Annale

Public : Maths approfondies

Faisable en première année : Non

Thème principal : Algèbre

Chapitres : Calcul matriciel, Espaces vectoriels, Applications linéaires, Diagonalisation, Algèbre bilinéaire, Fonctions, Fonctions de plusieurs variables, Informatique

Ce sujet propose une belle exploration de l'algèbre avec une difficulté progressive. À partir de propriétés élémentaires des matrices à coefficients positifs et des matrices orthogonales, le problème conduit progressivement vers une véritable compréhension structurelle des matrices bistochastiques et de leurs liens avec les matrices de permutation. La dernière partie, plus technique, introduit une fonction auxiliaire bien choisie permettant de conclure élégamment. Dans l’ensemble, le sujet est plutôt exigeant, notamment dans sa quatrième partie qui demande une bonne maîtrise des arguments d’optimisation matricielle et une certaine maturité dans la manipulation des inégalités spectrales. En revanche, les deux premières parties contiennent de nombreuses questions accessibles, permettant aux candidats bien préparés d’engranger des points solides en mobilisant des outils classiques du programme (orthogonalité, matrices symétriques, matrices stochastiques, ...).