Convergence et approximation (Appli)

Réviser le cours (Maths appliquées) Probabilités Convergence et approximation (Appli)

Dans tout ce chapitre, on considère un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ sur lequel toutes les variables aléatoires sont supposées définies.

Pour toute variable aléatoire $X$ , on convient de noter $F_X$ sa fonction de répartition.

Inégalités de concentration

Inégalité de Markov

Si $X$ est une variable aléatoire positive admettant une espérance, alors : $\forall \lambda \in \mathbb{R}_{+}^*, \ \mathbb{P}(X \geqslant \lambda) \leqslant \frac{\mathbb{E}(X)}{\lambda}$

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Si $X$ est une variable aléatoire admettant un moment d’ordre 2, alors : $\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^*, \ \mathbb{P}(|X-\mathbb{E}(X)| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{\mathbb{V}(X)}{\varepsilon^2}$

Loi faible des grands nombres, convergence en loi

Loi faible des grands nombres

Si $\left(X_n\right)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes, admettant une même espérance $m$ et une même variance $\sigma^2$ , alors : $\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+^*,\ \mathbb{P} \! \left( \left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k – m \right| \geqslant \varepsilon \right) = 0$

Convergence en loi : définition et propriétés

Définition

Le cas général

On dit qu’une suite de variables aléatoires $\left(X_n\right)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge en loi vers la variable aléatoire $X$ si, en notant $\mathcal{C}(F_X)$ l’ensemble des points en lesquels $F_X$ est continue : $\forall x \in \mathcal{C}(F_X), \ \lim _{n \rightarrow+\infty} F_{X_n}(x)=F_X(x)$ Dans ce cas, on note : $X_n \overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow}X$ .

Le cas des variables aléatoires entières

Soit $\left(X_n\right)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{N}$ et $X$ une variable aléatoire prenant ses valeurs dans $\mathbb{N}$ . On a alors : $X_n \overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow} X \quad \Longleftrightarrow \quad \forall k \in \mathbb{N}, \ \lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{P}(X_n=k)=\mathbb{P}(X=k)$

Théorème limite central

Soit $\left(X_n\right)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, de même loi, admettant une espérance $m$ et une variance $\sigma^2$ non nulle. On note : $\forall n \in \mathbb{N}^*, \ \overline{X}_n=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k \quad \text { et } \quad \overline{X}_n^*=\sqrt{n}\left(\frac{\overline{X}_n-m}{\sigma}\right)$

Alors la suite $\left(\overline{X}_n^*\right)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

En particulier, on a donc, pour tout couple ( $a, b$ ) d’éléments de $\overline{\mathbb{R}}$ tel que $a \leqslant b$ : $\lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{P} \! \left(a \leqslant \overline{X}_n^* \leqslant b\right)=\int_a^b \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{t^2}{2}\right) \, \mathrm{d} t$

Approximations de lois

Approximations de la loi binomiale

Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson

Soit $(p_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite d’éléments de $] 0,1[$ et $\lambda$ un réel strictement positif tels que : $\lim _{n \rightarrow+\infty} n p_n=\lambda$ Soit $(X_n )_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires telle que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $X_n$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(n, p_n)$ .
La suite $(X_n )_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge en loi vers une variable aléatoire $X$ suivant la loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ .
Ce théorème donne la possibilité d’approcher la loi binomiale $\mathscr{B}(n, p)$ par la loi de Poisson $\mathscr{P}(n p$ lorsque $n$ est “grand” et $p$ “petit”. Dans la pratique, il est d’usage de remplacer la loi binomiale $\mathscr{B}(n, p)$ par la loi de Poisson $\mathscr{P}(n p)$ dès que $n$ est supérieur ou égal à $30, p$ inférieur ou égal à $\frac{1}{10}$ et $n p$ inférieur à 15.

Approximation de la loi binomiale par la loi normale

Soit $p$ un réel appartenant à $] 0,1 [$ et $(X_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires tels que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $X_n$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(n, p)$ . On note : $\forall n \in \mathbb{N}^*, \ \overline{X}_n=\frac{1}{n} \, X_n \quad \text { et } \quad \overline{X}_n^*=\sqrt{n}\left(\frac{\overline{X_n}-p}{\sqrt{p(1-p)}}\right)$ Alors la suite $(\overline{X}_n^*)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
Ce théorème donne la possibilité d’approcher la loi binomiale $\mathscr{B}(n, p)$ par la loi normale $\mathcal{N}(n p, n p(1-p))$ lorsque $n$ est “grand” et $p$ “pas trop éloigné” de $\frac{1}{2}$ . Dans la pratique, il est d’usage de remplacer la loi binomiale $\mathscr{B}(n, p)$ par la loi normale $\mathcal{N}(n p, n p(1-p))$ dès que $n$ est supérieur ou égal à $30, n p$ et $n p(1-p)$ supérieurs ou égaux à 5.

Approximation de la loi de Poisson

Soit $\lambda$ un réel strictement positif et $(X_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires tels que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $X_n$ suit la loi de Poisson $\mathscr{P}(n \lambda)$ . On note : $\forall n \in \mathbb{N}^*, \ \overline{X}_n=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k \quad \text { et } \quad \overline{X}_n^*=\sqrt{n}\left(\frac{\overline{X_n}-\lambda}{\sqrt{\lambda}}\right)$ Alors la suite $(\overline{X}_n^*)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
Ce théorème donne la possibilité d’approcher la loi de Poisson $\mathscr{P}(\lambda)$ par la loi normale $\mathcal{N}(\lambda, \lambda)$ lorsque $\lambda$ est “grand”. Dans la pratique, il est d’usage de remplacer la loi de Poisson $\mathscr{P}(\lambda)$ par la loi normale $\mathcal{N}(\lambda, \lambda)$ dès que $\lambda$ est supérieur ou égal à 10.

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