On considère les matrices \(M=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}\) et \(I_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\).
Calculer \(M^{2}\). Vérifier que : \(2 M^{2}=M+ \mathrm{I}_{2}\).
En déduire un polynôme annulateur de \(M\). Quelles sont les valeurs propres possibles de \(M ?\)
On pose \(U=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(V=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}\). Calculer \(M U\) et \(M V\). Quelles sont les valeurs propres de \(M\) ?
On pose \(P=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\) et \(D=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)
Montrer que \(P\) est inversible et calculer \(P^{-1}\).
Montrer que \(M P=P D\). En déduire que \(M\) est diagonalisable.
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(M^{n} P=P D^{n}\).
Donner les quatre coefficients de \(D^{n}\) pour tout entier naturel \(n\).
Déduire des questions précédentes que pour tout entier naturel \(n\) on a :
\[M^{n}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2-2\left(-\frac{1}{2}\right)^{n} & 3\left(-\frac{1}{2}\right)^{n} \end{pmatrix}\]
On considère deux urnes \(U\) et \(V\) contenant chacune deux jetons, l’un portant le numéro 0 et l’autre portant le numéro 1. On procède à des échanges successifs de jetons. Plus précisément, lors de chaque étape, on choisit au hasard un jeton dans \(U\) et un jeton dans \(V\) et on les change d’urne.
Par exemple, si lors du premier échange, on choisit le jeton 0 dans l’urne \(U\) et le jeton 1 dans l’urne \(V\), alors après leur échange, l’urne \(U\) contiendra deux jetons 1 et l’urne \(V\) deux jetons 0.
Pour tout entier naturel \(n\), on considère les événements :
\(A_{n}\) : « à l’issue de \(n\) échanges l’urne \(U\) contient deux jetons 0 ».
\(B_{n}\) : « à l’issue de \(n\) échanges l’urne \(U\) contient un jeton 0 et un jeton 1 ».
\(C_{n}\) : « à l’issue de \(n\) échanges l’urne \(U\) contient deux jetons 1 ».
On note \(a_{n}, b_{n}\) et \(c_{n}\) les probabilités respectives de \(A_{n}, B_{n}\) et \(C_{n}\). Au vu de la configuration initiale, on peut dire que : \(a_{0}=c_{0}=0\) et \(b_{0}=1\).
Montrer que \(a_{1}=\frac{1}{4}\). Calculer de même \(b_{1}\) et \(c_{1}\).
Soit \(n \in \mathbb{N}\). Justifier que \(\mathbb{P}_{A_{n}} (B_{n+1})=1\). Calculer de même \(\mathbb{P}_{B_{n}} (B_{n+1} )\) et \(\mathbb{P}_{C_{n}} (B_{n+1} )\).
En déduire, en utilisant la formule des probabilités totales, que : \[\displaystyle b_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{2} \, b_{n}+c_{n}\]
Montrer de même que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) on a : \(a_{n+1}=\frac{1}{4} \, b_{n}\) et \(c_{n+1}=\frac{1}{4} \,b_{n}\).
Soit \(n \in \mathbb{N}\). Quelle est la valeur de \(a_{n}+b_{n}+c_{n}\) ?
En déduire que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a : \(b_{n+1}=1-\frac{1}{2} \, b_{n}\).
On pose pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(X_{n}=\begin{pmatrix}1 \\ b_{n}\end{pmatrix}\)
Vérifier que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a : \(X_{n+1}=M X_{n}\).
Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a : \(X_{n}=M^{n} X_{0}\).
En utilisant le 3d de la partie I, en déduire que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) on a : \(b_{n}=\frac{1}{3}\left(2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\right)\).
Déterminer enfin, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), des expressions de \(a_{n}\) et \(c_{n}\) en fonction de \(n\).
On considère la fonction \(f\) définie par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ f(x)=\frac{1}{1+\mathrm{e}^{x}}+x\]
On appelle \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})\) d’unité \(2 \mathrm{~cm}\).
Calculer la dérivée \(f^{\prime}\) de \(f\).
Calculer de même la dérivée \(f^{\prime \prime}\) de \(f^{\prime}\). et vérifier que pour tout réel \(x\) : \[f^{\prime \prime}(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)^{3}}\]
Étudier la convexité de \(f\). Vérifier que la courbe \((C)\) admet un point d’inflexion et préciser ses coordonnées.
Déterminer le sens de variation de \(f^{\prime}\). Vérifier que \(f^{\prime}(0)=\frac{3}{4}\). En déduire que \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Calculer \(\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} f(x)\) et \(\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)\).
Dresser le tableau des variations de \(f\) en y faisant figurer les limites de \(f\) calculées en 2a.
Calculer \(\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \left[ f(x)-x \right]\). En déduire que la droite \((D)\) d’équation \(y=x\) est asymptote à \((C)\) en \(+\infty\)
Justifier de même que la droite \(\left(D^{\prime}\right)\) d’équation \(y=x+1\) est asymptote à \((C)\) en \(-\infty\).
On note \(A\) le point de coordonnées \(\left(0, \frac{1}{2}\right)\). Déterminer une équation de la tangente \((T)\) à \((C)\) au point \(A\).
Tracer sur une même figure les droites \((D),\left(D^{\prime}\right)\) et \((T)\) ainsi que l’allure de la courbe \((C)\).
Montrer que l’équation \(f(x)=0\), d’inconnue \(x \in \mathbb{R}\), admet une unique solution \(\alpha\).
Justifier que \(-1 \leqslant \alpha \leqslant 0\).
Recopier et compléter le programme Python suivant afin qu’il affiche une valeur approchée de \(\alpha\) à \(10^{-3}\) près par dichotomie :
Une urne contient initialement deux boules rouges et une boule bleue. Un jeu consiste à répéter la séquence suivante :
tirer une boule au hasard dans l’urne ;
si la boule tirée est bleue, la remettre dans l’urne ;
si la boule tirée est rouge, la retirer et la remplacer par une boule bleue.
On définit, pour tout entier naturel \(k\) non nul, les événements \(B_{k}\) : « obtenir une boule bleue lors de la \(k\)-ème séquence » et \(R_{k}:\) « obtenir une boule rouge lors de la \(k\)-ème séquence ».
Calculer \(\mathbb{P}( B_{1} )\) et \(\mathbb{P}( R_{1} )\).
En utilisant la formule des probabilités totales calculer \(\mathbb{P}( B_{2} )\) et \(\mathbb{P}( R_{2} )\).
On constate à l’issue de la deuxième séquence que la boule tirée est bleue. Quelle est la probabilité que le premier tirage ait amené une boule rouge ?
On note \(Y_{1}\) la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges présentes dans l’urne à l’issue de la première séquence de jeu.
Déterminer l’ensemble \(Y_{1}(\Omega)\) des valeurs prises par \(Y_{1}\).
En utilisant la question 1a calculer \(\mathbb{P}( Y_{1}=1 )\) et \(\mathbb{P}( Y_{1}=2 )\).
Calculer l’espérance de \(Y_{1}\).
On note \(Y_{2}\) la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges présentes dans l’urne à l’issue de la deuxième séquence de jeu.
Justifier que \(Y_{2}(\Omega)=\{0,1,2\}\)
Justifier que \(\mathbb{P}( [ Y_{1}=2 ] \cap [Y_{2}=2 ]) =\mathbb{P}( B_{1} \cap B_{2} )=\frac{1}{9}\).
En procédant de la même manière que dans la question précédente, justifier avec précision que la loi conjointe du couple \(\left(Y_{1}, Y_{2}\right)\) est donnée par :
| \diagbox{$i \in Y_1(\Omega)$}{$j\in Y_2(\Omega)$} | 0 | 1 | 2 |
| 1 | $\frac{2}{9}$ | $\frac{4}{9}$ | $0$ |
| 2 | $0$ | $\frac{2}{9}$ | $\frac{1}{9}$ |
Déduire de la loi conjointe du couple \(\left(Y_{1}, Y_{2}\right)\) la loi de \(Y_{2}\). En déduire son espérance.
En utilisant le tableau de la question 3c calculer \(\mathbb{E}\left(Y_{1} Y_{2}\right)\).
Montrer que la covariance de \(\left(Y_{1}, Y_{2}\right)\) est égale à \(\frac{4}{27}\). Les variables aléatoires \(Y_{1}\) et \(Y_{2}\) sont-elles indépendantes?
Dans le programme suivant, on introduit la variable \(r\) qui représente le nombre de boules rouges présentes dans l’urne à un instant donné.
import numpy.random as rd
n=int(input("n ?"))
r=2
for k in range(1,n+1):
if r==2:
if rd.random()<2/3:
r=1
else:
if r==1:
if ..........:
r=.......
print(r)
Recopier et compléter les lignes 10 et 11 de ce programme afin qu’il simule \(n\) séquences du jeu, l’entier \(n \geqslant 1\) étant donné par l’utilisateur.
À quelle variable aléatoire de l’exercice correspond le nombre affiché lorsque l’utilisateur donne 2 comme valeur à \(n\) ?
Dans l’instruction if des
lignes 5 à 11 le cas \(r==0\)
n’apparait pas. Expliquer pourquoi ce n’est pas nécessaire.
Soit \(a\) un réel positif.
Soit \(x\) un réel supérieur ou égal à \(a\). Montrer que : \(\displaystyle \int_{a}^{x} \mathrm{e}^{-2 t} \, \mathrm{d}t=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{-2 a}-\mathrm{e}^{-2 x}\right)\).
En déduire que l’intégrale \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} \mathrm{e}^{-2 t} \, \mathrm{d}t\) converge et que : \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} \mathrm{e}^{-2 t} \,\mathrm{d}t=\frac{1}{2} \, \mathrm{e}^{-2 a}\).
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(t)=0\) si \(t<a\) et \(f(t)=2\, \mathrm{e}^{2 a} \mathrm{e}^{-2 t}\) si \(t \geqslant a\).
Montrer que \(f\) est une densité de probabilité.
Pour permettre des économies d’énergie, l’écran d’un téléphone portable se met en veille automatiquement après un certain temps lorsqu’il n’est pas utilisé. On suppose que le temps en secondes écoulé entre le moment où l’on arrête d’utiliser le téléphone et le moment où l’écran se met en veille est une variable aléatoire \(X\) ayant pour densité \(f\). On note \(F\) la fonction de répartition de \(X\).
Montrer que pour tout réel \(x<a\) on a: \(F(x)=0\).
En utilisant la question 1a calculer \(F(x)\) pour tout réel \(x \geqslant a\).
On considère la variable aléatoire \(Y=X-a\). On note \(G\) sa fonction de répartition.
Montrer que pour tout réel \(x\) on a: \(G(x)=F(x+a)\).
En déduire que : \(G(x)=0\) si \(x<0\) et \(G(x)=1-\mathrm{e}^{-2 x}\) si \(x \geqslant 0\).
Reconnaitre la loi de \(Y\). Donner son espérance et sa variance.
En déduire que \(X\) admet une espérance et une variance et que \(\mathbb{E}(X)=\frac{1}{2}+a\) et \(\mathbb{V}(X)=\frac{1}{4}\).
On suppose que le réel \(a\) est inconnu et on souhaite estimer sa valeur. Pour cela on calcule \(n\) fois le temps écoulé entre le moment où on arrête d’utiliser notre téléphone et le moment où l’écran se met en veille. On note \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) chacun de ces temps. On suppose que ces variables aléatoires sont mutuellement indépendantes et suivent la même loi que \(X\).
Si \(T_n\) est un estimateur de \(a\) :
on dira qu’un estimateur \(T_n\) de \(a\) est sans biais s’il admet une espérance et si celle-ci est égale à \(a\),
on appelle risque quadratique de \(T_n\) le réel \(r_{T_n}(a)= \mathbb{E}( (T_n-a)^2)\).
On pose : \(\displaystyle Z_{n}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} X_{k}\).
Montrer que \(Z_{n}\) est un estimateur de \(a\) et calculer son espérance \(\mathbb{E}(Z_n)\).
Montrer que \(\mathbb{V}(Z_{n} )=\frac{1}{4 n}\).
On suppose que \(n=1000\) et
que, dans un programme Python, les valeurs de \(X_{1}, \cdots, X_{1000}\) ont été entrées
dans une matrice
X=np.array([X(1),…,X(1000)]).
On rappelle que la valeur moyenne des coefficients de la matrice
ligne \(X\) s’obtient avec
l’instruction np.mean(X).
Quelle instruction faut-il écrire pour obtenir une estimation de \(a\) ?
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.