Agro-Véto 2015 Maths MCRBCPST

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

Problème

On considère un réseau dont la maille élémentaire est un parallélogramme, structure présente notamment en cristallographie. Cette maille élémentaire a alors pour aire \(a.b.\sin\theta\).

On suppose que l’angle \(\theta\) est la réalisation d’une variable aléatoire \(\Theta\) suivant une loi uniforme sur \([0,\pi/2]\). L’étude de la variable aléatoire \(\sin\Theta\) nécessite certaines connaissances sur une fonction intermédiaire notée \(A\) qui seront établies dans la partie I. La densité obtenue dans la partie II dont nous étudierons quelques propriétés apparait en pratique dans d’autres contextes (que nous n’étudierons pas dans ce sujet) sous une forme proche dans la loi dite de « l’arcsinus». Les deux dernières parties étudient des fonctions polynomiales définies à l’aide de la fonction \(A\).

Partie I : Définition et propriétés de la fonction \(A\)

1. Montrer que la fonction sinus réalise une bijection de \([-\pi/2,\pi/2]\) dans \([-1,1]\).
   On note alors \(A\) la réciproque de la fonction \[\begin{array}{ccc} [-\pi/2,\pi/2] & \longrightarrow & [-1,1]\\ x & \longmapsto & \sin x \end{array}\]

2. Déterminer \(A(1/2)\) et \(A(-\sqrt{2}/2)\).

3. Tracer le graphe de la fonction \(A\) dans le plan usuel muni d’un repère orthonormé \((O,\vec{\imath},\vec{\jmath})\).

4. Soit \(x\) appartenant à \([-1,1]\), montrer que \(\cos\left(A(x)\right)=\sqrt{1-x^2}\).

5. Montrer que la fonction \(A\) est dérivable sur \(\left]-1,1\right[\) et donner l’expression de sa dérivée sous une forme simplifiée ne faisant plus intervenir de fonction trigonométrique.

6. 1. Déterminer le développement limité à l’ordre un de la fonction \(t\mapsto\dfrac{1}{\sqrt{1+t}}\).

   2. Montrer que la fonction \(A\) admet un développement limité à l’ordre \(3\) en \(0\) donné par \[A(x)=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\]

Partie II : Étude d’une variable aléatoire

On considère une variable aléatoire \(\Theta\) suivant une loi uniforme sur \([0,\pi/2]\) et on s’intéresse à la variable aléatoire \(X=\sin\Theta\).

1. Déterminer la fonction de répartition \(F_X\) de \(X\).

2. En déduire que \(X\) est une variable aléatoire à densité dont une densité est \[f_X : x\mapsto\begin{cases}\dfrac{2}{\pi\sqrt{1-x^2}} & \text{si } x\in\left]0,1\right[\\[2ex] \hfill 0 & \text{sinon}\end{cases}\]

3. 1. Montrer que la variable aléatoire \(X\) possède une espérance et donner sa valeur.

   2. Quelle est la signification de ce résultat par rapport au contexte proposé dans le préambule du problème ?

4. Montrer que la variable aléatoire \(X^2\) possède une espérance et donner sa valeur.
   On pourra utiliser, avec justification, le changement de variable \(x=\sin t\).

5. On s’intéresse, dans cette question au comportement asymptotique d’un échantillonnage de même loi que \(X\).
   Pour cela, on considère un entier naturel \(n\) non nul ainsi qu’un \(n\)-échantillon \((X_1,\dots,X_n)\) formé par \(n\) variables aléatoires indépendantes et de même loi que \(X\).
   On introduit la « moyenne empirique» \(M_n=\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}\).

   1. Que valent l’espérance et la variance de \(M_n\) ?

   2. Énoncer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

   3. En déduire, en fonction de \(n\), de l’espérance et de la variance de \(X\), un intervalle \([a_n,b_n]\) tel que \[\mathbb{P}\left(M_n\in[a_n,b_n]\right)\geqslant 95\,\%\]

6. On s’intéresse, dans cette question, à des événements « rares» associés à la variable aléatoire \(X\).

   1. À l’aide de la question 6 de la partie I, prouver l’existence de constantes \(A\) et \(B\) telles que : \[\mathbb{P}\left(X\leqslant\frac{1}{n}\right)-\frac{A}{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}\frac{B}{n^3}\]

   2. Pour tout entier \(n\) non nul, on pose \(p_n=\mathbb{P}\left(X\geqslant1-\dfrac{1}{n}\right)\).

      1. Déterminer la limite de la suite \((p_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\).

      2. Prouver que, pour tout entier \(n\) non nul, on a \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}(1-p_n)\right)=1-\dfrac{1}{n}\).

      3. Rappeler le développement limité en \(0\) à l’ordre deux de la fonction \(\cos\).

      4. En déduire une constante \(c\) telle que \(p_n\underset{n\to+\infty}{\sim}\dfrac{c}{\sqrt{n}}\).

Partie III : Étude d’une suite de fonctions définies à l’aide de la fonction arcsinus

Pour tout entier \(n\), on pose \(f_n : x\mapsto\cos\left(2n\,A(x)\right)\).

1. Calculer \(f_0\), \(f_1\) et \(f_2\).
   On vérifiera en particulier que pour tout entier naturel \(k\) inférieur ou égal à \(2\), il existe un polynôme \(P_k\) tel que : \(\forall x\in[-1,1],\quad f_k(x)=P_k(x)\).

2. 1. Soient \(a\) et \(b\) deux réels, exprimer \(\cos(a+b)+\cos(a-b)\) uniquement en fonction de \(\cos(a)\) et \(\cos(b)\).

   2. En déduire que, pour tout entier \(n\), on a : \[\forall x\in[-1,1],\quad f_{n+2}(x)+f_n(x)=2(1-2x^2)f_{n+1}(x)\]

3. Montrer que pour tout entier \(n\) non nul, il existe un polynôme \(P_n\) de degré \(2n\) tel que \[\forall x\in[-1,1],\quad f_n(x)=P_n(x)\]

4. Soit \(n\) un entier.

   1. Calculer \(f_n'\) et \(f_n''\).

   2. En déduire que \(f_n\) est solution sur \(\left]-1,1\right[\) de l’équation différentielle \[(x^2-1)y''+xy'-4n^2y=0\]

Partie IV : Étude d’un endomorphisme lié à la suite de polynômes \((P_n)_{n\in\mathbb{N}}\).

Soit \(n\) un entier non nul.

1. Montrer que pour tout \(P\in\mathbb{R}_{2n+1}[X]\), \((X^2-1)P''+XP'\in\mathbb{R}_{2n+1}[X]\).

   On définit alors l’endomorphisme \[\phi : \mathbb{R}_{2n+1}[X]\to\mathbb{R}_{2n+1}[X],\ P\mapsto(X^2-1)P''+XP'\] dont on va étudier les éléments propres.
   Pour toute valeur propre \(\lambda\) de \(\phi\), on notera \(E_\lambda\) l’espace propre de \(\phi\) associé à la valeur propre \(\lambda\).

2. Dans cette question, on suppose que \(n=1\).

   1. Donner la matrice de \(\phi\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}_3[X]\). On la notera \(M\).

   2. Prouver que \(M\) est diagonalisable et déterminer une base de vecteurs propres de \(M\).

   On revient au cas général où \(n\) est un entier non nul quelconque.

3. Donner la matrice de \(\phi\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}_{2n+1}[X]\).

4. Montrer que \(\phi\) est diagonalisable et donner son spectre.

5. Pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), déterminer \(E_{(2k)^2}\) en fonction de \(P_k\).