On considère les matrices suivantes: \[\mathrm{I}_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\ A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} ,\ B=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} ,\ C=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} ,\ D=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\ P=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\]
Montrer que la matrice \(P\) est inversible et déterminer son inverse.
Vérifier que le polynôme \(X^{2}-2 X\) est un polynôme annulateur de la matrice \(A\). En déduire les valeurs propres possibles de \(A\).
Montrer que \(U=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(V=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) sont des vecteurs propres de \(A\). À quelles valeurs propres sont-ils associés ?
Justifier l’égalité \(P^{-1} A P=C\).
Exprimer \(B\) en fonction de \(\mathrm{I}_2\) et \(A\). Exprimer de même \(D\) en fonction de \(\mathrm{I}_2\) et \(C\).
En déduire que \(P^{-1} B P=D\).
Montrer que pour tout entier naturel \(n\) on a \(: P^{-1} B^{n} P=D^{n}\).
Pour tout entier naturel \(n\), donner les coefficients de \(D^{n}\).
Déduire de 3a et 3b que pour tout entier naturel \(n\) on a : \(B^{n}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 3^{n}+1 & 3^{n}-1 \\ 3^{n}-1 & 3^{n}+1 \end{pmatrix}\).
Antoine et Béatrice jouent au Badminton. On suppose que lors de chaque échange, le joueur qui a le service emporte le point avec une probabilité \(\frac{2}{3}\) et le perd avec une probabilité \(\frac{1}{3}\).
On suppose que c’est Antoine qui a le service lors du premier échange. Ensuite, selon les règles de ce jeu, celui qui emporte l’échange marque un point et obtient le service pour l’échange suivant. Pour tout entier naturel \(n \geqslant 1,\) on note \(A_{n}\) l’événement « Antoine gagne le \(n^{\grave{e}me}\) échange » et \(B_{n}\) l’événement « Béatrice gagne le \(n^{\grave{e}me}\) échange ». On note \(a_{n}\) et \(b_{n}\) leurs probabilités respectives.
Donner les valeurs de \(a_{1}\) et \(b_{1}\). Calculer \(a_{2}\) et vérifier que \(a_{2}=\frac{5}{9}\).
On observe qu’Antoine emporte le deuxième échange. Quelle est la probabilité qu’il ait emporte le premier échange?
Montrer en utilisant la formule des probabilités totales que pour tout entier \(n \geqslant 1\) on a:
\[a_{n+1}=\dfrac{2}{3} \, a_{n}+\dfrac{1}{3} \, b_{n}\] Exprimer de même \(b_{n+1}\) en fonction de \(a_{n}\) et \(b_{n}\) pour tout entier \(n \geqslant 1\).
Pour tout entier \(n\geqslant 1\), on note \(X_n\) la matrice colonne \(\begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}\). Vérifier que \(X_{n+1}=\dfrac{1}{3} \, BX_n\).
Montrer par récurrence que pour tout entier \(n \geqslant 1\) on a : \(X_{n}=\dfrac{1}{3^{n-1}} \, B^{n-1} X_{1}\).
Déduire de 3c que, pour tout entier \(n \geqslant 1\) on a : \(a_{n}=\dfrac{3^{n}+1}{2 \times 3^{n}}\).
Déterminer de même une expression de \(b_{n}\) en fonction de \(n\) pour tout entier \(n \geqslant 1\).
Simulation informatique. On rappelle que
l’instruction rd.binomial(1,p) simule une loi
de Bernoulli de paramètre \(p\). Ainsi
si \(p=\frac{2}{3}\) l’instruction
a=rd.binomial(1,2/3) affecte à la variable
a la valeur \(0\) avec probabilité \(\frac{1}{3}\) et la valeur \(1\) avec probabilité \(\frac{2}{3}\). On utilise cette instruction
pour simuler une partie de 20 échanges entre Antoine et Béatrice.
Recopier et compléter les lignes 6 et 8 du programme ci-dessous
de telle sorte que lors de chacun des 20 échanges de la partie la
variable a corresponde au point marqué par
Antoine lors de cet échange (c’est-à-dire 1 ou 0).
Recopier et compléter les lignes 3 et 9 afin que la variable
S calcule la somme des points obtenus par
Antoine durant la partie.
import numpy.random as rd
a=rd.binomial(1,2/3)
S=..................
for i in range(2,21):
if a==1:
a=..........
else:
a=..........
S=..............
print(S)Soit \(g\) la fonction définie sur \(] 0 ,+\infty[\) par : \(g(x)=x-\ln (x)\).
Montrer que la dérivée de \(g\) vérifie pour tout réel \(x>0\) l’égalité : \(g^{\prime}(x)=\dfrac{x-1}{x}\).
Calculer \(g(1)\).
Calculer \(\lim\limits_{x\to 0} g(x) .\) Démontrer que \(\lim\limits_{x\to {+\infty}} g(x)=+\infty\).
Dresser le tableau des variations de \(g\) sur \(\left]0,{+\infty}\right[\) en y faisant figurer les résultats obtenus aux questions 1b et 1c.
Justifier que pour tout réel \(x>0\) on a : \(g(x)>0\).
Soit \(f\) la fonction définie sur \(] 0 ,+\infty[\) par : \(f(x)=\dfrac{1}{g(x)}=\dfrac{1}{x-\ln (x)}\).
Montrer que pour tout réel \(x>0\) on a : \(f^{\prime}(x)=\dfrac{1-x}{x \left[ x-\ln (x) \right])^{2}}\).
Déduire de 1c les limites de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(0\) et \(+\infty\).
Donner une interprétation graphique de la limite de \(f\) en \(+\infty\).
Dresser le tableau des variations de \(f\) sur \(] 0 ,+\infty[\) On y fera figurer les limites obtenues a la question 2b ainsi que \(f(1)\).
On cherche a résoudre l’équation \(f(x)=x\) dans \(]0,+\infty[\).
Montrer que, pour tout réel \(x>0\), l’équation \(f(x)=x\) est équivalente à l’équation : \[x-\ln (x)-\dfrac{1}{x}=0\]
On pose donc pour tout réel \(x>0: h(x)=x-\ln (x)-\dfrac{1}{x}\).
Montrer que la dérivée de \(h\) vérifie pour tout réel \(x>0\) l’égalité: \(h^{\prime}(x)=\dfrac{x^{2}-x+1}{x^{2}}\). En déduire le sens de variation de \(h\) sur \(] 0 ,+\infty[\).
On donne \(\lim\limits_{x\to 0} h(x)=-\infty\) et \(\lim\limits_{x\to {+\infty}} h(x)=+\infty .\) Dresser le tableau des variations de \(h\).
Déduire des questions précédentes que l’équation \(f(x)=x\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(] 0 ,+\infty[\). Calculer \(f(1)\). En déduire la valeur de \(\alpha\).
Tracer l’allure de la représentation graphique de \(f\) ainsi que la droite d’équation \(y=x\) dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\) d’unité \(4 \mathrm{cm}\).
Une entreprise fabrique à la chaîne des cartouches d’imprimante. Chaque cartouche a une probabilité \(p\) d’être défectueuse. En bout de chaîne une machine détecte à coup sûr les cartouches défectueuses et les retire de la chaîne.
Dans cette question, on suppose que l’on connait la valeur de la probabilité \(p\) et qu’elle est égale à \(\frac{2}{100}\). L’entreprise fabrique en une heure 100 cartouches dont les défauts éventuels sont indépendants les uns des autres.
Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de cartouches défectueuses détectées en bout de chaine durant cette période.
Reconnaître la loi de \(X\). On donnera l’ensemble \(X(\Omega)\) des valeurs prises par \(X\) ainsi que l’expression de \(\mathbb{P}(X=k)\) pour tout entier \(k\) appartenant à \(X(\Omega)\).
Calculer l’espérance et la variance de \(X\).
La machine affiche chaque heure le nombre de cartouches défectueuses mais l’afficheur ne peut plus afficher la valeur 0. En revanche il affiche normalement tous les autres nombres \(y\) compris \(10,20,\) etc. Lorsque \(X\) est égale à \(0\), il affiche au hasard n’importe quel nombre parmi les autres valeurs possibles de \(X\). Soit \(Y\) la variable aléatoire égale à la valeur affichée.
On rappelle que l’instruction
rd.binomial(n,p) simule une loi binomiale de
paramètres \((n, p)\) et que
l’instruction rd.randint(1,n+1) simule une loi
uniforme sur \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n}
\right]\kern-0.15em\right]\). Recopier et compléter le programme
suivant afin qu’il simule l’expérience ci-dessus et qu’il affiche les
valeurs respectives de \(X\) et de
\(Y\).
Dans cette question, la valeur de \(p\) est inconnue et on cherche à l’estimer. Pour cela on fait tester par la machine \(n\) cartouches \((n \geqslant 1)\). Pour tout \(i\) compris entre 1 et \(n\), on note \(X_{i}\) la variable aléatoire de Bernoulli égale à 1 si la \(i^{\grave{e}me}\) cartouche est défectueuse et égale à \(0\) sinon. On suppose que les variables aléatoires \(X_{i}\) sont indépendantes. On note \(M_{n}=\displaystyle\dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}\).
Rappeler, pour \(i\) compris entre \(1\) et \(n\), l’espérance et la variance de \(X_{i}\).
Calculer \(\mathbb{E}(M_{n})\).
Calculer \(\mathbb{V}(M_{n})\).
Soit \(\varepsilon>0 .\) On admet que \(p \left( 1-p \right) \leqslant \dfrac{1}{4}\). Montrer, en appliquant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev que : \(\mathbb{P}(\left| M_{n}-p \right| \geqslant \varepsilon ) \leqslant \dfrac{1}{4 n \varepsilon^{2}}\).
Soit \(\alpha \in \left] 0 , 1 \right[.\) Montrer que si \(\varepsilon=\dfrac{1}{\sqrt{4 n \alpha}}\) alors \(\left[M_{n}-\varepsilon , M_{n}+\varepsilon\right]\) est un intervalle de confiance pour \(p\) au niveau de confiance \(1-\alpha\).
Pour tout entier \(n \geqslant 1\) on pose : \(I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{t^{n}}{1+t} \,\mathrm{d}t\).
Vérifier que pour tout réel \(t\) appartenant a \([0 , 1]\) on a : \(\dfrac{t}{1+t}=1-\dfrac{1}{1+t}\).
En déduire que : \(I_{1}=1-\ln (2)\).
Montrer que pour tout entier \(n \geqslant 1\) on a : \(I_{n+1}+I_{n}=\dfrac{1}{n+1}\).
En déduire la valeur de \(I_2\) puis celle de \(I_{3}\).
Soit \(k\) un réel strictement positif. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par: \[f(t)=k\, \frac{t}{1+t} \quad \text { si } t \in[0 , 1] \quad \text { et } f(t)=0 \text { sinon }\]
En utilisant l’un des calculs de la question 1, déterminer la valeur qu’il faut donner à \(k\) pour que \(f\) puisse être une densité de probabilité. Vérifier que pour cette valeur de \(k\) la fonction \(f\) est bien une densité de probabilité.
Dans la suite de l’exercice, on suppose que \(k\) est la valeur trouve à la question 2 et que \(X\) est une variable aléatoire ayant \(f\) pour densité. On note \(F\) sa fonction de répartition.
Calculer \(F(x)\) lorsque \(x<0\) et lorsque \(x>1\).
Montrer que pour tout réel \(x \in[0 , 1]\) on a : \(F(x)=k \left[ x-\ln (1+x) \right]\).
En utilisant l’un des calculs de la question 1, justifier que \(X\) admet une espérance et que : \[\mathbb{E}(X)=\dfrac{\ln (2)-\frac{1}{2}}{1-\ln (2)}\]
En utilisant l’un des calculs de la question 1, justifier que \(X\) admet une variance et calculer \(\mathbb{V}(X) .\) On ne demande pas de simplifier l’expression de \(\mathbb{V}(X)\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.