Agro-Véto 2018 Maths MCRBCPST

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

Exercice :

Soit \(c\) un réel strictement positif.
On considère une variable aléatoire réelle \(X\) de densité : \[f : \mathbb{R}\mapsto\mathbb{R},\ t\mapsto\begin{cases}\dfrac{t}{c^2}\,\mathrm{e}^{-t^2/(2c^2)} & \text{si } t>0\\[1ex] 0 & \text{sinon.}\end{cases}\]

1. Étudier la fonction \(f\) : variations, limite en \({+\infty}\), valeur du maximum.
   Tracer le graphe de la fonction \(f\).

2. Vérifier que la fonction \(f\) est une densité de probabilité.

3. 1. Rappeler, sans justification, la valeur de l’intégrale \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x\).

   2. En déduire que l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-t^2/(2c^2)}\,\mathrm{d}t\) converge et donner sa valeur.

   3. Prouver que la variable aléatoire \(X\) possède une espérance.

4. Soit \(n\in\mathbb{N}\). Prouver que si la variable aléatoire \(X^n\) possède une espérance, alors la variable aléatoire \(X^{n+2}\) possède une espérance donnée par : \[\mathbb{E}\!\left(X^{n+2}\right)=c^2(n+2)\mathbb{E}\!\left(X^n\right)\]

5. En déduire, par récurrence, que pour tout entier \(n\), on a : \[\mathbb{E}\!\left(X^{2n}\right)=2^nc^{2n}n!\qquad\text{et}\qquad\mathbb{E}\!\left(X^{2n+1}\right)=\sqrt{2\pi}\,\frac{(2n+1)!\,c^{2n+1}}{2^{n+1}\,n!}\]

6. 1. Énoncer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

   2. Déterminer la variance de \(X\)

   3. En déduire un intervalle \([\alpha,\beta]\) tel que \(\mathbb{P}\!\left(X\in[\alpha,\beta]\right)\geqslant99\,\%\).

7. Déterminer un réel positif \(\gamma\) tel que \(\mathbb{P}\!\left(X\in[0,\gamma]\right)=99\,\%\).

8. Comparer les intervalles obtenus aux deux questions précédentes.
   On pourra admettre que \(\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}-10\sqrt{\dfrac{4-\pi}{2}}<0\).

Problème :

On se propose d’étudier le modèle de diffusion d’Ehrenfest.
On considère deux urnes \(U_1\) et \(U_2\) contenant à elles deux \(N\) boules avec \(N\in\mathbb{N}^\ast\).
À chaque étape, on choisit de façon équiprobable un entier entre \(1\) et \(N\). Si ce nombre est inférieur ou égal au nombre de boules contenues dans l’urne \(U_1\), alors on met une boule de l’urne \(U_1\) dans l’urne \(U_2\) ; sinon, on met une boule de l’urne \(U_2\) dans l’urne \(U_1\).
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on note \(X_n\) la variable aléatoire égale au nombre de boules présentes dans l’urne \(U_1\) à l’étape \(n\). La variable aléatoire \(X_0\) est donc égale au nombre de boules initialement présentes dans l’urne \(U_1\), la variable aléatoire \(X_1\) est égale au nombre de boules présentes dans l’urne \(U_1\) après un échange, …
Par exemple, si l’urne \(U_1\) contient initialement \(3\) boules et l’urne \(U_2\) en contient \(2\), alors \(N=5\) et \(X_0=3\).
On choisit alors un entier de façon équiprobable entre \(1\) et \(5\). S’il est égal à \(2\), alors on met une boule de l’urne \(U_1\) dans l’urne \(U_2\) et l’on a \(X_1=2\). On choisit alors de nouveau un entier de façon équiprobable entre \(1\) et \(5\). S’il est égal à \(3\), alors on met une boule de l’urne \(U_2\) dans l’urne \(U_1\) et l’on a \(X_2=3\). On choisit alors de nouveau un entier de façon équiprobable entre \(1\) et \(5\). À l’issue de l’échange, on aura \(X_3=2\) avec une probabilité de \(3/5\) et \(X_3=4\) avec une probabilité de \(2/5\).

Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on note \(Y_n=\begin{pmatrix}\mathbb{P}(X_n=0)\\ \mathbb{P}(X_n=1)\\ \vdots\\ \mathbb{P}(X_n=N)\end{pmatrix}\). On a donc : \[\forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,N} \right]\kern-0.15em\right],\quad Y_{n,k}=\mathbb{P}(X_n=k)\]

I. Matrice de transition

1. On suppose que \(N=2\).

   1. Prouver que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a : \(Y_{n+1}=A_2Y_n\) avec \(A_2=\begin{pmatrix}0 & 1/2 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1/2 & 0\end{pmatrix}\).
      Une récurrence n’est pas nécessaire

   2. La matrice \(A_2\) est-elle diagonalisable ? La réponse sera justifiée.

Dans toute la suite \(N\in\mathbb{N}^\ast\) est fixé.

2. On considère la matrice de \(\mathcal{M}_{N+1}(\mathbb{R})\) : \[A=\begin{pmatrix} 0 & 1/N & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0\\ 1 & 0 & 2/N & \ddots & & & \vdots\\ 0 & (N-1)/N & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & (N-1)/N & 0\\ \vdots & & & \ddots & 2/N & 0 & 1\\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 1/N & 0 \end{pmatrix}\] Prouver que : \(\forall n \in \mathbb{N},\ Y_{n+1}=AY_n\). Une récurrence n’est pas nécessaire

3. On note \({}^t\! A\) la matrice transposée de \(A\).
   Déterminer lorsque \(N=2\) et \(N=3\), l’espace propre associé à la valeur propre \(1\) de \({}^t\! A\).

4. Prouver que, dans le cas général, la matrice \({}^t\! A\) possède \(1\) comme valeur propre.

5. En déduire que la matrice \({}^t\!\!\left(A-I_{N+1}\right)\) est non inversible puis que la matrice \(A\) possède \(1\) comme valeur propre.

II. Détermination de l’espérance de la variable aléatoire \(X_n\)

Dans la suite, \(n\in\mathbb{N}\) est fixé.

1. Quelles sont les valeurs que peut prendre la variable aléatoire \(X_{n+1}-X_n\) ?

2. En déduire que \(\mathbb{E}\!\left(X_{n+1}-X_n\right)=1-\dfrac{2}{N}\mathbb{E}\!\left(X_n\right)\).
   On pourra utiliser le système complet (« \(X_n=k\)»)\(_{0\leqslant k\leqslant N}\)

3. En déduire l’expression de \(\mathbb{E}(X_n)\) en fonction de \(n\) et de \(\mathbb{E}(X_0)\).

4. On suppose \(N>2\). Déterminer la limite de \(\mathbb{E}(X_n)\) lorsque \(n\) tend vers \({+\infty}\) et en donner une interprétation.

III. Étude de la probabilité stationnaire

On s’intéresse dans cette question à l’espace propre de \(A\) associé à la valeur propre \(1\), que l’on notera \(E_1\).

1. Soit \(X=\begin{pmatrix}x_0\\ \vdots\\ x_N\end{pmatrix}\in E_1\).
   Prouver que pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,N} \right]\kern-0.15em\right]\), \(x_k=\dbinom{N}{k}x_0\).

2. En déduire la dimension de \(E_1\).

3. Calculer la somme \(S=\displaystyle\sum_{k=0}^N\binom{N}{k}\).

4. Prouver qu’il existe un unique vecteur \(\pi=\begin{pmatrix}\pi_0\\ \vdots\\ \pi_N\end{pmatrix}\in E_1\) tel que \(\displaystyle\sum_{k=0}^N\pi_k=1\).
   On donnera son expression.

5. On considère la variable aléatoire \(X_\infty\) telle que : \[X_\infty(\Omega)=\left[\kern-0.15em\left[ {0,N} \right]\kern-0.15em\right]\qquad\text{et}\qquad\forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,N} \right]\kern-0.15em\right],\ \mathbb{P}\!\left(X_\infty=k\right)=\pi_k\] Quelle est la loi suivie par \(X_\infty\) ? Donner son espérance et sa variance.

6. On suppose que \(X_0\) suit la même loi que \(X_\infty\).
   Déterminer la loi de \(X_n\) pour tout entier \(n\) et donner une interprétation.