Agro-Véto 2020 Maths MCRBCPST

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

Problème

Ce problème est constitué de trois parties. Dans la partie I, on démontre des résultats qui pourront être utilisés dans la partie Il. La partie III est indépendante des deux autres.

Dans la suite \(p\) est un entier naturel supérieur ou égal à \(3\).
On considère un repère orthonormal du plan \(\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)\) et le cercle unité \(\mathcal{C}\) sur lequel on place dans le sens trigonométrique \(p\) points équidistants \(A_0,\dots,A_{p-1}\) tels que \(A_0\) soit d’affixe \(1\).
Ainsi pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,p-1} \right]\kern-0.15em\right]\), \(A_k\) est le point d’affixe \(z_k=\mathrm{e}^{\frac{2ik\pi}{p}}\).
Pour \(p=3\), on a la représentation suivante :

I. Résultats préliminaires

1. On considère la matrice \(D_p=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & 1\\ 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_p(\mathbb{C})\).

   1. Inverser les matrices \(D_3\) et \(D_4\).

   2. Prouver que la matrice \(D_p\) est inversible et donner son inverse.
      On pourra utiliser les résultats de la question précédente pour conjecturer l’inverse de \(D_p\).

2. Soit \(f:\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{C})\to\mathbb{C}\), \(\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_p\end{pmatrix}\mapsto\displaystyle\sum_{k=1}^px_k\).

   1. Prouver que \(f\) est une application \(\mathbb{C}\)-linéaire.

   2. La fonction \(f\) est-elle injective ?

   3. La fonction \(f\) est-elle surjective ?

   4. Déterminer la dimension du noyau de \(f\).

3. Calculez \(\displaystyle\frac{1}{p}\sum_{k=0}^{p-1}z_k\). Interprétez géométriquement le résultat obtenu.

4. Soit \(z\) un complexe non nul. Prouver que : \(z^p=1\iff\exists k\in\mathbb{Z}\ :\ z=\mathrm{e}^{\frac{2ik\pi}{p}}\).
   On pourra mettre \(z\) sous forme exponentielle ou trigonométrique.

On admettra que l’équation \(z^p=1\) possède \(p\) solutions distinctes : \(z_0,z_1,\dots,z_{p-1}\).

II. Étude d’un modèle de diffusion sur le cercle

On considère l’expérience suivante : une particule est libre de se déplacer parmi les \(p\) points \(A_0,A_1,\dots,A_{p-1}\). Initialement la particule se situe sur le point \(A_0\) et, à chaque étape, on choisit de façon équiprobable de la déplacer vers l’un de ses deux plus proches voisins.
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on note \(U_n\) la variable aléatoire réelle à valeurs dans \(\left[\kern-0.15em\left[ {0,p-1} \right]\kern-0.15em\right]\) et telle que l’emplacement occupé à l’étape \(n\) soit \(A_{U_n}\). La variable aléatoire \(U_0\) est donc constante égale à \(0\) et la variable aléatoire \(U_1\) est égale à \(1\) avec une probabilité \(\frac{1}{2}\) et à \(p-1\) avec une probabilité \(\frac{1}{2}\). La variable \(U_2\) est à valeurs dans \(\left\lbrace 2;0;p-2\right\rbrace\) et \(\mathbb{P}(U_2=2)=\mathbb{P}(U_2=p-2)=\frac{1}{4}\).

Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on note \(X_n=\begin{pmatrix}\mathbb{P}(U_n=0)\\ \mathbb{P}(U_n=1)\\ \vdots\\ \mathbb{P}(U_n=p-1)\end{pmatrix}\).

5. Déterminer une matrice \(M_p\in\mathcal{M}_p(\mathbb{R})\) telle que, pour tout entier \(n\), on ait \[X_{n+1}=M_pX_n\] Indication : une récurrence n’est pas nécessaire.

6. Soit \(n\) un entier. Donner sans justifications l’expression de \(X_n\) en fonction de la matrice \(M_p\) et de \(n\).

7. Vérifier que \(M_p=\frac{1}{2}\left(D_p+D_p^{-1}\right)\).

8. On suppose ici que \(p=3\) et on admet que \(M_3=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}\).

   1. Prouver que la matrice \(M_3\) est diagonalisable et donner une matrice \(D\) diagonale et une matrice \(P\) inversible telle que \(M_3=PDP^{-1}\).

   2. Déterminer \(P^{-1}\).

   3. Soit \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,2} \right]\kern-0.15em\right]\). Déterminer la limite de \(\mathbb{P}(U_n=k)\) lorsque \(n\) tend vers \({+\infty}\).
      Interprétez le résultat obtenu.

9. Déterminer les valeurs propres complexes de \(D_p\) et les espaces propres associés.

10. En déduire qu’il existe une matrice \(Q\in\mathcal{M}_p(\mathbb{C})\) inversible tel que \[D_p=Q\begin{pmatrix}z_0 & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ 0 & z_1 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & z_{p-1}\end{pmatrix}Q^{-1}\] et que pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,p-1} \right]\kern-0.15em\right]\), le sous-espace propre de \(D_p\) associé à la valeur propre \(z_k\) est inclus dans le noyau de \(f\).

On suppose dans toute la suite du sujet, que \(p\) est impair.
Il existe donc un entier \(q\) non nul tel que \(p=2q+1\).

11. En déduire, en utilisant la question 7, que la matrice \(M_p\) est diagonalisable dans \(\mathbb{C}\).

12. Prouver que \(1\) est valeur propre de \(M_p\) et que l’espace propre associé que l’on notera \(G_0\) est un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel de dimension \(1\) dont on donnera une base.

13. Soit \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,q} \right]\kern-0.15em\right]\). Prouver que \(\cos\!\left(\frac{2k\pi}{p}\right)\) est valeur propre de \(M_p\) et que l’espace propre associé, que l’on notera \(G_k\), est un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel de dimension \(2\) inclus dans le noyau de \(f\).

14. Soit \(V\in\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{C})\).

    1. Prouver qu’il existe un unique \((V_0,V_1,\dots,V_q)\in G_0\times G_1\times\dots\times G_q\) tel que \[V=\sum_{k=0}^qV_k\]

    2. Déterminer \(V_0\) en fonction de \(f(V)\) et de \(p\).

15. 1. Soit \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,q} \right]\kern-0.15em\right]\). Déterminer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\cos\!\left(\frac{2k\pi}{p}\right)^n\).

    2. En déduire, pour tout \(l\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,p-1} \right]\kern-0.15em\right]\), la limite de \(\mathbb{P}(U_n=l)\) lorsque \(n\) tend vers \({+\infty}\).

    3. Interprétez le résultat obtenu.

III. Étude d’une variable aléatoire

16. On considère la fonction \(\mathrm{cotan}\) qui à un réel \(x\) associe \(\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\).

    1. Déterminer l’ensemble de définition \(D\) de \(\mathrm{cotan}\).

    2. En remarquant que pour tout \(x\in D\), on a \(\mathrm{cotan}(x)=\tan\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\), tracer, sans justifications, son graphe sur \([-2\pi,2\pi]\cap D\).

Pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,p-1} \right]\kern-0.15em\right]\), on note \(B_k\) le point d’intersection de la droite \((A_0A_k)\) avec la droite d’équation \(x=-1\).

17. Soit \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,p-1} \right]\kern-0.15em\right]\), montrer que l’ordonnée de \(B_k\) est \(2\mathrm{cotan}\!\left(\frac{k\pi}{p}\right)\).

On considère une variable \(W_p\) suivant une loi uniforme sur \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,p-1} \right]\kern-0.15em\right]\) et on s’intéresse à la variable aléatoire \(Z_p=2\mathrm{cotan}\!\left(\frac{W_p\pi}{p}\right)\).

18. Calculer l’espérance de \(Z_3\) et l’espérance de \(\left| Z_3 \right|\).

19. Déterminer l’espérance de \(Z_p\).
    On pourra utiliser que pour tout \(x\in D\), on a \(\mathrm{cotan}(x)=-\mathrm{cotan}(\pi-x)\).

On s’intéresse à la somme \(S_p=\displaystyle\frac{1}{p}\sum_{k=1}^q\mathrm{cotan}\!\left(\frac{k\pi}{p}\right)\). On rappelle que \(p=2q+1\).

20. Exprimer \(\mathbb{E}\!\left(\left| Z_p \right|\right)\) en fonction de \(S_p\) et de \(p\).

21. L’intégrale \(\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{cotan}(t)\,\mathrm{d}t\) est-elle convergente ?

22. Soit \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,q} \right]\kern-0.15em\right]\). En utilisant la monotonie de la fonction \(\mathrm{cotan}\) sur \(\left]0,\pi\right[\), montrer que l’on a : \[\frac{\pi}{p}\mathrm{cotan}\!\left(\frac{k\pi}{p}\right)\geqslant\int_{\frac{k\pi}{p}}^{\frac{(k+1)\pi}{p}}\mathrm{cotan}(t)\,\mathrm{d}t\]

23. En déduire que : \[S_p\geqslant\frac{1}{\pi}\left(\ln\!\left(\sin\!\left(\frac{(q+1)\pi}{p}\right)\right)-\ln\!\left(\sin\!\left(\frac{\pi}{p}\right)\right)\right)\]

24. Déterminer la limite de \(S_p\) puis celle de \(\mathbb{E}\!\left(\left| Z_p \right|\right)\) lorsque \(p\) tend vers \({+\infty}\).

25. Donner un équivalent de \(\ln\!\left(\sin\!\left(\frac{\pi}{p}\right)\right)\) lorsque \(p\) tend vers \({+\infty}\).

26. Donner un équivalent de \(\mathbb{E}\!\left(\left| Z_p \right|\right)\) lorsque \(p\) tend vers \({+\infty}\).
    On pourra s’inspirer des questions précédentes pour encadrer \(\mathbb{E}\!\left(\left| Z_p \right|\right)\).