On considère les matrices suivantes : \[I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ; \quad A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} ; \quad L=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ; \quad P=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\]
Calculer \(P^{3}\). En déduire que \(P\) est inversible et donner son inverse.
Vérifier que \(P^{-1} A P=L\).
Montrer que pour tout entier naturel \(n\) on a : \(P^{-1} A^{n} P=L^{n}\).
Soit \(J=L-I\). Calculer \(J^{2}\) puis \(J^{3}\).
En utilisant la formule du binôme, montrer que pour tout entier \(n \geqslant 2\) on a:
\[L^{n}=I+n J+\frac{n(n-1)}{2} J^{2}\]
En déduire, pour \(n \geqslant 2\), les neuf coefficients de \(L^{n}\). Vérifier que votre résultat reste vrai lorsque \(n=0\) et lorsque \(n=1\).
Déduire des questions précédentes que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) on a: \(A^{n}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 2 n \left( n-1 \right) & 1 & 2 n \\ 2 n & 0 & 1\end{pmatrix}\)
On considère les trois suites \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1},\left(v_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) et \(\left(w_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) définies par \(u_{1}=1, v_{1}=0\) et \(w_{1}=2\) et pour tout entier naturel \(n \geqslant 1\) : \[u_{n+1}=u_{n} ,\quad v_{n+1}=v_{n}+2 w_{n} \quad \text{et} \quad w_{n+1}=2 u_{n}+w_{n}\]
Que pouvez-vous dire de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) ? Donner \(u_{n}\) pour tout entier \(n \geqslant 1\).
Pour tout entier \(n \geqslant 1\), on pose \(X_{n}=\begin{pmatrix}1 \\ v_{n} \\ w_{n}\end{pmatrix}\). Montrer que \(X_{n+1}=A X_{n}\).
Établír pour tout entier \(n \geqslant 1\) que: \(X_{n}=A^{n-1} X_{1}\).
Déduire des questions précédentes que pour tout entier \(n \geqslant 1\) on a : \(v_{n }=2 n \left( n-1 \right)\) et \(w_{n}=2 n\).
On considère le programme Python
suivant qui permet de calculer les premiers termes des suites \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}\), \(\left(v_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) et
\(\left(w_{n}\right)_{n \geqslant
1}\).
Compléter la ligne 2 afin que soit mémorisée dans la variable A la matrice \(A\).
import numpy as np
A=..........
u=np.zeros(10)
v=np.zeros(10)
w=np.zeros(10)
u[0]=1
w[0]=2
X=np.array([[1],[0],[2]])
for i in range(1,10):
X=np.dot(A,X)
u[i]=1
........
........Pour mémoriser les termes successifs de la suite \(\left(v_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) de \(v_{2}\) à \(v_{10}\), quelle instruction parmi. celles-ci faut-il ajouter en ligne 10? On justifiera la réponse.
v[i]=X[i]
v[i]=X
v[i]=X[1]
une autre instruction à préciser.
Proposer de la même manière une instruction pour la ligne 13 qui permette de mémoriser les premiers termes de la suite \(\left(w_{n}\right)_{n \geqslant 1}\).
On considère la fonction \(f\) définie sur \(] 0,+\infty [\) par: \(f(x)=\mathrm{e}^{x}-\ln (x)\) et la fonction \(g\) définie sur \(\left[0,+\infty \right[\) par : \(g(x)=x \, \mathrm{e}^{x}-1\).
Calculer \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)\).
Calculer la dérivée \(g^{\prime}\) de \(g\) sur \([0,+\infty[\). En déduire le tableau des variations de \(g\). On y fera figurer la valeur en 0 et la limite en \(+\infty\).
Montrer que l’équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([0,+\infty[\).
Vérifier que \(\alpha \in[0,1]\).
Préciser le signe de \(g(x)\) selon les valeurs de \(x\).
Calculer la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers 0 par valeurs supérieures et la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).
Montrer que la dérivée de \(f\) vérifie, pour tout réel \(x\) strictement positif : \(\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{x}\). En déduire le tableau des variations de \(f\) sur \(] 0,+\infty[\).
Justifier que le réel \(\alpha\) vérifie \(\displaystyle \frac{1}{\alpha}=\mathrm{e}^{\alpha}\). En déduire que \(\displaystyle f(\alpha)=\alpha+\frac{1}{\alpha}\).
Montrer que la dérivée seconde de \(f\) vérifie, pour tout réel \(x \in \left] 0,+\infty\right[\) : \(\displaystyle f^{\prime \prime}(x)=\mathrm{e}^{x}+\frac{1}{x^{2}}\).
Étudier la convexité de \(f\) sur \(] 0,+\infty[\).
Tracer la représentation graphique de \(f\) dans un repère orthonormé \((O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})\) d’unité \(2 \mathrm{~cm}\). On conne \(\alpha \simeq 0,57\) et \(f(\alpha) \simeq 2,33\).
Dans un square, un enfant cherche à monter au sommet de la « cage à l’écureuil ». Il s’agit d’une structure métallique que l’enfant doit escalader jusqu’à son sommet.
La cage est constituée de trois niveaux. L’enfant part du premier niveau \(A\). Il cherche ensuite à atteindre le deuxième niveau \(B\) et enfin le troisième niveau qui est le sommet \(C\).
On décompose l’ascension de l’enfant en une succession d’instants. On suppose qu’à l’instant 0, l’enfant se trouve sur le niveau \(A\) puis que la montée se fait selon le protocole suivant:
si à un instant \(n\) donné l’enfant est sur le niveau \(A\) alors à l’instant suivant \(n+1\) il y reste avec la probabilité \(\frac{1}{3}\) et passe au niveau \(B\) avec la probabilité \(\frac{2}{3}\);
si à un instant \(n\) donné l’enfant est sur le niveau \(B\) alors à l’instant suivant \(n+1\) il y reste avec la probabilité \(\frac{1}{3}\) et il atteint le sommet \(C\) avec la probabilité \(\frac{2}{3}\);
si à un instant donné l’enfant est au sommet \(C\) alors il y reste définitivement.
On note pour tout entier naturel \(n\), \(A_{n}\) l’événement : « l’enfant se trouve sur le niveau \(A\) à l’instant \(n\) », \(B_{n}\) l’événement « l’enfant se trouve sur le niveau \(B\) à l’instant \(n\) ». On note enfin \(C_{n}\) l’événement: « à l’instant \(n\) l’enfant est au sommet ». On note \(a_{n}, b_{n}\) et \(c_{n}\) les probabilités respectives de ces trois événements.
Donner les probabilités \(a_{1}, b_{1}\) et \(c_{1}\).
En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a : \[a_{n+1}=\frac{1}{3} \, a_{n},\quad b_{n+1}=\frac{2}{3} \, a_{n}+\frac{1}{3} \, b_{n} \quad \text{et} \quad c_{n+1}=\frac{2}{3}\, b_{n}+c_{n}\]
Montrer que pour tout entier naturel \(n\) on a : \(\displaystyle a_{n}=\frac{1}{3^{n}}\).
Pour tout entier naturel \(n\) on pose : \(v_{n}=3^{n} b_{n}\).
Montrer que la suite \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est arithmétique de raison 2.
En déduire, pour tout entier naturel \(n\), une expression de \(v_{n}\) en fonction de \(n\).
Établir, pour tout entier naturel \(n\), que : \(\displaystyle b_{n}=\frac{2 n}{3^{n}}\).
Pour tout entier naturel \(n\), quelle est la valeur de \(a_{n}+b_{n}+c_{n}\) ? En déduire une expression de \(c_{n}\) en fonction de l’entier \(n\).
Calculer \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} c_{n}\). Comment interpréter le résultat ?
On note \(X\) la variable aléatoire égale à l’instant où l’enfant atteint le sommet.
Déterminer l’ensemble des valeurs prises par \(X\).
Justifier que pour tout entier naturel \(n \geqslant 2\) on a: \([X=n ]=B_{n-1} \cap C_{n}\).
En déduire, pour \(n \geqslant 2\), que : \(\mathbb{P}(X=n)=\frac{4(n-1)}{3^{n}}\).
On note \(X_{1}\) la variable aléatoire égale à l’instant où pour la première fois l’enfant quitte le niveau \(A\) pour arriver sur le niveau \(B\).
Justifier que \(X_{1}\) suit une loi usuelle. Donner l’ensemble \(X_{1}(\Omega)\) des valeurs prises par \(X_{1}\) et donner \(\mathbb{P}(X_{1}=k)\) pour tout entier \(k\) de \(X_{1}(\Omega)\). Calculer \(\mathbb{E}(X_{1})\).
On note \(X_{2}\) la variable aléatoire égale au nombre d’instants supplémentaires nécessaires à l’enfant pour atteindre pour la première fois le niveau \(C\) une fois qu’il a atteint le niveau \(B\). Justifier que \(X_{2}\) suit la même loi que \(X_{1}\).
Exprimer la variable aléatoire \(X\) en fonction de \(X_{1}\) et de \(X_{2}\). En déduire que \(X\) admet une espérance et que \(\mathbb{E}(X)=3\).
Soit \(\alpha\) un réel strictement supérieur à 1. On considère la fonction \(f\) définie par : \[f(t)=0 \text { si } t<1 \quad \text{et} \quad f(t)=\frac{\alpha}{t^{\alpha+1}} \text { si } t \geqslant 1\]
Soit \(A\) un réel supérieur ou égal à 1. On pose \(\displaystyle I(A)=\int_{1}^{A} \frac{\alpha}{t^{\alpha+1}} \,\mathrm{d}t\).
Montrer que \(\displaystyle I(A)=1-\frac{1}{A^{\alpha}}\).
Montrer que \(f\) peut être considérée comme une densité de probabilité.
Un apiculteur cherche à estimer la durée de vie de ses bougies à la cire d’abeille, c’est-à-dire le temps en heures qu’elles restent allumées en continu avant de s’éteindre. Dans la suite de l’exercice on considère que la durée de vie d’une bougie prise au hasard est une variable aléatoire \(X\) ayant pour densité \(f\).
Calculer \(\displaystyle J(A)=\int_{1}^{A} \frac{\alpha}{t^{\alpha}} \,\mathrm{d}t\) pour tout réel \(A \geqslant 1\).
En déduire que la variable aléatoire \(X\) admet une espérance et vérifier que \(\mathbb{E}(X)=\frac{\alpha}{\alpha-1}\).
Soit \(F\) la fonction de répartition de \(X\). Calculer \(F(x)\) pour tout réel \(x<1\). Montrer que pour \(x \geqslant 1\) on a : \(\displaystyle F(x)=1-\frac{1}{x^{\alpha}}\).
Dans cette question, et seulement cette question on suppose que \(\alpha=2\). On donnera les réponses sous forme de fractions simplifiées.
On prend une bougie au hasard et on l’allume. Quelle est la probabilité que la bougie reste allumée en continu plus de deux heures? entre deux et trois heures?
On remarque que la bougie est encore allumée au bout de deux heures, quelle est la probabilité qu’elle reste allumée encore une heure?
On pose \(Y=\ln (X)\). On admet que \(Y\) est une variable aléatoire à densité et on note \(G\) sa fonction de répartition.
Montrer que pour tout réel \(x\) on a: \(G(x)=F (\mathrm{e}^{x} )\).
En déduire que pour tout réel \(x \geqslant 0\) on a: \(G(x)=1-\mathrm{e}^{-\alpha x}\). Calculer de même \(G(x)\) pour tout réel \(x<0\).
Reconnaître la loi de \(Y\). En déduire son espérance et sa variance.
Le paramètre \(\alpha\) de la variable aléatoire \(X\) est pour l’instant inconnu. On cherche à l’estimer. Pour cela, on allume \(n\) bougies au hasard dans des conditions identiques et indépendantes et on mesure les moments où elles s’éteignent. On note \(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\) les durées de vie respectives de chaque bougie. On pose enfin \(Z_{n}=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} \ln (X_{i})\).
Calculer \(\mathbb{E}(Z_{n} )\).
Montrer que \(\displaystyle \mathbb{V}\! \left(Z_{n}\right)=\frac{1}{n \alpha^{2}}\).
On suppose que \(n=100\) et que
les valeurs de l’échantillon on été entrées dans une variable
Python \(X=[X[0],
X[1], \ldots, X[99]]\) (matrice ligne à 100 colonnes).
L’instruction np.mean(np.log(X)) amène le
résultat 0,33.
À combien estimez-vous la valeur de \(\alpha\) ? A combien estimez-vous la durée de vie moyenne d’une bougie?
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.