Agro-Véto 2017 Maths MCRBCPST

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

Exercice :

On considère la matrice \(A=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\)

1. Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de la matrice \(A\).
   La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Calculer \(A^2\) et \(A^3\).

3. On considère \(\mathcal{S}\) l’ensemble des matrices \(M\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) telles que \(AM=MA\).

   1. Soit \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) trois réels et \(M=\alpha I_3+\beta A+\gamma A^2\). Vérifier que \(M\in\mathcal{S}\).

   2. Réciproquement, considérons \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\), \(g\), \(h\) et \(i\) des réels tels que \(M=\begin{pmatrix}a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\end{pmatrix}\in\mathcal{S}\). Déterminer, en fonction des coefficients de \(M\), trois réels \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) tels que \(M=\alpha I_3+\beta A+\gamma A^2\).

   3. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour appartenir à \(\mathcal{S}\).

4. On considère \(\mathcal{S}'\) l’ensemble des matrices \(M\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) telles que \(M^3=0\) et \(M^2\neq0\).

   1. Soit \(P\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) inversible et \(M=PAP^{-1}\). Vérifier que \(M\in\mathcal{S}'\).

   Dans la suite, tout vecteur de \(\mathbb{R}^3\) sera assimilé à une matrice colonne de \(\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\) de sorte que, pour tout vecteur \(X\) de \(\mathbb{R}^3\), le produit matriciel \(MX\) soit correctement défini.

   2. Soit \(M=\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & -1\\ 0 & 2 & 0\end{pmatrix}\).

      1. Vérifier que \(M\in\mathcal{S}'\).

      On considère \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) dont \(M\) est la matrice dans la base canonique, c’est-à-dire \(f : \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\), \(X\mapsto MX\).

      2. Prouver qu’il existe un vecteur \(X\in\mathbb{R}^3\) tel que \(M^2X\) soit non nul.

      3. Montrer que la famille \(\mathcal{B}=\left(X,MX,M^2X\right)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).

      4. Déterminer la matrice de \(f\) dans la base \(\mathcal{B}\).

      5. En déduire qu’il existe \(P\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) inversible telle que \(M=PAP^{-1}\).

   3. On cherche à généraliser ce qui a été montré dans la question précédente. Pour cela on considère \(M\in\mathcal{S}'\) et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) dont \(M\) est la matrice dans la base canonique.

      1. Prouver qu’il existe un vecteur \(X\in\mathbb{R}^3\) tel que \(M^2X\) soit non nul.

      2. En déduire qu’il existe \(P\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) inversible telle que \(M=PAP^{-1}\).

   4. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour appartenir à \(\mathcal{S}'\).

Problème :

I. Préliminaires :

Soit \(n\) un entier non nul et \(X\) une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur \(\left\lbrace 1,2,\dots,n\right\rbrace=\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\).

1. Donner, sans justifications, l’espérance de \(X\).

2. Prouver par récurrence que \(\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\cdot\)

3. En déduire la variance de \(X\).

On considère une urne contenant \(N_1\) boules blanches et \(N_2\) boules noires indiscernables au toucher.
On pose \(N=N_1+N_2\).
On répète l’expérience suivante : on tire au hasard une boule dans l’urne et l’on replace dedans deux boules de la couleur obtenue.
À l’issue de la première expérience, l’urne contient donc \(N+1\) boules et l’on note \(X_1\) la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches présentes dans l’urne. À l’issue de la deuxième expérience, l’urne contient donc \(N+2\) boules et l’on note \(X_2\) la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches présentes dans l’urne.
Plus généralement, pour tout entier naturel \(k\) non nul, on note \(X_k\) la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches présentes dans l’urne à l’issue de la \(k\)-ième expérience.
Pour tout \(k\) non nul, on note \(B_k\) l’évènement « la boule tirée lors de la \(k\)-ième expérience est blanche».

II. Étude d’un cas particulier :

On suppose ici que \(N_1=N_2=1\)

1. Déterminer la loi de \(X_1\).

2. Déterminer la loi de \(X_2\).

3. Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\). Prouver que \(X_n\) suit une loi uniforme sur \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n+1} \right]\kern-0.15em\right]\).
   On pourra faire une récurrence et utiliser le système complet \(\left((X_n=k)\right)_{1\leqslant k\leqslant n+1}\) pour déterminer la loi de \(X_{n+1}\).

4. Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\). Déterminer la probabilité de \(B_{n+1}\).
   On pourra utiliser la question précédente et la formule des probabilités totales

5. Pour tout entier \(n\) non nul, on considère la variable aléatoire \(Y_n=\dfrac{X_n-1}{n}\cdot\)

   1. Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\). Donner la loi de \(Y_n\).

   2. On considère \(F\) la fonction de répartition d’une loi uniforme sur \([0,1]\). Rappeler, pour tout réel \(x\), la valeur de \(F(x)\).

   3. Soit \(x\in[0,1]\).
      Prouver que, pour tout entier \(n\), on a \(\mathbb{P}\!\left(Y_n\leqslant x\right)=\dfrac{1}{n+1}\left\lfloor nx+1 \right\rfloor\), où l’on note \(\lfloor . \rfloor\) la partie entière.

   4. Pour tout entier \(n\in\mathbb{N}^\ast\), on note \(F_{Y_n}\) la fonction de répartition de \(Y_n\).
      Déduire de ce qui précède, que pour tout réel \(x\), on a \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}F_{Y_n}(x)=F(x)\).

III. Retour au cas général :

1. Déterminer la probabilité des évènements \(B_1\) et \(B_2\).

2. Soit \(n\in\mathbb{N}\setminus\left\lbrace 0,1\right\rbrace\) .

   1. Montrer que \(\displaystyle\sum_{k=N_1}^{N_1+n-1}k\,\mathbb{P}(X_{n-1}=k)=(N+n-1)\mathbb{P}(B_n)\).

   2. Soit \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {N_1,N_1+n-1} \right]\kern-0.15em\right]\).
      Déterminez la probabilité de \(B_{n+1}\) sachant \(B_n\cap(X_{n-1}=k)\) puis la probabilité de \(B_{n+1}\) sachant \(\overline{B_n}\cap(X_{n-1}=k)\)

   3. En déduire que \(\mathbb{P}(B_{n+1})=\mathbb{P}(B_n)\).

3. Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\). Déduire de la question précédente la probabilité de \(B_n\) et l’espérance de \(X_n\).