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MATHÉMATIQUES
MÉTHODES DE CALCUL ET RAISONNEMENT
Durée : 2 heures
Sujet du concours Agro-Véto 2025 (concours A BCPST).
L’usage d’abaques, de tables, de calculatrice et de tout instrument électronique susceptible de permettre au candidat d’accéder à des données et de les traiter par les moyens autres que ceux fournis dans le sujet est interdit.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
Les trois parties sont indépendantes à l’exception de la dernière question de la deuxième partie.
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels. On définit : \[f_{a,b}\ :\ x\mapsto x^a(1-x)^b \qquad\text{et}\qquad I_{a,b}=\int_0^1f_{a,b}(x)\,\mathrm{d}x\]
Représenter graphiquement les fonctions \(f_{1,1}\) et \(f_{2,1}\) sur le segment \([0,1]\).
Calculer \(I_{0,n}\) pour tout entier naturel \(n\).
Soit \((a,b)\in\mathbb{N}^2\) tel que \(a\neq0\). Trouver une relation entre \(I_{a,b}\) et \(I_{a-1,b+1}\).
En déduire que pour tout \(a\in\mathbb{N}\), on a : \[\forall b\in\mathbb{N},\ I_{a,b}=\frac{a!\,b!}{(a+b+1)!}\]
Déterminer la limite de la suite de terme général \(\frac{I_{n+1,n+1}}{I_{n,n}}\).
Soit \(u\) une suite réelle et \(\ell\) un réel.
Donner la définition, avec quantificateurs, de \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\).
En déduire l’existence d’un rang \(n_0\) tel que pour tout \(n\geqslant n_0\) on ait : \[\frac{I_{n+1,n+1}}{I_{n,n}}\leqslant\frac{1}{2}\]
En déduire que pour tout \(n\geqslant n_0\) on a : \(I_{n,n}\leqslant\frac{2^{n_0}\,I_{n_0,n_0}}{2^n}\).
Déterminer la nature de la série de terme général \(I_{n,n}\).
Déterminer un équivalent de \(\ln\!\left(\frac{2n}{2n+1}\right)\) lorsque \(n\) tend vers \({+\infty}\).
En déduire la limite de \(\exp\!\left((2n+1)\ln\!\left(\frac{2n}{2n+1}\right)\right)\) lorsque \(n\) tend vers \({+\infty}\).
On admet l’équivalent suivant (dit de Stirling) : \[n!\sim n^n\mathrm{e}^{-n}\sqrt{2\pi n}\] En déduire un équivalent de \(4^n\,I_{n,n}\).
Déterminer la nature de la série de terme général \(4^n\,I_{n,n}\).
On fixe un entier naturel \(n>0\) et l’on considère \(n\) variables aléatoires \(X_1,\dots,X_n\) indépendantes qui suivent toutes une loi uniforme sur le segment \([0,1]\).
Pour tout entier \(k\) tel que \(1\leqslant k\leqslant n\), on note \(X_{(k)}\) la \(k\)-ième plus petite valeur parmi les variables aléatoires \(X_1,\dots X_n\). On a donc, en particulier, \(X_{(1)}=\min(X_1,\dots,X_n)\) et \(X_{(n)}=\max(X_1,\dots,X_n)\).
Si l’on suppose (dans cette question uniquement) que \(n\) est impair, quel nom donne-t-on à la variable \(X_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}\) ?
Donner la fonction de répartition de \(X_1\), son espérance et sa variance.
Déterminer les fonctions de répartitions de \(X_{(1)}\) et \(X_{(n)}\).
Pour tout triplet \((a,b,c)\) d’entiers tels que \(a+b+c=n\) et pour tout couple \((x,y)\) de réels tels que \(0\leqslant x<y\leqslant1\), on note \(p_{a,b,c}(x,y)\) la probabilité que, parmi les \(n\) valeurs prises par les variables \(X_1,\dots,X_n\), il y en ait exactement \(a\) dans l’intervalle \([0,x]\), \(b\) dans l’intervalle \(\left]x,y\right]\) et \(c\) dans l’intervalle \(\left]y,1\right]\).
On admet que pour tout triplet \((a,b,c)\) d’entiers tels que \(a+b+c=n\) et pour tout couple \((x,y)\) de réels tels que \(0\leqslant x<y\leqslant1\), on a : \[p_{a,b,c}(x,y)=\frac{n!}{a!\,b!\,c!}\,x^a\,(y-x)^b\,(1-y)^c\]
On se donne deux réels \(x\) et \(h\) tels que \(0\leqslant x<x+h\leqslant1\) et un entier \(k\) tel que \(1\leqslant k\leqslant n\).
Soient \(i\) et \(j\) deux entiers naturels tels que \(i+j\leqslant n\).
Donner la probabilité que, parmi les \(n\) valeurs prises par les variables \(X_1,\dots,X_n\), il y en ait exactement \(i\) dans l’intervalle \([0,x]\) et \(j\) dans l’intervalle \(\left]x,x+h\right]\).
En déduire que : \[F_{X_{(k)}}(x+h)-F_{X_{(k)}}(x)=\sum_{i=0}^{k-1}\sum_{j=k-i}^{n-i}\frac{n!}{i!\,j!\,(n-i-j)!}\,x^i\,h^j\,(1-x-h)^{n-i-j}\]
En déduire que la fonction \(t\mapsto\dfrac{F_{X_{(k)}}(x+t)-F_{X_{(k)}}(x)}{t}\) a une limite à droite en zéro.
On admet que l’on peut en déduire que pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), \(X_{(k)}\) est une variable aléatoire de densité \[n\binom{n-1}{k-1}f_{k-1,n-k}\,1\kern-0.35em1_{[0,1]}\] On appelle cette loi de probabilité la loi bêta.
Calculer l’espérance et la variance de \(X_{(k)}\) pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\) en utilisant les résultats de la première partie.
Pour tout entier \(n\) non nul, on note \(\mathrm{J}_n\) la matrice carrée dont tous les termes sont nuls à l’exception de la deuxième diagonale qui sont égaux à \(1\), de sorte que : \[\mathrm{J}_4=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\] On dit qu’une matrice carrée \(M\), de taille \(n\), est symétrique si \(M^T=M\), persymétrique si \(M^T=\mathrm{J}_n\,M\,\mathrm{J}_n\) et bisymétrique si elle est à la fois symétrique et persymétrique.
Prouver que l’ensemble \(E_n\) des matrices bisymétriques de taille \(n\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
Prouver que la matrice \(\mathrm{J}_4\) est diagonalisable et déterminer une matrice diagonale \(D\) et une matrice inversible \(Q\) telles que \(\mathrm{J}_4=Q\,D\,Q^{-1}\).
Justifiez que \(\mathrm{J}_4\) est inversible et déterminez son inverse.
Montrer qu’une matrice \(M\in\mathcal{M}_4(\mathbb{R})\) est bisymétrique si et seulement s’il existe des réels \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\) et \(f\) tels que : \[M=\begin{pmatrix}a & b & c & d\\ b & e & f & c\\ c & f & e & b\\ d & c & b & a\end{pmatrix}\]
En déduire, sans justification, une base et la dimension de l’ensemble des matrices bisymétriques de taille \(4\).
Soit \(M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), \(Q\) une matrice inversible de taille \(n\) et \(\lambda\in\mathbb{R}\).
Montrer que \(\lambda\) est valeur propre de \(M\) si, et seulement si, \(\lambda\) est valeur propre de \(Q\,M\,Q^{-1}\).
Soient \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\), \(G\) et \(H\) des réels et \(M=\begin{pmatrix}A & B & 0 & 0\\ C & D & 0 & 0\\ 0 & 0 & E & F\\ 0 & 0 & G & H\end{pmatrix}\).
Montrer que le spectre de \(M\) est l’union des spectres des matrices \(\begin{pmatrix}A & B\\ C & D\end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix}E & F\\ G & H\end{pmatrix}\).
On pose \(P=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 0\end{pmatrix}\) et l’on admet que : \[P\begin{pmatrix}a & b & c & d\\ b & e & f & c\\ c & f & e & b\\ d & c & b & a\end{pmatrix}P^{-1}=\begin{pmatrix}e+f & b+c & 0 & 0\\ b+c & a+d & 0 & 0\\ 0 & 0 & a-d & b-c\\ 0 & 0 & b-c & e-f\end{pmatrix}\]
On considère maintenant la matrice de covariance dont le coefficient d’indice \((i,j)\) est : \[\mathbb{E}\!\left(X_{(i)}\,X_{(j)}\right)-\mathbb{E}\!\left(X_{(i)}\right)\mathbb{E}\!\left(X_{(j)}\right)\] On peut montrer que cette matrice est proportionnelle à la matrice \(V\) définie par : \[V=\begin{pmatrix}4 & 3 & 2 & 1\\ 3 & 6 & 4 & 2\\ 2 & 4 & 6 & 3\\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}\]
Justifier que la matrice \(V\) est diagonalisable.
Déterminer le spectre de \(V\).
Note : l’étude des valeurs propres de la matrice \(M\) permet de construire des tests statistiques simultanés sur plusieurs variables parmi les \(X_{(i)}\).
FIN DU SUJET
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Intégrales bêta et séries, statistiques d'ordre de lois uniformes et matrices bisymétriques.