obtenu aucun PILE?
Alice et Bob décident de changer la règle du jeu, ils jouent des manches successives de la façon suivante :
Alice dispose d’une boule rouge et d’une pièce équilibrée;
Bob dispose d’une ou deux boules vertes et d’une pièce truquée, tombant sur PILE avec une probabilité \(\frac{1}{3}\).
Une urne vide est placée entre les deux joueurs.
Une manche se déroule ainsi :
Alice lance sa pièce une fois et place sa boule rouge dans l’urne si elle a obtenu PILE.
Bob lance sa pièce autant de fois qu’il a de boules vertes (une ou deux) et place une boule verte dans l’urne pour chaque PILE obtenu.
Si l’urne contient strictement plus de boules rouges que de boules vertes, Alice est déclarée gagnante; sinon Bob est déclaré gagnant. À la fin de la manche, on vide l’urne et chaque joueur récupère une boule de sa couleur. Si Alice a remporté la manche, Bob prend une boule verte supplémentaire pour la manche suivante.
Ainsi, au début de chaque manche, Alice dispose d’une boule rouge. S’il a gagné la manche précédente, Bob dispose d’une seule boule verte et s’il a perdu la manche précédente, Bob dispose de deux boules vertes.
Au début de la première manche, Bob dispose d’une seule boule verte.
Pour chaque entier naturel non nul \(n\), on note \(A_{n}\) l’évènement « Alice remporte la manche \(n\) » et \(a_{n}\) sa probabilité : \(a_{n}=\mathbb{P}(A_{n})\).
En explicitant l’évènement \(A_{1}\), montrer que \(\displaystyle a_{1}=\frac{1}{3}\).
Soit \(n\) un entier naturel non nul, expliquer pourquoi \(\displaystyle \mathbb{P}_{\overline{A_{n}}}(A_{n+1})=\frac{1}{3}\).
On considère un entier non nul \(n\) tel qu’Alice a remporté la manche \(n\). Quelle est la probabilité que Bob place deux boules vertes dans l’urne lors de la manche \(n+1\) ?
Montrer que \(\displaystyle \mathbb{P}_{A_{n}}(A_{n+1})=\frac{2}{9}\).
En déduire la probabilité conditionnelle \(\mathbb{P}_{A_{n}}(\overline{A_{n+1}})\).
Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\), en considérant le système complet d’évènements \(\left\{A_{n}, \overline{A_{n}}\right\}\), démontrer que : \[a_{n+1}=-\frac{1}{9} \, a_{n}+\frac{1}{3}\]
La fonction Python ci-dessous a pour
objectif de calculer le terme de rang \(n\) de la suite \(\left(a_{n}\right)_{n \in
\mathrm{N}^{*}}\); elle prend en entrée un entier naturel non nul
\(n\) et donne en sortie la valeur de
\(a_{n}\).
Recopier et compléter les lignes 3 et 4 afin que ce programme affiche la bonne valeur de \(a_{n}\).
Résoudre l’équation d’inconnue \(x \in \mathbb{R}\) : \(\displaystyle x=-\frac{1}{9} \, x+\frac{1}{3}\). Pour la suite de l’exercice, on note \(\ell\) sa solution.
On pose, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), \(u_{n}=a_{n}-\ell\). Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est géométrique.
Après avoir calculé \(u_{1}\), déterminer une expression de \(u_{n}\) en fonction de \(n\), pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\).
Donner une expression de \(a_{n}\) en fonction de \(n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\).
En déduire que \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=0,3\).
Soit \(n \in \mathbb{N}\), on considère la fonction \(f_{n}\) définie pour tout réel \(x\) par \(f_{n}(x)=x^{n} \, \mathrm{e}^{-x}\) et on note : \[I_{n}=\int_{0}^{1} f_{n}(x) \, \mathrm{d} x\]
On considère \(g\) la fonction définie, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), par \(\displaystyle g(x)=\frac{x+1}{\mathrm{e}^{x}}\).
Calculer \(g^{\prime}\) la dérivée de \(g\).
En déduire que la fonction \(F_{1}\) définie, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), par \(\displaystyle F_{1}(x)=- \left(x+1 \right) \mathrm{e}^{-x}\) est une primitive de \(f_{1}\).
Montrer que \(I_{1}=1-2 \, \mathrm{e}^{-1}\).
Dans cette question, on s’intéresse à la fonction \(f_{2}\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f_{2}(x)=x^{2} \, \mathrm{e}^{-x}\).
Déterminer les limites de \(f_{2}\) en \(-\infty\) et \(+\infty\) en justifiant vos réponses.
Calculer la dérivée de \(f_{2}\) et montrer qu’elle est donnée, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), par : \[f_{2}^{\prime}(x)= \left( 2-x \right) x \, \mathrm{e}^{-x}\]
Étudier le signe de \(f_{2}^{\prime}\) et dresser le tableau de variations de \(f_{2}\), en incluant les limites trouvées précédemment.
Démontrer que pour tout \(x \geqslant 0\), on a : \(0 \leqslant f_{2}(x) \leqslant 4 \, \mathrm{e}^{-2}\).
En déduire que : \(0 \leqslant I_{2} \leqslant 4 \, \mathrm{e}^{-2}\).
À l’aide d’une intégration par parties, montrer que : \(I_{2}=-\mathrm{e}^{-1}+2 I_{1}\).
En déduire la valeur de \(I_{2}\).
On rappelle que par définition, on a \(0!=1\) et pour tout \(n \in \mathbb{N}.(n+1)!=(n+1) \times n!\); donc \(n!=1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times(n-1) \times n\).
Calculer \(\displaystyle I_{0}=\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x} \, \mathrm{d} x\).
Montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \[I_{n+1}=-\mathrm{e}^{-1}+\left( n+1 \right) I_{n}\]
En déduire que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \[\frac{I_{n}}{n!}=1-\left(\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\right) \mathrm{e}^{-1}\]
Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\), étudier les variations de \(f_{n}\) sur l’intervalle \([0,1]\).
En déduire que pour tout \(n \in \mathrm{N}^{*}, \ 0 \leqslant I_{n} \leqslant \mathrm{e}^{-1}\).
Déterminer la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par \(\displaystyle u_{n}=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
