On considère la matrice \(A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}\)
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) on a : \(A^{n}=\begin{pmatrix}2^{n} & 0 & 3^{n}-2^{n} \\ 0 & 3^{n} & n 3^{n-1} \\ 0 & 0 & 3^{n}\end{pmatrix}\).
Application à l’étude de deux suites.
On considère les suites \(\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) et \(\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définies par \(a_{0}=2, b_{0}=0\) et pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \[a_{n+1}=2 a_{n}+3^{n} \quad \text{et} \quad b_{n+1}=3 b_{n}+3^{n}\]
Quelle instruction faut-il ajouter en ligne 4 dans le programme suivant pour qu’il affiche la valeur de \(a_{n}\), l’entier \(n\) étant donné par l’utilisateur (on justifiera la réponse) ?
a=2*a+3**n
a=2*a+3**i
une autre instruction à préciser.
n=int(nput("n="))
a=2
for i in range(n):
..........
print(a)
Pour tout entier naturel \(n\) on pose \(X_{n}=\begin{pmatrix}a_{n} \\ b_{n} \\ 3^{n } \end{pmatrix}\).
Montrer que pour tout entier naturel \(n\) on a : \(X_{n+1}=A X_{n}\).
Recopier et compléter le programme suivant afin qu’il affiche la valeur de \(a_{n}\), l’entier \(n\) étant donné par l’utilisateur.
import numpy as np
n=int(input('n='))
A=np.array(........)
X=np.array(........)
for i in range (1,n+1):
X=..........
print(X[0])
Établir, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), que : \(X_{n}=A^{n} X_{0}\).
En déduire en utilisant 1. que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) on a : \(a_{n}=2^{n}+3^{n}\) et \(b_{n}=n 3^{n-1}\).
Application au calcul des puissances d’une autre matrice.
On considère les matrices \(M=\begin{pmatrix}4 & 0 & -2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\), \(P=\begin{pmatrix}0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}\) et \(Q=\begin{pmatrix}-1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{pmatrix}\).
Calculer \(P Q\). En déduire que \(P\) est inversible et donner \(P^{-1}\).
Vérifier que \(P M P^{-1}=A\).
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) on a : \(M^{n}=P^{-1} A^{n} P\).
En déduire que pour tout entier naturel \(n\) on a: \(M^{n}=\begin{pmatrix}2 \times 3^{n}-2^{n} & 0 & 2\left(2^{n}-3^{n}\right) \\ -n 3^{n-1} & 3^{n} & n 3^{n-1} \\ 3^{n}-2^{n} & 0 & 2^{n+1}-3^{n}\end{pmatrix}\).
Application au calcul d’une somme
Montrer que pour tout entier naturel \(k\) on a : \(2 b_{k}=b_{k+1}-b_{k}-3^{k}\).
Pour tout entier naturel \(n\) calculer : \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} 3^{k}\).
Montrer que pour tout entier naturel \(n\) on a : \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\left(b_{k+1}-b_{k}\right)=b_{n+1}\).
Déduire des questions précédentes et de 2.e) que pour tout entier naturel \(n\) on a : \[\sum_{k=0}^{n} k 3^{k-1}=\frac{(n+1) 3^{n}}{2}+\frac{1}{4}-\frac{3^{n+1}}{4}\]
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}\).
Soit \(\mathcal{C}\) la représentation graphique de \(f\) dans un repère \((O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})\) d’unité \(2 \mathrm{~cm}\).
Calculer \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)\). Que pouvez-vous en déduire sur la représentation graphique \(\mathcal{C}\) de \(f\) ?
Montrer que pour pour tout réel \(x\) on a : \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}}\).
En déduire \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)\). Comment interpréter graphiquement ce résultat ?
Montrer que la dérivée de \(f\) vérifie, pour tout réel \(x\), la relation : \(\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}\).
Déterminer le sens de variation de \(f\). Dresser son tableau de variation en y faisant figurer les limites calculées aux questions 1 et 2 ainsi que \(f(0)\).
Déterminer l’équation de la tangente \(\mathcal{T}\) à \(\mathcal{C}\) au point d’abscisse 0.
On admet que pour tout réel \(x\) on a : \(\displaystyle f^{\prime \prime}(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}\left(1-\mathrm{e}^{x}\right)}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)^{3}}\). Étudier la convexité de \(f\).
Tracer \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{T}\).
Pour tout réel \(x\), on pose: \(h(x)=\ln \! \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)\).
Calculer la dérivée de \(h\).
Montrer que l’intégrale \(\displaystyle \int_{-\infty}^{0} f(x) \,\mathrm{d}x\) est convergente et calculer sa valeur.
Dans cet exercice on suppose que l’on dispose de deux urnes \(\mathcal{U}_{1}\) et \(\mathcal{U}_{2}\). L’urne \(\mathcal{U}_{1}\) contient 4 boules rouges tandis que l’urne \(\mathcal{U}_{2}\) contient deux boules rouges et deux boules blanches.
On commence par lancer une pièce non truquée. Si l’on obtient « pile » on choisit de faire une succession de tirages dans l’urne \(\mathcal{U}_{1}\). Dans le cas contraire on choisit de faire les tirages dans l’urne \(\mathcal{U}_{2}\).
On note \(F\) l’événement « la pièce amène face ». L’événement « la pièce amène pile » est donc \(\overline{F}\). On définit également pour tout entier \(k \geqslant 1\) l’événement \(R_{k}:\) « le \(k\)-ème tirage dans l’urne choisie amène une boule rouge ».
On lance la pièce, on choisit l’urne puis on effectue un tirage. Montrer en utilisant la formule des probabilités totales que la probabilité de tirer une boule rouge est \(\frac{3}{4}\).
On lance la pièce, on choisit l’urne puis on effectue deux tirages sans remise. C’est-à-dire que la boule tirée lors du premier tirage n’est pas remise dans l’urne avant de procéder au deuxième tirage dans la même urne.
Calculer \(\mathbb{P}_{F} \! \left(R_{1} \cap R_{2}\right)\) et \(\mathbb{P}_{\overline{F}} \! \left(R_{1} \cap R_{2}\right)\). En déduire que la probabilité que le tirage amène deux boules rouges de suite est \(\dfrac{7}{12}\).
On remarque a posteriori que les deux boules tirées sont rouges. Quelle est la probabilité que la pièce ait amené pile?
On lance la pièce, on choisit l’urne puis on décide de faire des tirages sans remise dans l’urne choisie jusqu’à ce que l’on soit en mesure de déterminer avec certitude dans quelle urne l’on se trouve. On note \(Y\) la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.
Justifier que l’ensemble \(Y(\Omega)\) des valeurs prises par \(Y\) est égal à \(\left[\!\left[1,4\right]\!\right]\).
Expliquer pourquoi \((Y=1)=F \cap B_{1}\). En déduire \(\mathbb{P}(Y=1)\).
Calculer de même \(\mathbb{P}(Y=2)\).
Justifier que \(\mathbb{P}(Y=4)=\dfrac{1}{2}\). Déduire alors des questions précédentes que \(\mathbb{P}(Y=3)=\dfrac{1}{12}\).
Calculer \(\mathbb{E}(Y)\).
Soit \(n\) un entier naturel non nul. On considère la fonction \(f_{n}\) définie par: \(f_{n}(t)= \begin{cases}n t^{n-1} & \text { si } t \in[0,1] \\ \hfill 0 \hfill & \text { sinon }\end{cases}\).
Calculer \(\displaystyle \int_{0}^{1} f_{n}(t) \,\mathrm{d}t\).
Montrer que \(f_{n}\) est une densité de probabilité.
Soit \(X_{n}\) une variable aléatoire ayant \(f_{n}\) comme densité. On note \(F_{n}\) la fonction de répartition de \(X_{n}\).
Calculer \(F_{n}(x)\) pour tout réel \(x<0\) et tout réel \(x>1\).
Montrer que pour tout réel \(x \in[0 , 1]\) on a : \(F_{n}(x)=x^{n}\).
Montrer que \(X_{n}\) admet une espérance et que \(\displaystyle \mathbb{E}(X_{n})=\frac{n}{n+1}\).
Un exemple.
Une cible circulaire de rayon 1 mètre est posée au sol. Deux joueurs 1 et 2 lancent chacun un palet en direction de la cible. On note \(U_{1}\) et \(U_{2}\) les variables aléatoires égales aux distances respectives en mètres entre le centre de la cible et les points d’impact des palets des joueurs 1 et 2. On suppose que \(U_{1}\) et \(U_{2}\) suivent des lois uniformes sur \([0 , 1]\) et qu’elles sont indépendantes.
On note \(Z\) la variable aléatoire égale à la plus grande valeur entre \(U_{1}\) et \(U_{2}\) et \(H\) sa fonction de répartition.
On rappelle l’expression de la fonction de répartition \(F\) d’une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur \([0 , 1]\) : \[F(x)=\begin{cases}0 & \text { si } x<0 \\ x & \text { si } x \in[0 , 1] \\ 1 & \text { si } x>1\end{cases}\]
Justifier que pour tout réel \(x\) on a : \(\mathbb{P}(Z \leqslant x)=\mathbb{P}\! \left( \left[U_{1} \leqslant x\right] \cap\left[U_{2} \leqslant x\right]\right)\).
En déduire, l’expression de \(H(x)\) pour tout réel \(x\). Vérifier que \(Z\) et \(X_{2}\) suivent la même loi.
Calculer \(\displaystyle \mathbb{P}\!\left(Z \geqslant \frac{1}{3}\right)\) et \(\displaystyle \mathbb{P}\! \left(\frac{1}{3} \leqslant Z \leqslant \frac{1}{2}\right)\). Vérifier que \(\displaystyle \mathbb{P}_{\left[Z \geqslant \frac{1}{3}\right]} \! \left(Z \leqslant \frac{1}{2}\right)=\frac{5}{32}\).
Recopier et compléter le programme suivant afin qu’il simule l’expérience ci-dessus et qu’il affiche la valeur de \(Z\).
On revient au cas général où \(n\) est un entier naturel non nul quelconque. On pose \(Y_{n}=-\ln (X_{n})\). On admet que l’on définit ainsi une variable aléatoire à densité. On note \(G_{n}\) sa fonction de répartition.
Montrer que pour tout réel \(x\) on a: \(G_{n}(x)=1-F_{n}(\mathrm{e}^{-x})\).
Vérifier que si \(x<0\) alors \(\mathrm{e}^{-x}>1\). En déduire \(G_{n}(x)\) lorsque \(x<0\).
En utilisant 2.b) calculer \(G_{n}(x)\) lorsque \(x \geqslant 0\). Reconnaitre la loi de \(Y_{n}\).
Donner \(\mathbb{E}(Y_{n})\) et \(\mathbb{V}(Y_{n})\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.