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MATHÉMATIQUES
MÉTHODES DE CALCUL ET RAISONNEMENT
Durée : 2 heures
Sujet du concours Agro-Véto 2023 (concours A BCPST).
L’usage d’abaques, de tables, de calculatrice et de tout instrument électronique susceptible de permettre au candidat d’accéder à des données et de les traiter par les moyens autres que ceux fournis dans le sujet est interdit.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
Ce sujet présente deux modélisations mathématiques, l’une discrète et l’autre continue, du phénomène de sélection en biologie. La première partie consiste à démontrer des résultats qui seront utilisés dans la suite du sujet. La partie II est consacrée à l’étude probabiliste du devenir d’une stratégie évolutive en temps discret. Dans la partie III, on étudie une modélisation continue utilisant des équations différentielles. Les deux dernières parties sont indépendantes entre elles. On pourra utiliser les résultats de la première partie dans les suivantes. Plus généralement, on pourra admettre le résultat d’une question pour traiter les suivantes.
Dans tout le sujet, \(\lambda\) est un réel strictement positif et, pour tout réel \(x\), on note \[S(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^kx^k}{k!}\mathrm{e}^{-\lambda}\]
Justifier l’existence de \(S(x)\) pour tout réel \(x\), et en donner une expression simple.
On rappelle que \(\lambda\) est un réel strictement positif ; on considère la fonction d’une variable réelle \(f\ :\ x\mapsto\mathrm{e}^{\lambda(x-1)}\) et on s’intéresse aux solutions de l’équation \(f(x)=x\) sur \([0,1]\).
Déterminer le signe sur \(\mathbb{R}_+\) de la fonction \(g\ :\ x\mapsto x\mathrm{e}^{-x}-1\).
Montrer que, si \(\lambda\leqslant1\), alors l’équation \(f(x)=x\) admet une unique solution sur \([0,1]\).
Indication : on pourra dériver deux fois la fonction \(\phi\ :\ x\mapsto f(x)-x\).
Montrer que, si \(\lambda>1\), alors l’équation \(f(x)=x\) a exactement deux solutions sur \([0,1]\).
Indication : on pourra prouver que la dérivée de la fonction \(\phi\ :\ x\mapsto f(x)-x\) s’annule en un seul point \(\alpha\) sur \([0,1]\) dont on ne cherchera pas l’expression.
Dans la suite du sujet, on notera \(x_\lambda\) la plus petite de ces deux solutions.
Soit \((t_n)_{n\in\mathbb{N}}\) une suite de réels strictement positifs et \((T_n)_{n\in\mathbb{N}}\) une suite de variables aléatoires indépendantes telle que, pour tout entier \(n\), \(T_n\) suive une loi de Poisson de paramètre \(t_n\).
Donner sans justifications l’espérance et la variance de \(T_1\).
Déterminer la loi de \(T_1+T_2\). On attend une démonstration.
Montrer que, pour tout entier \(n\) non nul, la variable aléatoire \(\displaystyle\sum_{k=1}^nT_k\) suit une loi de Poisson de paramètre \(\displaystyle\sum_{k=1}^nt_k\).
Soit \(a\) une fonction continue sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\). On considère l’équation différentielle suivante : \[(E_1)\ :\ y'(t)=a(t)\,y(t)\]
Donner, sans justification, les solutions de l’équation différentielle \((E_1)\).
En déduire que, si \(f\) est une solution de \((E_1)\) s’annulant sur \(I\), alors \(f\) est la fonction nulle sur l’intervalle \(I\).
Soit \(b\) une fonction continue sur \(\mathbb{R}\), \(C\) une constante réelle et \(g\) une solution sur un intervalle \(I\) de l’équation différentielle : \[(E_2)\ :\ y'(t)=b\left[y(t)\right]\left[y(t)-C\right]\]
Montrer que \(g-C\) est solution sur \(I\) de : \[(E_3)\ :\ y'(t)=b\left[g(t)\right]\,y(t)\]
En déduire que, s’il existe \(t_0\in I\) tel que \(g(t_0)=C\), alors \(g\) est constante sur \(I\).
Dans cette partie, on s’intéresse à l’évolution en temps discret de la population qui suit une certaine stratégie de reproduction . On se donne un réel \(\lambda>0\) et on introduit une suite de variables aléatoires réelles \((Z_n)_{n\in\mathbb{N}}\) qui représente le nombre d’individus qui suivent la stratégie étudiée à chaque génération. On construit la suite \((Z_n)_{n\in\mathbb{N}}\) récursivement de la façon suivante :
\(Z_0\) est la variable aléatoire constante à \(1\) (initialement, un seul individu suit la nouvelle stratégie).
\(Z_1\) suit une loi de Poisson de paramètre \(\lambda\).
Si l’on note \(z_1\) la réalisation de \(Z_1\), alors \(Z_2\) est la somme de \(z_1\) variables aléatoires suivant une loi de Poisson de paramètre \(\lambda\) indépendantes entre elles et indépendantes de \(Z_1\). Ces variables aléatoires représentent les descendants de la génération précédente.
Plus généralement, pour tout entier naturel \(n\), si \(z_n\) est la réalisation de \(Z_n\), alors \(Z_{n+1}\) est la somme de \(z_n\) variables aléatoires suivant une loi de Poisson de paramètre \(\lambda\) indépendantes entre elles et indépendantes de \(Z_n\), on notera \[Z_{n+1}=\sum_{k=1}^{z_n}X_{n,k}\] avec \(\left(X_{n,k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\) une suite de variables aléatoires suivant une loi de Poisson de paramètre \(\lambda\) indépendantes entre elles et indépendantes de \(Z_n\). De nouveau, ces variables aléatoires représentent les descendants de la génération précédente.
On rappelle que, par convention, toute somme vide est nulle. Par exemple, \(\displaystyle\sum_{k=1}^0u_k\) est nulle.
Pour tout entier \(n\), on introduit l’évènement \(A_n=(Z_n=0)\) et on note \(p_n=\mathbb{P}(A_n)\).
Exprimer \(p_0\), \(p_1\) et \(p_2\) en fonction de \(\lambda\).
Montrer que la suite \((p_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est monotone et en déduire qu’elle converge.
Pour tout couple d’entiers naturels \((k,n)\), on admet que, sachant que \((Z_1=k)\) est réalisé, \(Z_{n+1}\) est la somme de \(k\) variables aléatoires indépendantes qui suivent la même loi que \(Z_n\). Ainsi, \(\mathbb{P}\!\left(Z_{n+1}=0\,|\,Z_1=k\right)=p_n^k\).
En déduire que, pour tout entier \(n\), on a \(p_{n+1}=S(p_n)\).
En utilisant les résultats et les notations de la première partie, prouver que :
si \(\lambda\leqslant1\), alors \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}p_n=1\) ;
si \(\lambda>1\), alors \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}p_n=x_\lambda\).
Donner une interprétation du résultat obtenu.
On s’intéresse ici à l’évolution d’une population dont les individus peuvent suivre différentes stratégies mais en utilisant une modélisation en temps continu. Sa compréhension n’est pas nécessaire.
On se donne une matrice \(M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) dont on note \(m_{i,j}\) le terme situé à la \(i\)-ième ligne et la \(j\)-ième colonne. On cherche à déterminer \(n\) fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}_+\), notées \(x_1\),…,\(x_n\) telles que, pour tout entier \(i\) entre \(1\) et \(n\), on ait : \[\forall t\in\mathbb{R}_+,\quad x_i'(t)=x_i(t)\left[\sum_{j=1}^nm_{i,j}x_j(t)-\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^nm_{j,k}x_j(t)x_k(t).\right]\tag{1}\]
On étudie d’abord la dynamique du système (1) lorsque \(M=\begin{pmatrix}0 & 1 & -1\\ -1 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 0\end{pmatrix}\).
Ce choix conduit à s’intéresser aux triplets de fonctions \((x_1,x_2,x_3)\) qui sont solutions sur \(\mathbb{R}_+\) du système suivant : \[\begin{cases}x_1'=x_1(x_2-x_3)\\ x_2'=x_2(x_3-x_1)\\ x_3'=x_3(x_1-x_2)\\ 1=x_1(0)+x_2(0)+x_3(0)\end{cases}\tag{2}\]
Déterminer le (ou les) triplets de réels \((C_1,C_2,C_3)\) tel(s) qu’il existe une solution de (2) constante à \((C_1,C_2,C_3)\).
On s’intéresse à une petite perturbation autour d’une solution constante identifiée à la question précédente, ce qui conduit à étudier les triplets de fonctions \((h_1,h_2,h_3)\) vérifiant le système suivant : \[\begin{cases}h_1'=\dfrac{1}{3}(h_2-h_3)\\[0.6em] h_2'=\dfrac{1}{3}(h_3-h_1)\\[0.6em] h_3'=\dfrac{1}{3}(h_1-h_2)\\[0.6em] 0=h_1(0)+h_2(0)+h_3(0)\end{cases}\tag{3}\]
On admet que la diagonalisation de la matrice \(M\) permet sa résolution.
Déterminer les valeurs propres complexes de \(M\) et les espaces propres associés.
En déduire une matrice diagonale \(D\in\mathcal{M}_3(\mathbb{C})\) et une matrice \(P\in GL_3(\mathbb{C})\) telles que : \[M=PDP^{-1}\] On fera en sorte que la première ligne de \(P\) ne soit constituée que de \(1\).
On étudie maintenant la dynamique du système (1) lorsque \(M=\begin{pmatrix}1 & 3\\ 2 & 0\end{pmatrix}\), c’est-à-dire que l’on considère que les individus ne peuvent adopter que deux stratégies. Dans ce cas, on peut montrer que la proportion \(x_1\) d’individus suivant la stratégie 1 est solution de l’équation différentielle suivante : \[y'=y(y-1)(4y-3)\tag{4}\]
Déterminer trois nombres réels \(A\), \(B\) et \(C\) tels que : \[\forall x\in\mathbb{R}\setminus\left\lbrace 0,3/4,1\right\rbrace,\quad \frac{1}{x(x-1)(4x-3)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{4x-3}\]
En déduire l’ensemble des primitives de la fonction \(h\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{x(x-1)(4x-3)}\) sur l’intervalle \(\left]0,3/4\right[\).
Prouver que si \(x_1(0)\in\left]0,3/4\right[\), alors pour tout \(t\in\mathbb{R}_+\), \(x_1(t)\in\left]0,3/4\right[\).
Indication : on pourra utiliser les résultats de la partie I.
On suppose dans la suite que \(x_1(0)\in\left]0,3/4\right[\).
Montrer qu’il existe une constante \(D\in\mathbb{R}\) telle que, pour tout \(t\in\mathbb{R}_+\), on ait : \[t+D=\frac{1}{3}\ln\!\left(\frac{x_1(t)\left[1-x_1(t)\right]^3}{\left[x_1(t)-3/4\right]^4}\right)\]
En déduire que \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}x_1(t)=3/4\).
Dans cette équation, la fonction \(x_i\) s’interprète comme la proportion des individus d’une population qui adoptent la stratégie \(i\) et \(m_{ij}\) représente l’avantage sélectif qu’un individu qui adopte la stratégie \(i\) retire d’une interaction avec un autre individu qui adopte la stratégie \(j\). Ainsi, le taux de croissance de la proportion \(x_i\) à un temps \(t\) s’écrit comme la différence entre l’avantage sélectif tiré de son interaction avec les autres \(\displaystyle\sum_{j=1}^nm_{i,j}x_j\) et l’avantage moyen des individus de la population représenté par le terme \(\displaystyle\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^nm_{j,k}x_jx_k\).
FIN DU SUJET
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Probabilité d'extinction d'un processus de branchement de Poisson et dynamique du réplicateur.