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Épreuve de Mathématiques A
Durée : 4 heures.
Sujet de la banque PT 2026.
Le sujet est composé de 4 parties.
Les deux premières parties sont indépendantes entre elles, les deux dernières parties utilisent certains résultats établis dans les deux premières parties.
On considère les matrices : \[M_1=\begin{pmatrix}2 & 6\\ 1 & 1\end{pmatrix},\qquad M_2=\begin{pmatrix}3 & -2\\ 1 & 1\end{pmatrix},\qquad M_3=\begin{pmatrix}5 & -4\\ 1 & 1\end{pmatrix}\]
Rappeler la caractérisation des matrices trigonalisables à l’aide du polynôme caractéristique.
\(M_1\) est-elle diagonalisable dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{C})\) ? dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) ?
Déterminer (si possible) une matrice \(P_1\) inversible et une matrice diagonale \(D_1\) telles que \(M_1=P_1D_1P_1^{-1}\).
Le calcul de \(P_1^{-1}\) n’est pas demandé.
\(M_2\) est-elle diagonalisable dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{C})\) ? dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) ?
Déterminer (si possible) une matrice \(P_2\) inversible et une matrice diagonale \(D_2\) telles que \(M_2=P_2D_2P_2^{-1}\).
Le calcul de \(P_2^{-1}\) n’est pas demandé.
\(M_3\) est-elle diagonalisable dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) ? Trigonalisable dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) ?
On note \(f_3\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^2\) canoniquement associé à la matrice \(M_3\).
Déterminer une base de \(\mathbb{R}^2\) dans laquelle la matrice de \(f_3\) est \(T_3=\begin{pmatrix}3 & 1\\ 0 & 3\end{pmatrix}\).
On s’intéresse désormais aux matrices \(M(a,b)=\begin{pmatrix}a & b\\ 1 & 1\end{pmatrix}\) où \((a,b)\in\mathbb{R}^2\).
À quelle condition nécessaire et suffisante les matrices \(M(a,b)\) sont-elles inversibles ?
Calculer le discriminant \(\Delta(a,b)\) du polynôme caractéristique de \(M(a,b)\).
Justifier que si \(\Delta(a,b)=0\) alors \(M(a,b)\) n’est pas diagonalisable dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{C})\).
Lorsque \(\Delta(a,b)\neq0\), \(M(a,b)\) est-elle diagonalisable ? On précisera si c’est dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) et/ou \(\mathcal{M}_2(\mathbb{C})\).
Représenter sur la feuille de papier millimétré fournie :
l’ensemble des points de coordonnées \((a,b)\) tels que \(M(a,b)\) est non inversible ;
l’ensemble des points de coordonnées \((a,b)\) tels que \(M(a,b)\) est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) ;
l’ensemble des points de coordonnées \((a,b)\) tels que \(M(a,b)\) est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{C})\) mais pas dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) ;
l’ensemble des points de coordonnées \((a,b)\) tels que \(M(a,b)\) n’est pas diagonalisable dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{C})\) ;
les \(3\) points correspondant aux matrices \(M_1\), \(M_2\) et \(M_3\) définies en début de cette partie.
Dans cette partie, on considère la matrice : \[C=(c_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant3}=\frac{1}{12}\begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\] ainsi que le couple de variables aléatoires \((X,Y)\) dont la loi conjointe est donnée par :
\(X(\Omega)=Y(\Omega)=\{x_1,x_2,x_3\}\) avec \(x_1=-1\), \(x_2=0\) et \(x_3=1\).
\(\forall i\in\{1,2,3\},\ \forall j\in\{1,2,3\},\ \mathbb{P}(X=x_i,Y=x_j)=c_{i,j}\).
On note \(U\) le vecteur \(\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}\) et \(V\) le vecteur \(\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix}\).
On convient de confondre une matrice de \(\mathcal{M}_1(\mathbb{R})\) avec son unique coefficient.
Justifier soigneusement que le produit \(CU\) permet d’obtenir la loi de \(X\) puis déterminer cette loi.
Vérifier que l’espérance de \(X\), notée \(\mathbb{E}(X)\), est égale à \(V^{\top}CU\) puis la calculer.
Donner, sans justification, les produits matriciels qui permettent d’obtenir la loi marginale de \(Y\) et l’espérance \(\mathbb{E}(Y)\) de \(Y\) puis effectuer ces produits.
Que représente le produit \(V^{\top}CV\) pour le couple \((X,Y)\) ? Une justification est attendue.
Calculer ce produit.
Calculer la covariance de \(X\) et \(Y\).
Les variables aléatoires \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ? On donnera deux justifications différentes.
Que représente la trace de \(C\) pour le couple \((X,Y)\) ? La calculer.
Dans cette partie, on considère deux variables aléatoires \(A\) et \(B\) ainsi que la matrice \(M(A,B)=\begin{pmatrix}A & B\\ 1 & 1\end{pmatrix}\).
On suppose dans cette question que les variables aléatoires \(A\) et \(B\) sont égales respectivement aux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) définies par la partie B.
Déterminer la probabilité que \(M(A,B)\) soit inversible.
Calculer la probabilité que \(M(A,B)\) ne soit pas diagonalisable dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) ni dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{C})\).
On suppose désormais et jusqu’à la fin de cette partie que \(A\) et \(B\) sont deux variables aléatoires indépendantes.
On suppose que \(A\) et \(B\) sont à valeurs dans une partie \(H\) de \(\mathbb{N}\).
Établir soigneusement que : \[\mathbb{P}(A=B)=\sum_{k\in H}\mathbb{P}(A=k)\mathbb{P}(B=k)\]
On suppose dans cette question que \(A\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\) où \(n\) est un entier naturel non nul et \(p\) est un réel appartenant à \(\left]0,1\right[\) et \(B\) suit la loi géométrique de paramètre \(r\) où \(r\) est un réel appartenant à \(\left]0,1\right[\).
Rappeler l’univers-image \(A(\Omega)\) de \(A\) ainsi que les probabilités \(\mathbb{P}(A=k)\) pour \(k\in A(\Omega)\).
Rappeler l’univers-image \(B(\Omega)\) de \(B\) ainsi que les probabilités \(\mathbb{P}(B=k)\) pour \(k\in B(\Omega)\).
Démontrer que la probabilité que \(M(A,B)\) ne soit pas inversible est égale à : \[\frac{r}{1-r}\left[(1-pr)^n-(1-p)^n\right]\]
On suppose dans cette question que \(A\) suit la loi de Poisson de paramètre \(\lambda\) et que \(C=-B\) suit la loi de Poisson de paramètre \(\mu\) où \(\lambda\) et \(\mu\) sont deux réels strictement positifs.
Rappeler l’univers-image \(A(\Omega)\) de \(A\) ainsi que les probabilités \(\mathbb{P}(A=k)\) pour \(k\in A(\Omega)\).
Démontrer que \(A+C\) suit la loi de Poisson de paramètre \(\lambda+\mu\).
On pourra utiliser les fonctions génératrices.
En déduire la probabilité que \(M(A,B)\) soit inversible.
On suppose désormais jusqu’à la fin de cette partie que \(A\) suit la loi de Poisson de paramètre \(\lambda\) et \(B\) suit la loi de Poisson de paramètre \(\mu\) où \(\lambda\) et \(\mu\) sont deux réels strictement positifs.
Démontrer que la probabilité que \(M(A,B)\) soit non inversible est égale à : \[I=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(\lambda\mu)^k}{(k!)^2}\mathrm{e}^{-(\lambda+\mu)}\]
L’objectif des questions suivantes est de déterminer une valeur approchée de \(I\).
Une première option : Pour tout \(n\geqslant0\), on note \(R_n=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{(\lambda\mu)^k}{(k!)^2}\mathrm{e}^{-(\lambda+\mu)}\).
Démontrer que : \[\forall n\geqslant0,\ \left| R_n \right|\leqslant\frac{1}{(n+1)!}\mathrm{e}^{\lambda\mu-(\lambda+\mu)}\]
Écrire en langage Python une
fonction val_app de paramètre un réel strictement positif
eps, qui calcule et renvoie la valeur d’une somme partielle
de \(I\) représentant une valeur
approchée de \(I\) à \(\texttt{eps}>0\) près.
On supposera que les valeurs de \(\lambda\) et de \(\mu\) sont stockées respectivement dans les
variables globales la et mu et que les
fonctions exponentielle et factorielle sont disponibles grâce à la
commande :
from math import exp, factorial
Il n’est pas demandé la documentation des fonctions mais il possible et même recommandé de commenter les lignes de code.
Quelle instruction doit-on rajouter pour afficher une valeur approchée de \(I\) à \(10^{-5}\) près ?
Une deuxième option : Soit \(N\) un entier naturel non nul. On simule \(N\) fois de façon indépendante les variables aléatoires \(A\) et \(B\).
Pour \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]\), on note \(J_i\) la variable aléatoire égale à \(1\) si la matrice \(M(A,B)\) est non inversible lors de la \(i\)-ème simulation et égale à \(0\) sinon.
On note également \(K_N=\displaystyle\sum_{k=1}^NJ_i\) et \(\overline{K_N}=\frac{1}{N}K_N\).
Reconnaitre la loi de la variable aléatoire \(J_i\) pour \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]\). On donnera son nom ainsi que son ou ses paramètres.
Quelle est la loi de \(K_N\) ? On donnera son nom ainsi que son ou ses paramètres. Une justification est attendue.
En déduire l’espérance et la variance de \(\overline{K_N}\).
Démontrer à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que : \[\forall\varepsilon>0,\ \mathbb{P}\!\left(\left| \overline{K_N}-I \right|\geqslant\varepsilon\right)\leqslant\frac{1}{4N\varepsilon^2}\]
En déduire que : \[\forall\varepsilon>0,\ \mathbb{P}\!\left(I\in\left[\overline{K_N}-\varepsilon,\overline{K_N}+\varepsilon\right]\right)\geqslant1-\frac{1}{4N\varepsilon^2}\]
Pour \(\lambda=1\) et \(\mu=2\), on effectue \(N=100\,000\) simulations.
La matrice \(M(A,B)\) a été non inversible à \(21\,357\) reprises.
Quelle information concernant la valeur de \(I\), l’inégalité précédente donne-t-elle si on prend \(\varepsilon=10^{-2}\) ? Puis \(\varepsilon=10^{-3}\) ?
Soient \(n\in\mathbb{N}^\ast\), \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires telles que \(X(\Omega)=\{x_1,x_2,\dots,x_n\}\) et \(Y(\Omega)=\{y_1,y_2,\dots,y_n\}\).
On note \(Q=(q_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) la matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) définie par : \[\forall(i,j)\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2,\ q_{i,j}=\mathbb{P}(X=x_i,Y=y_j)\]
On suppose que \(X\) et \(Y\) sont indépendantes et que \(\forall i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ \mathbb{P}(X=x_i)\neq0\).
Justifier que le rang de la matrice \(Q\) est égal à \(1\).
Que peut-on en déduire concernant les éventuelles valeurs propres (réelles) de \(Q\) ainsi que leur multiplicité ?
Démontrer que \(Q\) est diagonalisable.
Lorsque \(n=4\), donner un exemple où \(Q\) n’est pas diagonalisable si on enlève l’hypothèse \(\forall i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ \mathbb{P}(X=x_i)\neq0\).
Les deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) devront être non constantes.
On suppose que le rang de \(Q\) est égal à \(1\).
Démontrer que \(X\) et \(Y\) sont indépendantes.
On pourra, si nécessaire, généraliser sans démonstration certains résultats vus dans la partie B.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Épreuve écrite commune de la Banque PT : elle compte pour tous les concours de la filière PT (Polytechnique, ENS Paris-Saclay et Rennes, Centrale-Supélec, Mines-Ponts, Mines-Télécom, CCINP, Arts et Métiers, Polytech…).
Un sujet d'algèbre et de probabilités très guidé : réduction des matrices M(a, b) de taille 2, lois d'un couple de variables aléatoires lues sur un produit matriciel, probabilités qu'une matrice à coefficients aléatoires (lois géométriques, de Poisson) soit inversible ou diagonalisable, approximation numérique en Python et par simulation (Bienaymé-Tchebychev), puis lien entre rang 1 et indépendance.
Proche du cours ; les justifications de sommes de séries demandent du soin.