Annale

Public : Maths approfondies

Faisable en première année : En partie

Thème principal : Algèbre, Analyse, Probabilités

Chapitres : Polynômes, Calcul matriciel, Espaces vectoriels, Applications linéaires, Diagonalisation, Algèbre bilinéaire, Suites, Fonctions, Calcul intégral, Formules de Taylor, Intégrales impropres, Espaces probabilisés, Variables aléatoires discrètes, Vecteurs aléatoires discrets, Variables aléatoires à densité, Convergence et approximation, Informatique

Sujet dense et assez sélectif, typique d’une épreuve de maths approfondies, combinant probabilités continues, développements asymptotiques et algèbre linéaire spectrale. Le premier exercice proposait une étude classique mais technique du produit de deux variables uniformes. La transformation logarithmique permettait d’obtenir la densité par convolution, puis de retrouver les moments via une intégrale paramétrée. Une bonne maîtrise des changements de variables et des fonctions de répartition était essentielle. L’exercice 2 constituait un exercice très formateur autour d’une suite trigonométrique convergeant vers π. Après identification explicite de la suite, l’étude asymptotique et l’accélération de convergence par la méthode de Richardson demandaient une réelle aisance avec les développements limités. L’exercice 3 alternait deux volets probabilistes intéressants : un modèle discret de retour à l’origine, puis l’étude d’une variable géométrique conditionnelle dépendant d’un paramètre uniforme. La fin reposait sur l’encadrement classique de la série harmonique par des intégrales logarithmiques. Le problème final était la partie la plus exigeante du sujet. Il développait une étude complète des matrices symétriques positives : caractérisation par les valeurs propres, existence et unicité de la racine carrée matricielle, construction par interpolation polynomiale, puis propriétés d’ordre matriciel. Même sans aller jusqu’au bout, de nombreuses questions intermédiaires permettaient de valoriser une bonne maîtrise de l’algèbre linéaire du programme. Dans l’ensemble, une épreuve structurée et progressive, mais exigeante sur la rigueur spectrale et les techniques asymptotiques, qui distinguait nettement les candidats les plus solides en algèbre linéaire.