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MODÉLISATION MATHÉMATIQUE ET INFORMATIQUE
Durée : 3 heures
Sujet du concours Agro-Véto 2023 (concours A BCPST).
L’usage d’une calculatrice est autorisé pour cette épreuve.
Si, au cours de l’épreuve, une candidate ou un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, elle ou il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives prises.
Ce sujet se compose d’un problème en 3 parties portant sur l’utilisation de marches aléatoires en modélisation.
La partie 1 traite d’une application de la marche aléatoire classique (additive) en physique, dans le cas d’un déplacement libre (sous-partie 1.1) ou contraint dans une boîte (sous-partie 1.2). Cette partie est indépendante des deux suivantes.
Les parties 2 et 3 portent sur l’utilisation d’une marche aléatoire multiplicative (ou modèle binomial recombinant) pour modéliser le cours d’une action économique et estimer le prix d’un contrat sur cette action appelé call. La partie 2 présente l’objet économique et le modèle binomial recombinant de Cox-Ross-Rubinstein (CRR). La partie 3 donne deux façons d’estimer un paramètre de ce modèle appelé volatilité. Les sous-parties 2.3 et 3.2 contiennent des questions algorithmiques.
Un rappel de certaines fonctions Python est donné en annexe.
On pourra admettre le résultat d’une question pour répondre à une question postérieure à condition de le mentionner explicitement.
MARCHES ALÉATOIRES ET APPLICATIONS
Le coefficient binomial \(k\) parmi \(n\) désignant le nombre de façons de choisir \(k\) éléments parmi \(n\) sera noté \(\dbinom{n}{k}\).
La partie entière d’un réel \(x\) est notée \(\left\lfloor x \right\rfloor\).
Le vecteur transposé d’un vecteur \(x=\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}\) sera noté \(x^T\).
Le produit matriciel entre \(A\) et \(B\) sera noté \(A\cdot B\).
Le produit scalaire usuel de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) de \(\mathbb{R}^n\) sera noté \(\vec{u}\cdot\vec{v}\).
On considère une particule astreinte à se déplacer sur la droite réelle en effectuant une marche aléatoire de pas \(\pm h\), avec \(h>0\) tous les \(\Delta t\) instants. Cette particule peut faire indifféremment un saut à gauche ou à droite avec une même probabilité \(\frac{1}{2}\). On suppose qu’à l’instant initial la particule est en \(x=0\). On note \(X_k\) la position de la particule au temps \(k\Delta t\) c’est-à-dire après \(k\) sauts.
Donner l’ensemble des valeurs pouvant être prises par \(X_3\), ainsi que sa loi de probabilité. On pourra s’aider d’un arbre de probabilités.
Justifier que l’espérance de \(X_k\), pour \(k\geqslant1\), est nulle.
Soit \(Y_k\) la variable qui compte le nombre de saut à droite de la particule au temps \(k\Delta t\). Quelle est la loi de \(Y_k\) ? Justifier.
Exprimer \(X_k\) en fonction de \(Y_k\).
En déduire :
L’ensemble des valeurs pouvant être prises par \(X_k\) pour tout \(k\geqslant1\), ainsi que sa loi.
La variance de \(X_k\), pour \(k\geqslant1\).
On suppose maintenant que cette particule est enfermée dans une boite de \(n\) cases de largeur \(h\) numérotées de \(1\) à \(n\). Quand la particule est à gauche, sur la case \(1\) elle a une probabilité \(\frac{1}{2}\) de rester sur place et une probabilité \(\frac{1}{2}\) de rebondir à droite et de se retrouver dans la case \(2\). De manière symétrique si elle est dans la dernière case \(n\) elle a une probabilité \(\frac{1}{2}\) de rester dans la case \(n\) et une probabilité \(\frac{1}{2}\) de se retrouver dans la case \(n-1\). Dans les autres cas (quand elle est située entre les cases \(2\) et \(n-1\)), la particule se comporte comme dans la sous-partie précédente.
Soit \(X\) une variable aléatoire prenant ses valeurs dans \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\). On dira qu’un vecteur \(\vec{p}=\begin{pmatrix}p_1\\ \vdots\\ p_n\end{pmatrix}\) est le vecteur de probabilité de \(X\) si pour tout \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), \(\mathbb{P}(X=i)=p_i\).
Cela nécessite en particulier que pour tout \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), \(p_i\geqslant0\) et que \(\displaystyle\sum_{i=1}^np_i=1\).
Soit la matrice \[\tag{1} M=\begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & 0 & & \cdots & 0\\ 1/2 & 0 & 1/2 & 0 & & \vdots\\ 0 & 1/2 & 0 & 1/2 & & \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ & & 0 & 1/2 & 0 & 1/2\\ 0 & \cdots & & 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}\]
On note \(\vec{p}^{\,(k)}\) le vecteur de probabilité de \(X_k\) pour \(k\in\mathbb{N}\). Justifier que ces vecteurs vérifient la relation de récurrence suivante \[\tag{2} \forall k\in\mathbb{N},\ \vec{p}^{\,(k+1)}=M\cdot\vec{p}^{\,(k)}\] En déduire l’expression de \(\vec{p}^{\,(k)}\) en fonction de \(M\) et de \(\vec{p}^{\,(0)}\) pour tout entier \(k\geqslant0\).
Justifier qu’il existe une matrice \(P\) inversible et une matrice \(D\) diagonale telles que : \[\tag{3} M=P\cdot D\cdot P^{-1} \quad\text{et}\quad P^{-1}=P^T\] On notera \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\) les coefficients diagonaux de \(D\).
On se place, dans cette question uniquement, dans le cas où \(\boldsymbol{n=3}\). Dans ce cas la matrice \(M\) vaut \[\tag{4} M=\begin{pmatrix}1/2 & 1/2 & 0\\ 1/2 & 0 & 1/2\\ 0 & 1/2 & 1/2\end{pmatrix}\] Montrer que \(1\) est une valeur propre de \(M\), que l’espace propre associé est de dimension \(1\) et calculer un vecteur propre associé. On admettra que pour \(n\geqslant4\), \(1\) est encore valeur propre de \(M\) et que l’espace propre associé est également de dimension \(1\) (dans la suite on notera \(\boldsymbol{\lambda_1=1}\)).
On rappelle que la norme euclidienne pour un vecteur est définie par : \[\tag{5} \left\| \vec{v} \right\|_2=\sqrt{\left(\sum_{j=1}^nv_j^2\right)}=\sqrt{\vec{v}^{\,T}.\vec{v}}\]
Remarque : Cette norme est notée \(\left\| \cdot \right\|_2\) et non simplement \(\left\| \cdot \right\|\) afin de ne pas la confondre avec la norme \(1\) définie à la question 9.(c).
On admettra que \(\vec{v_1}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}\begin{pmatrix}1\\ \vdots\\ 1\end{pmatrix}\) est un vecteur propre associé à la valeur propre \(1\). Pour \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {2,n} \right]\kern-0.15em\right]\), on note \(\vec{v_i}=\begin{pmatrix}v_{i,1}\\ \vdots\\ v_{i,n}\end{pmatrix}\) un vecteur propre de norme euclidienne associé à la valeur propre \(\lambda_i\).
Justifier que pour tout \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {2,n} \right]\kern-0.15em\right]\), ces vecteurs vérifient \(\vec{v_1}^{\,T}.\vec{v_i}=0\).
On définit la matrice \[\tag{6} N=M-\frac{\lambda_1}{\left\| \vec{v_1} \right\|_2^2}\,\vec{v_1}.\vec{v_1}^{\,T}\] Montrer que pour tout \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), \(\vec{v_i}\) est un vecteur propre de \(N\) associé à la valeur propre \(\lambda_i\).
Pour tout vecteur \(\vec{v}\) de \(\mathbb{R}^n\) on définit : \[\tag{7} \left\| \vec{v} \right\|_1=\sum_{j=1}^n\left| v_j \right|\] Cette fonction présente des propriétés similaires à celles de la norme euclidienne, elle est appelée la norme \(1\). On admettra que : \[\tag{8} \forall i\in\left[\kern-0.15em\left[ {2,n} \right]\kern-0.15em\right] :\ \left\| N\cdot\vec{v_i} \right\|_1<\left\| \vec{v_i} \right\|_1\] Montrer que pour \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {2,n} \right]\kern-0.15em\right]\), \(\left| \lambda_i \right|<1\).
Montrer la limite suivante : \[\tag{9} \lim_{k\to+\infty}D^k=\begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & & \\ \vdots & & \ddots & \\ 0 & \cdots & & 0\end{pmatrix}\]
Exprimer \(M^k\) en fonction de \(D\) et de \(P\).
En déduire que : \[\tag{10} \lim_{k\to+\infty}M^k=\frac{1}{n}\begin{pmatrix}1 & \cdots & 1\\ \vdots & & \vdots\\ 1 & \cdots & 1\end{pmatrix}\]
On rappelle que pour tout \(k\in\mathbb{N}\) on note \(\vec{p}^{\,(k)}\) le vecteur de probabilité de \(X_k\) défini à la question 6. Calculer la limite de \(\vec{p}^{\,(k)}\) quand \(k\) tend vers \(+\infty\).
Interpréter le résultat en terme physique.
Dans cette partie nous proposons d’étudier un second modèle qui peut être vu comme une version multiplicative de la marche aléatoire. Les résultats de cette partie sont entièrement indépendants de la partie 1. La sous-partie 2.3 regroupe des questions Python. La sous-partie 2.2 présente le modèle et l’applique au calcul du prix d’un objet économique défini en partie 2.1, le call.
Une meunerie fabriquant de la farine de blé souhaite se prémunir contre une hausse trop importante du prix du blé. Ce prix est modélisé par une variable aléatoire \(S_n\) dépendant du temps \(n\in\mathbb{N}\). On note \(s_n\) une réalisation de la variable aléatoire \(S_n\).
Un call sur le prix du blé est un contrat d’assurance payant que l’entreprise passe avec une banque au temps initial \(n=0\) donné. Ce call lui est facturé au prix \(c_T\). En contrepartie, la banque garantit à l’entreprise qu’à une date fixée à l’avance et appelée le terme, noté \(T\in\mathbb{N}^\ast\), celle-ci payera au maximum son blé au prix \(s^\ast\in\mathbb{R}^+\), appelé prix d’exercice et lui aussi convenu à l’avance. La banque couvre donc les éventuels dépassements par rapport à \(s^\ast\) en prenant à sa charge, s’il y a lieu, et dans ce cas seulement, la différence entre le cours du blé \(s_T\) au terme \(T\) et le prix d’exercice \(s^\ast\). Ainsi, au temps \(T\) :
Soit le prix du blé \(s_T\) n’a pas dépassé \(s^\ast\) et l’entreprise achète son blé au cours normal.
Soit le prix du blé \(s_T\) a dépassé \(s^\ast\) et l’entreprise achète son blé à la banque au prix \(s^\ast\).
Justifier qualitativement que le prix du call \(c_T\) dépend de la durée du contrat.
Tracer la fonction \(P_{ent}\) du prix auquel l’entreprise achète son blé au temps \(T\) en fonction du prix du blé \(s_T\)
Tracer la fonction \(P_{ban}\) représentant ce que la banque (qui paie son blé au prix normal) verse à l’entreprise au temps \(T\) en fonction du prix du blé \(s_T\)
On suppose qu’il existe \(u\in\left]1,+\infty\right[\) (pour « up ») et \(p\in\left]0,1\right[\) deux réels tels que pour tout \(n\in\mathbb{N}\) le prix du blé au temps \(n+1\) dépend de son cours au temps \(n\) (et est indépendant de tous les \(S_i\) pour \(i\leqslant n-1\)) suivant l’arbre de probabilité suivant :
La question 1 est entièrement indépendante de ce qui précède. Les questions questions suivantes dépendent de la définition du call (sous-partie 2.1).
Justifier à l’aide d’un arbre que l’ensemble \(\mathscr{D}_3\) des valeurs prises par \(S_3\) est égal à : \[\tag{11} \mathscr{D}_3=\left\lbrace u^3s_0,us_0,\frac{s_0}{u},\frac{s_0}{u^3}\right\rbrace\] Expliquer l’appellation « modèle recombinant ».
Calculer \(\mathbb{P}(S_3=u^3s_0)\) et \(\mathbb{P}(S_3=us_0)\).
Donner en justifiant l’ensemble \(\mathscr{D}_n\) des valeurs prises par \(S_n\).
Soit \(n\geqslant1\), soit un call de prix d’exercice \(s^\ast\in\mathbb{R}_+^\ast\) à la date \(n\). Soit \(G_n\) la variable aléatoire valant la somme que la banque verse à la meunerie à la date \(n\).
Soit \(a\) défini par : \[\tag{12} a=\left\lfloor 1+\frac{n}{2}+\frac{\ln\left(\frac{s^\ast}{s_0}\right)}{2\ln(u)} \right\rfloor\] On admettra que \(a>0\). Justifier que l’ensemble des valeurs prises par \(G_n\) est : \[\tag{13} \mathscr{D}_{G_n}=\left\lbrace 0\right\rbrace\cup\left\lbrace u^{2k-n}s_0-s^\ast,\ k\in\left\lbrace a,\dots,n\right\rbrace\right\rbrace\]
Que représente le coefficient \(a\) ?
Application numérique : dans le cas où \(n=3\), \(u=2\), \(s_0=1\), \(s^\ast=4\) et \(p=\frac{1}{3}\) donner les tables de loi de \(S_3\) et \(G_3\).
Soit \(c_n\) le prix d’un call sur le prix du blé de prix d’exercice \(s^\ast\) et de terme \(n\).
Pour être proposé au prix juste, le prix \(c_n\) du call de terme \(n\) doit vérifier : \[\tag{14} \mathbb{E}\left[G_n\right]=c_n\] Interpréter cette égalité.
Application numérique : calculer \(c_3\) pour les valeurs de la question 2.(c).
Montrer que pour tout \(n\geqslant1\) : \[\tag{15} c_n=\sum_{k=a}^n\left(u^{2k-n}s_0-s^\ast\right)\times\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\]
La question 1. est indépendante de ce qui précède. Les questions suivantes dépendent des résultats (13) et (15).
Soit la fonction Python suivante :
def C(n,k):
Num = 1
for i in range(2,n+1):
Num = Num*i
Den = 1
for i in range(2,k+1):
Den = Den*i
for i in range(2,n-k+1):
Den = Den*i
return (Num/Den)
Justifier que cette fonction renvoie le coefficient binomial \(\dbinom{n}{k}\). Évaluer le nombre
d’opérations effectuées par la fonction C en fonction de
\(n\). Quel autre problème cette
fonction pose-t-elle en terme de calcul numérique ?
Compléter en le recopiant le code suivant afin de renvoyer le coefficient binomial \(\dbinom{n}{k}\) de façon optimisée en nombre d’opérations. Expliquer la démarche suivie.
def Copt(n,k):
Num = ...
for i in range(...,...):
Num = Num*i
Den = ...
for i in range(...,...):
Den = Den*i
return (Num/Den)Que renvoie la fonction suivante ? Justifier :
def Feuilles(n,u,s0,setoile):
F = []
for k in range(n+1):
F.append(max(u**(k*2-n)*s0-setoile,0))
return FÉcrire une fonction call qui utilise la fonction
Feuilles et le résultat (15) pour calculer le prix du call
de prix initial s0, de prix d’exercice s*, de
terme \(n\) et de paramètres \(u\) et \(p\). Justifier.
Dans cette partie nous supposerons que \(\boldsymbol{p=\frac{1}{2}}\).
Dans cette sous-partie nous chercherons à calculer une approximation des valeurs de \(u\) ainsi que de la volatilité \(\sigma\), fonction de \(u\) définie à la question 8.(a). Cette sous-partie utilise le modèle de la partie 2 mais est indépendante des résultats précédents.
Pour \(n\geqslant1\) on pose \(Z_n=\ln\left(\dfrac{S_n}{S_{n-1}}\right)\).
Montrer que les \(Z_i\) sont indépendantes et suivent toutes une même loi qu’on précisera.
Calculer l’espérance et la variance de \(Z_1\).
Soit \(\overline{Z_n}=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^nZ_i\).
Justifier que lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) la convergence en loi suivante est vraie : \[\tag{16} \frac{\overline{Z_n}}{\sqrt{\sigma^2/n}}\overset{\mathscr{L}}{\longrightarrow}\mathcal{N}(0,1)\] avec \(\sigma\) un réel strictement positif à exprimer en fonction de \(u\). Le terme \(\sigma\) s’appelle la volatilité.
Que signifie une volatilité élevée dans la modélisation du prix du blé ?
Soit \(n\in\mathbb{N}\). Exprimer la variance de \(\overline{Z_n}\) en fonction de la volatilité. En déduire que l’espérance de la variable aléatoire \(V_n=\dfrac{1}{n-1}\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(Z_i-\overline{Z_n}\right)^2\) est \(\sigma^2\). On pourra commencer par montrer que : \[\tag{17} \mathbb{E}[V_n]=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(\mathbb{E}[Z_i^2]-2\mathbb{E}[Z_i\overline{Z_n}]+\mathbb{E}[\overline{Z_n}^{\,2}]\right)\]
Que représente \(V_n\) ?
Donner une interprétation qualitative de la variable aléatoire \(U_n=\exp\left(\sqrt{V_n}\right)\).
Cette sous-partie peut-être vue comme une partie indépendante du reste, les résultats utiles équations (20) et (21) étant rappelés.
Ici nous chercherons à estimer la volatilité non-pas à partir de réalisations du prix du blé, mais à partir de réalisations du call en utilisant le modèle.
Pour trouver un zéro d’une fonction \(f(u)\) dérivable (résoudre \(f(u)=0\)) on peut utiliser la
méthode de Newton appelée aussi méthode de la
tangente. Elle consiste à définir une suite \((u_n)\) par la relation de récurrence :
\[\tag{18}
u_{n+1}=u_n-\frac{f(u_n)}{f'(u_n)}\] Cette suite converge
vers un zéro de \(f\) sous de bonnes
conditions qu’on ne demande pas de remontrer ici. Numériquement on
s’arrête de calculer les termes consécutifs de la suite quand \(\left| u_{n+1}-u_n \right|<\varepsilon\)
ou lorsque le nombre d’itération dépasse un seuil \(n_{\max}\). On supposera que les deux
fonctions \(f(u)\) et \(f'(u)\) sont programmées sous Python
dans les codes F et Fprime (on ne demande pas
ici la programmation de ces fonctions) :
def F(u) : f = ... return f def Fprime(u) : fp = ... return fp
Écrire une fonction Newton(u0,epsilon,F,Fprime)
renvoyant un zéro de \(f\) approché par
la méthode de Newton. Cette fonction prendra en entrée \(u_0\), \(\varepsilon\), et les codes F
et Fprime de \(f\) et de
sa dérivée \(f'\). On supposera que
\(n_{\max}\) est une variable
globale.
Choisir en justifiant une valeur de \(\varepsilon\) cohérente.
Que renvoie cette fonction si \(f'(u_n)=0\) ? Modifier le code pour renvoyer un message d’erreur dans ce cas.
Étant donnée le prix actuel du marché \(c^\ast\) d’un call donné, la probabilité \(p\) étant fixée à \(1/2\), on veut estimer la volatilité en calculant \(u\) vérifiant \(c_n(u)=c^\ast\). Ceci revient à chercher un zéro de la fonction \(f\) définie par : \[\tag{19} f(u)=c_n(u)-c^\ast\] On rappelle que : \[\tag{20} c_n(u)=\sum_{k=a}^n\left(u^{2k-n}s_0-s^\ast\right)\times\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\] avec : \[\tag{21} a=\left\lfloor 1+\frac{n}{2}+\frac{\ln\left(\frac{s^\ast}{s_0}\right)}{2\ln(u)} \right\rfloor\] On se place dans le cas où \(s^\ast>s_0\).
Quelle est la valeur de \(u\) minimale (notée \(u_{min}\)) pour que \(c_n(u)\) soit positif ? On pourra s’aider du graphique suivant :
Si \(u<u_{min}\) la valeur du call est nulle. Donner en une explication qualitative en termes financiers.
Exhiber des intervalles pour \(u\) sur lesquels \(a\) est constant, \(a\) variant de \(n\) à \(\left\lfloor 1+\frac{n}{2} \right\rfloor\). Quel est l’intérêt de rechercher de tels intervalles ? Expliquer une démarche exploitant l’algorithme de Newton et de tels intervalles pour la recherche d’un zéro de la fonction \(f\).
Calculer la dérivée de la fonction \(f\) sur ces intervalles.
Supposant les fonctions F et Fprime
programmées sous Python, que renvoie l’algorithme suivant ?
Justifier.
def mystere(F,Fprime,s0,setoile,epsilon):
a = n
u = (setoile/s0)**(1/(2*a-n))
while F(u)<0 and a>=m.floor(1+n/2):
a -= 1
u = (setoile/s0)**(1/(2*a-n))
a +=1
u = (setoile/s0)**(1/(2*a-n))
u=Newton(u,epsilon,F,Fprime)
return uDans le cas où \(p=1/2\) on rappelle que : \[\tag{22} u=\exp\left(\sqrt{\sigma^2}\right)\] En déduire une fonction Volatilite estimant la volatilité \(\sigma\). Cette volatilité estimée est appelée la volatilité implicite.
On suppose que le module math, qui permet d’utiliser des
fonctions mathématiques, est importé avec l’alias m. Ce
module contient les fonctions
floor(x) qui renvoie la partie entière inférieure de
\(x\).
exp(x) qui renvoie la valeur de la fonction
exponentielle en \(x\)
log(x) qui renvoie la valeur de la fonction
logarithme en \(x\)
Par ailleurs on rappelle que la valeur absolue de \(x\) est donnée par la fonction
abs(x).
FIN DU SUJET
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Marches aléatoires : diffusion d'une particule, prix d'une option dans le modèle de Cox-Ross-Rubinstein et volatilité.