Convergence et approximation (Appli)
Dans tout ce chapitre, on considère un espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\) sur lequel toutes les variables aléatoires sont supposées définies.
Pour toute variable aléatoire \(X\), on convient de noter \(F_X\) sa fonction de répartition.
Inégalités de concentration
Inégalité de Markov
Si \(X\) est une variable aléatoire positive admettant une espérance, alors : \[ \forall \lambda \in \mathbb{R}_{+}^*, \ \mathbb{P}(X \geqslant \lambda) \leqslant \frac{\mathbb{E}(X)}{\lambda} \]
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Si \(X\) est une variable aléatoire admettant un moment d’ordre 2, alors : \[ \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^*, \ \mathbb{P}(|X-\mathbb{E}(X)| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{\mathbb{V}(X)}{\varepsilon^2} \]
Loi faible des grands nombres, convergence en loi
Loi faible des grands nombres
Si \(\left(X_n\right)_{n \in \mathbb{N}^*}\) est une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes, admettant une même espérance \(m\) et une même variance \(\sigma^2\), alors : \[ \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+^*,\ \mathbb{P} \! \left( \left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k – m \right| \geqslant \varepsilon \right) = 0 \]
Convergence en loi : définition et propriétés
Définition
Le cas général
On dit qu’une suite de variables aléatoires \(\left(X_n\right)_{n \in \mathbb{N}^*}\) converge en loi vers la variable aléatoire \(X\) si, en notant \(\mathcal{C}(F_X)\) l’ensemble des points en lesquels \(F_X\) est continue : \[ \forall x \in \mathcal{C}(F_X), \ \lim _{n \rightarrow+\infty} F_{X_n}(x)=F_X(x) \] Dans ce cas, on note : \(X_n \overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow}X\).
Le cas des variables aléatoires entières
Soit \(\left(X_n\right)_{n \in \mathbb{N}^*}\) une suite de variables aléatoires à valeurs dans \(\mathbb{N}\) et \(X\) une variable aléatoire prenant ses valeurs dans \(\mathbb{N}\). On a alors : \[ X_n \overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow} X \quad \Longleftrightarrow \quad \forall k \in \mathbb{N}, \ \lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{P}(X_n=k)=\mathbb{P}(X=k) \]
Théorème limite central
Soit \(\left(X_n\right)_{n \in \mathbb{N}^*}\) une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, de même loi, admettant une espérance \(m\) et une variance \(\sigma^2\) non nulle. On note : \[ \forall n \in \mathbb{N}^*, \ \overline{X}_n=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k \quad \text { et } \quad \bar{X}_n^*=\sqrt{n}\left(\frac{\overline{X_n}-m}{\sigma}\right) \]
Alors la suite \(\left(\overline{X}_n^*\right)_{n \in \mathbb{N}^*}\) converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
En particulier, on a donc, pour tout couple (\(a, b\)) d’éléments de \(\overline{\mathbb{R}}\) tel que \(a \leqslant b\) : \[ \lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{P} \! \left(a \leqslant \overline{X}_n^* \leqslant b\right)=\int_a^b \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{t^2}{2}\right) \, \mathrm{d} t \]
Approximations de lois
Approximations de la loi binomiale
Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson
- Soit \((p_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) une suite d’éléments de \(] 0,1[\) et \(\lambda\) un réel strictement positif tels que : \[ \lim _{n \rightarrow+\infty} n p_n=\lambda
\] Soit \((X_n )_{n \in \mathbb{N}^*}\) une suite de variables aléatoires telle que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), \( X_n\) suit la loi binomiale \(\mathscr{B}(n, p_n)\).
La suite \((X_n )_{n \in \mathbb{N}^*}\) converge en loi vers une variable aléatoire \(X\) suivant la loi de Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\). - Ce théorème donne la possibilité d’approcher la loi binomiale \(\mathscr{B}(n, p)\) par la loi de Poisson \(\mathscr{P}(n p\) lorsque \(n\) est “grand” et \(p\) “petit”. Dans la pratique, il est d’usage de remplacer la loi binomiale \(\mathscr{B}(n, p)\) par la loi de Poisson \(\mathscr{P}(n p)\) dès que \(n\) est supérieur ou égal à \(30, p\) inférieur ou égal à \(\frac{1}{10}\) et \(n p\) inférieur à 15.
Approximation de la loi binomiale par la loi normale
- Soit \(p\) un réel appartenant à \(] 0,1 [\) et \((X_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) une suite de variables aléatoires tels que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\) , \( X_n\) suit la loi binomiale \(\mathscr{B}(n, p)\). On note : \[ \forall n \in \mathbb{N}^*, \ \overline{X}_n=\frac{1}{n} \, X_n \quad \text { et } \quad \overline{X}_n^*=\sqrt{n}\left(\frac{\overline{X_n}-p}{\sqrt{p(1-p)}}\right) \] Alors la suite \((\overline{X}_n^*)_{n \in \mathbb{N}^*}\) converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
- Ce théorème donne la possibilité d’approcher la loi binomiale \(\mathscr{B}(n, p)\) par la loi normale \(\mathcal{N}(n p, n p(1-p))\) lorsque \(n\) est “grand” et \(p\) “pas trop éloigné” de \(\frac{1}{2}\). Dans la pratique, il est d’usage de remplacer la loi binomiale \(\mathscr{B}(n, p)\) par la loi normale \(\mathcal{N}(n p, n p(1-p))\) dès que \(n\) est supérieur ou égal à \(30, n p\) et \(n p(1-p)\) supérieurs ou égaux à 5.
Approximation de la loi de Poisson
- Soit \(\lambda\) un réel strictement positif et \((X_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) une suite de variables aléatoires tels que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), \(X_n\) suit la loi de Poisson \(\mathscr{P}(n \lambda)\). On note : \[ \forall n \in \mathbb{N}^*, \ \overline{X}_n=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k \quad \text { et } \quad \overline{X}_n^*=\sqrt{n}\left(\frac{\overline{X_n}-\lambda}{\sqrt{\lambda}}\right) \] Alors la suite \((\overline{X}_n^*)_{n \in \mathbb{N}^*}\) converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
- Ce théorème donne la possibilité d’approcher la loi de Poisson \(\mathscr{P}(\lambda)\) par la loi normale \(\mathcal{N}(\lambda, \lambda)\) lorsque \(\lambda\) est “grand”. Dans la pratique, il est d’usage de remplacer la loi de Poisson \(\mathscr{P}(\lambda)\) par la loi normale \(\mathcal{N}(\lambda, \lambda)\) dès que \(\lambda\) est supérieur ou égal à 10.