Agro-Véto 2019 Maths MCRBCPST

Exercice :

On considère l’expérience suivante : on effectue une suite de lancers d’une pièce équilibrée. On suppose les lancers indépendants.
Pour tout entier \(n\in\mathbb{N}^\ast\), on notera \(F_n\) l’événement « au \(n\)-ème lancer on obtient un face ».
On considère la variable aléatoire \(T\) égale au nombre de lancers nécessaires pour obtenir le premier face.

1. Donner la loi de \(T\), son espérance et sa variance.

2. Soit \(n\in\mathbb{N}\). Calculer \(\mathbb{P}(T>n)\).

3. Soit \((n,m)\in\mathbb{N}^2\). Comparer \(\mathbb{P}_{[T>n]}(T>n+m)\) et \(\mathbb{P}(T>m)\) et donner une interprétation.

On considère la variable aléatoire \(S\) égale au nombre de lancers nécessaires pour obtenir le premier double face, c’est-à-dire deux faces consécutifs. On a donc \(S\geqslant2\) et \(S\) est égale à \(3\) si, et seulement si, on a obtenu pile suivi de deux faces aux trois premiers lancers.

Pour tout entier \(n\in\mathbb{N}^\ast\), on pose \(p_n=\mathbb{P}(S=n)\) et \(q_n=1-\displaystyle\sum_{k=1}^np_k\).

4. Déterminer \(p_1\), \(p_2\), \(p_3\) et \(p_4\) puis \(q_1\), \(q_2\), \(q_3\) et \(q_4\).

5. Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\). Exprimer la probabilité de l’événement \([S>n]\) en fonction de \(q_n\).

6. En déduire que pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), \(q_n\in[0,1]\) puis que la suite \((q_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) converge.

7. Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\). Prouver que \(p_{n+3}=\dfrac{q_n}{8}\) puis que \(q_{n+3}=q_{n+2}-\dfrac{q_n}{8}\).

8. En déduire la limite de la suite \((q_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) et en donner une interprétation.

On dit que la suite \((q_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) vérifier une relation de récurrence linéaire d’ordre \(3\).
Dans notre cas, on peut se ramener à une relation de récurrence linéaire d’ordre \(2\).

9. Démontrer que pour tout entier \(n\) non nul, on a \(q_{n+2}=\dfrac{q_{n+1}}{2}+\dfrac{q_n}{4}\).

10. Déterminer les racines du polynôme \(X^2-\dfrac{1}{2}X-\dfrac{1}{4}\).
    On les notera \(r_1\) et \(r_2\) avec \(r_1<r_2\).

11. Justifier qu’il existe des réels \(A\) et \(B\) tels que : \(\begin{cases}Ar_1+Br_2=q_1\\ Ar_1^2+Br_2^2=q_2\end{cases}\).

12. Prouver que pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), on a \(q_n=Ar_1^n+Br_2^n\).

13. Donner une équivalent de \(q_n\) quand \(n\) tend vers \({+\infty}\).
    Cet équivalent pourra faire intervenir \(A\), \(B\), \(r_1\), \(r_2\) et \(n\).

Toutes les suites récurrentes linéaires d’ordre \(3\) ne se traitent pas aussi facilement.
On se propose d’en étudier deux exemples dans le problème qui suit.

Problème :

Pour toute matrice \(M\), on notera \({}^t\! M\) sa transposée.
On considère le produit scalaire usuel sur \(\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\) défini par : \[\left \langle X \,\vert \, Y \right \rangle=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3,\qquad\text{où}\quad X=\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix}\ \text{et}\ Y=\begin{pmatrix}y_1\\ y_2\\ y_3\end{pmatrix}\] Comme le produit matriciel \({}^t\! XY\) est égal à la matrice de taille \(1\times1\) : \[\left(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3\right)\] on identifiera matrice de \(\mathcal{M}_{1,1}(\mathbb{R})\) et réel, en notant \(\left \langle X \,\vert \, Y \right \rangle={}^t\! XY\).

Soit \(A\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\), on dit qu’un sous-espace vectoriel \(F\) de \(\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\) est stable par la matrice \(A\) si, et seulement si : \[\forall X\in F,\qquad AX\in F\]

On rappelle que l’on appelle droite vectorielle tout espace vectoriel de dimension \(1\) et plan vectoriel tout espace vectoriel de dimension \(2\).

On pourra admettre les résultats des parties I et IV et les utiliser dans la partie V.

I. Contexte

Soit \((a,b,c)\in\mathbb{R}^3\). On considère une suite \(u\) telle que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+3}=au_{n+2}+bu_{n+1}+cu_n\]

1. Montrer que, pour tout entier \(n\), on a : \[\begin{pmatrix}u_{n+2}\\ u_{n+1}\\ u_n\end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix}u_2\\ u_1\\ u_0\end{pmatrix}\qquad\text{avec } A=\begin{pmatrix}a & b & c\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\] Par convention \(A^0=I_3\).

II. Premier exemple

On suppose dans cette question que \(A=\begin{pmatrix}2 & 1 & -2\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\).

2. Prouver que la matrice \(A\) est diagonalisable.
   On pourra remarquer que le polynôme \(X^3-2X^2-X+2\) possède \(1\) comme racine et le factoriser par \(X-1\).

3. Prouver qu’il existe trois matrices \(R_1\), \(R_2\) et \(R_3\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) telles que pour tout entier \(n\), on ait \(A^n=R_1+(-1)^nR_2+2^nR_3\).
   On ne demande pas de calculer explicitement des matrices.

4. Soit \(u\) une suite vérifiant : \[\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+3}=2u_{n+2}+u_{n+1}-2u_n\] Prouver qu’il existe des constantes \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) telles que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ u_n=\alpha2^n+\beta+\gamma(-1)^n\] On ne demande pas d’expliciter les constantes \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\).

III. Second exemple

On suppose dans cette question que \(A=\begin{pmatrix}4 & -5 & 2\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\).

5. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? La réponse sera justifiée.

6. On pose \(U=\begin{pmatrix}4\\ 2\\ 1\end{pmatrix}\). Montrer que la droite vectorielle \(D\) engendrée par le vecteur \(U\) est stable par \(A\).

7. On pose \(V=\begin{pmatrix}0\\ 2\\ 3\end{pmatrix}\).

   1. Prouver que l’espace vectoriel engendré par les vecteurs \(V\) et \(AV\) est un plan vectoriel. On le notera \(P\).

   2. Prouver que le vecteur \(A^2V\) appartient au plan \(P\).

   3. En déduire que le plan \(P\) est stable par la matrice \(A\).

IV. Résultats sur les droites et plans stables par une matrice de .

Dans cette partie, on considère une matrice \(A\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) quelconque.

8. Soit \(D\) une droite vectorielle de \(\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\) dirigée par un vecteur \(U\) non nul.
   Prouver que la droite \(D\) est stable par la matrice \(A\) si, et seulement si, \(U\) est un vecteur propre de la matrice \(A\).

9. Soit \(P\) un plan vectoriel de \(\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\). On considère une base \((X_1,X_2)\) de \(P\) et \(X_3\) un vecteur non nul orthogonal à \(P\).

   1. Prouver que le plan \(P\) est stable par la matrice \(A\) si, et seulement si, les vecteurs \(AX_1\) et \(AX_2\) appartiennent à \(P\).

   2. Montrer que le vecteur \(AX_1\) appartient au plan \(P\) si, et seulement si, les vecteurs \(X_1\) et \({}^t\! AX_3\) sont orthogonaux.
      On utilisera la notation matricielle du produit scalaire usuel sur \(\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\) donnée en préambule \(\left \langle X \,\vert \, Y \right \rangle={}^t\! XY\).

   3. En déduire que le plan \(P\) est stable par la matrice \(A\) si, et seulement si, le vecteur \(X_3\) est un vecteur propre de la matrice \({}^t\! A\).

V. Fin du second exemple

On suppose de nouveau dans cette question que \(A=\begin{pmatrix}4 & -5 & 2\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\).

10. Déterminer les droites vectorielles stables par la matrice \(A\).

11. On admet que les valeurs propres de \({}^t\! A\) sont \(1\) et \(2\).
    Déterminer les équations des plans vectoriels stables par la matrice \(A\).

12. En déduire une base \((U_1,U_2,U_3)\) de \(\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\) telle que :

    • le vecteur \(U_1\) soit un vecteur propre de la matrice \(A\) associé à la valeur propre \(2\),

    • la droite engendrée par le vecteur \(U_2\) soit stable par la matrice \(A\),

    • le plan \(P\) engendré par les vecteurs \(U_2\) et \(U_3\) soit stable par la matrice \(A\).

13. Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) dont \(A\) est la matrice dans la base canonique.
    On considère la base \(\mathscr{B}=(u_1,u_2,u_3)\) de vecteurs de \(\mathbb{R}^3\) telle que pour tout \(i\in\left\lbrace 1,2,3\right\rbrace\), \(U_i\) est la matrice des coordonnées de \(u_i\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^3\).

    1. Déterminer la matrice de \(f\) dans la base \(\mathscr{B}\).

    2. En déduire que la matrice \(A\) est semblable à une matrice de la forme \[B=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & \delta\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\qquad\text{avec }\delta\in\mathbb{R}\]

    3. Déterminer \(B^n\) pour toute entier naturel \(n\).

14. En déduire que si une suite \(u\) vérifie : \[\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+3}=4u_{n+2}-5u_{n+1}+2u_n\] alors il existe des constantes \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) telles que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ u_n=\alpha2^n+\beta+\gamma n\] On ne demande pas d’expliciter les constantes \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\).