Soit \( f, g, h, i \) et \( j \) des fonctions définies au voisinage de \( a \).

• Si \( f \underset{a}{=} \circ(g) \) et \( g \underset{a}{=} \circ(h) \), alors : \( f \underset{a}{=} \circ(h) \).
• Si \( f \underset{a}{=} \circ(g) \) et \( i \underset{a}{=} \circ(j) \), alors : \( f \times i \underset{a}{=} \circ(g \times j) \).
• Si \( f \underset{a}{=} \circ(h) \) et \( g \underset{a}{=} \circ(h) \), alors : \( f+g \underset{a}{=} \circ(h) \).
• Si \( f \underset{a}{=} \circ(g) \), alors : \( f \times h \underset{a}{=} \circ(g \times h) \).

Soit \( f, g, h, i \) et \( j \) des fonctions définies au voisinage de \( a \).

• Si \( f \underset{a}{\sim} g \) et \( g \underset{a}{\sim} h \), alors : \( f \underset{a}{\sim} h \).
• Si \( f \underset{a}{\sim} g \) et \( i \underset{a}{\sim} j \), alors : \( f \times \underset{a}{\sim} g \times j \).
• Si \( f \underset{a}{\sim} g \) et si \( f \) et \( g \) ne s’annulent pas au voisinage de \( a \) : \( \displaystyle \frac{1}{f} \underset{a}{\sim} \frac{1}{g} \).
• Si \( f \underset{a}{\sim} g \), alors : \( \forall n \in \mathbb{N}, \ f^n \underset{a}{\sim} g^n \).
• Si \( f \underset{a}{\sim} g \) et si \( f \) et \( g \) sont strictement positives au voisinage de \( a \), alors : \( \forall \alpha \in \mathbb{R}, \ f^\alpha \underset{a}{\sim} g^\alpha \).

• Si la fonction \( g \) ne s’annule pas au voisinage de \( a \), alors : \[ f(x) \underset{x \rightarrow a}{\sim} g(x) \Longleftrightarrow \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=1 \]
• Si \( f \underset{a}{\sim} g \) et si \( \ell \) est un élément de \( \overline{\mathbb{R}} \), alors : \[ \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\ell \Rightarrow \lim _{x \rightarrow a} g(x)=\ell \]
• Si \( f \) et \( g \) sont deux fonctions équivalentes en \( a \), il existe un voisinage de \( a \) sur lequel \( f \) et \( g \) sont de même signe.
• Si \( \ell \) est un réel non nul et si \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\ell \), alors : \[ f(x) \underset{x \rightarrow a}{\sim} \ell \]

• Une fonction polynôme non nulle est équivalente en \( +\infty \) et en \( -\infty \) à son monôme de plus haut degré et en \(0 \) à son monôme de plus base degré ; autrement dit, si \( (n, p) \) est un couple d’entiers naturels tel que \( p<n \) et si \( \displaystyle P: x \mapsto \sum_{k=p}^n a_k x^k \) est une fonction polynôme telle que \( a_p \neq 0 \) et \( a_n \neq 0 \), alors : \[ \sum_{k=p}^n a_k x^k \underset{x \rightarrow+\infty}{\sim} a_n x^n \] \[\sum_{k=p}^n a_k x^k \underset{x \rightarrow-\infty}{\sim} a_n x^n \] \[ \sum_{k=p}^n a_k x^k \underset{x \rightarrow 0}{\sim} a_p x^p \]
• \( \mathrm{e}^x-1 \underset{x \rightarrow 0}{\sim} x \)
• \( \ln (1+x) \underset{x \rightarrow 0}{\sim} x \)
• \( \ln (x) \underset{x \rightarrow 1}{\sim} x-1 \)
• \( \forall \alpha \in \mathbb{R},\ (1+x)^\alpha-1 \underset{x \rightarrow 0}{\sim} \alpha x \)

On dit que \(f\) admet un développement limité à l’ordre \(n \in \mathbb{N}\) en \(a\) s’il existe une famille \(( \alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n ) \) de réels et une fonction \(\varepsilon\) définie sur \(I\) telles que : \begin{align*} \forall x \in \mathscr{D}_f, \ f(x) &=\sum_{k=0}^n \alpha_k(x-a)^k+(x-a)^n \varepsilon(x) \\&=\alpha_0+\alpha_1(x-a)+\cdots+\alpha_n(x-a)^n+(x-a)^n \varepsilon(x) \end{align*}

et : \[ \lim _{x \rightarrow a} \varepsilon(x)=0 \]

autrement dit s’il existe une famille \(\left(\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n\right)\) de réels telle que : \[ f(x) \underset{a}{=} \sum_{k=0}^n \alpha_k(x-a)^k+\circ\left((x-a)^n\right) \]

Soit \(n \in\{0,1,2\}\). Si \(f\) est une fonction de classe \(\mathcal{C}^n\) sur \(I\), alors \(f\) admet un développement limité à l’ordre \(n\) en \(a\) et on a : \[ f(x) \underset{x \rightarrow a}{=} \sum_{k=0}^n \frac{(x-a)^k}{k!} f^{(k)}(a)+\circ\left((x-a)^n\right) \]

Plus précisément :

• Si \(f\) est continue sur \(I\) alors \(f\) admet un développement limité à l’ordre 0 en \(a\) et : \[ f(x) \underset{x \rightarrow a}{=} f(a)+\circ(x-a) \]
• Si \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(I\) alors \(f\) admet un développement limité à l’ordre 1 en \(a\) et : \[ f(x) \underset{x \rightarrow a}{=} f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\circ(x-a) \]
• Si \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(I\) alors \(f\) admet un développement limité à l’ordre 2 en \(a\) et : \[ f(x) \underset{x \rightarrow a}{=} f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime}(a)}{2}(x-a)^2+\circ\left((x-a)^2\right) \]

• La fonction exponentielle admet un développement limité à l’ordre 2 en 0 et : \[ \mathrm{e}^x \underset{0}= 1+x+\frac{x^2}{2}+\circ(x^2) \]
• La fonction \(x \mapsto \ln (1+x)\) admet un développement limité à l’ordre 2 en 0 et : \[ \ln (1+x) \underset{0}= x-\frac{x^2}{2}+\circ(x^2) \]
• Les fonctions \(x \mapsto \dfrac{1}{1+x}\) et \(x \mapsto \dfrac{1}{1-x}\) admettent un développement limité à l’ordre 2 en 0 et : \[ \begin{aligned} & \frac{1}{1-x} \underset{0}= 1+x+x^2+\circ(x^2) \\ & \frac{1}{1+x} \underset{0}= 1-x+x^2+\circ(x^2) \end{aligned} \]
• Plus généralement, pour tout \(\alpha \in \mathbb{R}\), la fonction \(x \mapsto(1+x)^\alpha\) admet un développement limité à l’ordre 2 en 0 et : \[ (1+x)^\alpha \underset{0}= 1 +\alpha x+\frac{\alpha \left( \alpha-1 \right)}{2!} x^2+\circ(x^2) \]