Espaces vectoriels (Appli)
Espace vectoriel, sous-espace vectoriel
Donner six exemples d’espaces vectoriels
- \( \mathbb{R}^n \) (\( n \in \mathbb{N}^* \)) est un espace vectoriel.
- \( \mathbb{R}[x] \) et \( \mathbb{R}_n[x] \) (\( n \in \mathbb{N} \)) sont des espaces vectoriels.
- L’ensemble \( \mathcal{A}( \mathbb{R}, \mathbb{R}) \) des applications de \( \mathbb{R} \) dans \( \mathbb{R} \) est un espace vectoriel.
- L’ensemble \( \mathcal{C}^n( \mathbb{R}, \mathbb{R}) \) (\( n \in \mathbb{N} \)) des fonctions de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur \( \mathbb{R} \) est un espace vectoriel.
- L’ensemble \( \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \) des suites réelles est un espace vectoriel.
- L’ensemble \( \mathcal{M}_{n,p}( \mathbb{R}) \) (\( (n,p) \in ( \mathbb{N}^*)^2 \)) est un espace vectoriel.
Sous-espace vectoriel : définition, caractérisation et propriétés fondamentales
Définition
Soit \( E \) un espace vectoriel. On appelle sous-espace vectoriel de \( E \) tout sous-ensemble \( F \) de \( E \) ayant les propriétés suivantes :
- \( F \) n’est pas vide,
- \( F \) est stable par \( + \) : \( \forall(x, y) \in F^2, \ x+y \in F \)
- \( F \) est stable par \( cdot \) : \( \forall x \in F, \ \forall \lambda \in \mathbb{R}, \ \lambda x \in F \)
Caractérisation
Soit \( E \) un espace vectoriel. Un sous-ensemble \( F \) de \( E \) est un sous-espace vectoriel de \( E \) si et seulement si :
\[ 0_E \in F \quad \text { et } \quad \forall(x, y) \in F^2, \ \forall \lambda \in \mathbb{R}, \ \lambda x+y \in F \]
Propriétés
Soit \( E \) un espace vectoriel.
- Si \( F \) est un sous-espace vectoriel de \( E \), alors \( F \) est un espace vectoriel.
- Si \( F_1,\dots,F_p \) sont des sous-espaces vectoriels de \( E \), alors \( \displaystyle \bigcap_{k=1}^p F_k \) est un sous-espace vectoriel de \( E \).
Ensemble des combinaisons linéaires d’une famille de vecteurs : définition et propriétés
Définition
Soit \( E \) un espace vectoriel et \( \mathcal{F}=\left(x_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n} \) une famille finie d’éléments de \( E \). On appelle :
- Combinaison linéaire de \( x_1, \ldots, x_n \) tout vecteur \( x \) s’écrivant sous la forme \( x= \displaystyle \sum_{i=1}^n a_i x_i \), où \( a_1, \ldots, a_n \) sont des éléments de \( \mathbb{R} \),
- Sous-espace vectoriel de \( E \) engendré par \( \mathcal{F} \) et on note \( \operatorname{Vect}(\mathcal{F}) \) le plus petit (au sens de l’inclusion) sous-espace vectoriel de \( E \) contenant tous les éléments de \( \mathcal{F} \).
Propriétés
Soit \( E \) un espace vectoriel et \( \mathcal{F}=\left(x_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n} \) une famille finie d’éléments de \( E \). On a :
\[ \operatorname{Vect}(\mathcal{F})=\left\{\sum_{i=1}^n a_i x_i,\left(a_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n} \in \mathbb{R}^n\right\}\]
Soit \( E \) espace vectoriel et \( \mathcal{F}=\left(x_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n} \) une famille de vecteurs de \( E \).
- Si \( \sigma \) est une permutation de \( \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right] \), alors : \[ \operatorname{Vect}\left(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(n)}\right)=\operatorname{Vect}\left(x_1, \ldots, x_n\right) \]
- Si \( \alpha_1, \ldots, \alpha_n \) sont des scalaires tous non nuls, alors : \[ \operatorname{Vect}\left(\alpha_1 x_1, \ldots, \alpha_n x_n\right)=\operatorname{Vect}\left(x_1, \ldots, x_n\right) \]
- Si \( u \) est combinaison linéaire des vecteurs \( x_2, \ldots, x_n \), alors : \[ \operatorname{Vect}\left(x_1+u, \ldots, x_n\right)=\operatorname{Vect}\left(x_1, \ldots, x_n\right) \]
Familles libres, familles génératrices, bases
Famille génératrice : définition
Soit \( E \) un espace vectoriel et \( \mathcal{F}=\left(x_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n} \) une famille finie de vecteurs de \( E \).
On dit que la famille \( \mathcal{F} \) est une famille génératrice de \( E \), ou que \( E \) est engendré par la famille \( \mathcal{F} \) si :
\[ \forall x \in E, \ \exists\left(a_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n} \in \mathbb{R}^n,\ x=\sum_{i=1}^n a_i x_i \]
c’est-à-dire si : \( E=\operatorname{Vect}( \mathcal{F}) \).
Famille libre, famille liée : définitions et propriétés
Définitions
Soit \( \left(x_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n} \) une famille de vecteurs de \( E \).
On dit que la famille \( \left(x_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n} \) est libre, ou que les vecteurs \( x_1, \ldots, x_n \) sont linéairement indépendants si elle vérifie :
\[ \forall\left(\alpha_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n} \in \mathbb{R}^n, \ \left(\sum_{i=1}^n \alpha_i x_i=0 \Rightarrow \forall i \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right], \ \alpha_i=0\right) \]
On dit que la famille \( \left(x_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n} \) est liée si elle n’est pas libre, c’est-à-dire si :
\[ \exists\left(\alpha_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n} \in \mathbb{R}^n,\ \left(\alpha_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n} \neq 0_{\mathbb{R}^n} \quad \text { et } \quad \sum_{i=1}^n \alpha_i x_i=0 \]
Propriétés
Soit \( \left(x_1, \ldots, x_n\right) \) une famille de vecteurs de \( E \). Si \( \left(x_1, \ldots, x_n\right) \) est libre, alors pour toutes familles \( \left(a_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n} \) et \( \left(b_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n} \) de scalaires :
\[ \sum_{i=1}^n a_i x_i=\sum_{i=1}^n b_i x_i \Rightarrow \forall i \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ a_i=b_i \]
Soit \( \mathcal{F} \) une famille de vecteurs de \( E \).
- Si \( \mathcal{F} \) contient le vecteur nul, alors la famille \( \mathcal{F} \) est liée.
- Si \( \mathcal{F} \) est libre, alors tous ses vecteurs sont non nuls. \( \mathcal{F} \) est liée si et seulement si l’un au moins de ses vecteurs est combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille.
- \( \mathcal{F} \) est libre si et seulement si aucun de ses vecteurs n’est combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille.
- Si \( \mathcal{F} \) est libre et si \( \mathcal{G} \) est une famille composée de vecteurs de \( \mathcal{F} \), alors \( \mathcal{G} \) est libre. Autrement dit, toute sous-famille d’une famille libre est libre.
- Si \( \mathcal{F} \) est liée et si \( \mathcal{H} \) est une famille de vecteurs de \( E \) contenant tous les vecteurs de \( \mathcal{F} \), alors \( \mathcal{H} \) est liée. Autrement dit, toute sur-famille d’une famille liée est liée.
Base d’un espace vectoriel : définition et propriété
Définition
Soit \( \mathcal{F} \) une famille de vecteurs de \( E \).
On dit que \( \mathcal{F} \) est une base de \( E \) si elle est libre et génératrice de \( E \).
Propriété
Soit \( \mathcal{F}=\left(x_1, \ldots, x_n\right) \) une famille de vecteurs de \( E \).
\( \mathcal{F} \) est une base de \( E \) si et seulement si tout vecteur de \( E \) peut s’écrire de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de \( \mathcal{F} \), c’est-à-dire si et seulement si :
\[ \forall x \in E, \ \exists!\left(\alpha_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n} \in \mathbb{R}^n,\ x=\sum_{i=1}^n \alpha_i x_i \]
Dans ce cas, pour un vecteur \( x \) de \( E \) s’écrivant sous la forme \( \displaystyle x=\sum_{i=1}^n \alpha_i x_i \), la famille \( \left(\alpha_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n} \) est appelée famille des composantes (ou des coordonnées) de \( x \) dans la base \( \mathcal{F} \).
Espaces vectoriels de dimension finie
Définition
On dit que \( E \) est un espace vectoriel de dimension finie s’il ne contient que le vecteur nul ou s’il admet une famille génératrice contenant un nombre fini de vecteurs.
Dans le cas où \( E \) n’est pas de dimension finie, on dit que \( E \) est de dimension infinie.
Théorème de la dimension
Soit \( E \) un espace vectoriel de dimension finie, différent de \( {0} \).
\( E \) admet une base et toutes les bases de \( E \) ont la même longueur, appelée dimension de \( E \) et notée \( \operatorname{dim}(E) \).
Par convention, on note : \( \operatorname{dim}({0})=0 \).
Dimension des espaces vectoriels \( \mathbb{R}^n \), \( \mathbb{R}_n[x] \), \( \mathcal{M}_{n,p}( \mathbb{R}) \).
- \( \forall n \in \mathbb{N}^*, \ \operatorname{dim}\left(\mathbb{R}^n\right)=n \)
- \( \forall n \in \mathbb{N}, \ \operatorname{dim}\left(\mathbb{R}_n[x]\right)=n+1 \)
- \( \forall(n, p) \in\left(\mathbb{N}^*\right)^2, \ \operatorname{dim}\left(\mathcal{M}_{n, p}(\mathbb{R})\right)=n p \)
- \( \forall n \in \mathbb{N}^*, \ \operatorname{dim}\left(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\right)=n^2 \)
Liens entre la dimension d’un espace vectoriel et la longueur des familles libres, des familles génératrices.
Soit \( E \) un espace vectoriel de dimension finie égale à \( n \) et \( \left(x_k\right)_{1 \leqslant k \leqslant n} \) une famille de \( p \) vecteurs de \( E \).
- Si la famille \( \left(x_k\right)_{1 \leqslant k \leqslant p} \) est libre, alors : \( p \leqslant n \),
- Si la famille \( \left(x_k\right)_{1 \leqslant k \leqslant p} \) est génératrice de \( E \), alors : \( p \geqslant n \).
Les assertions suivantes sont équivalentes :
- La famille \( \left(x_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n} \) est une base de \( E \),
- La famille \( \left(x_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n} \) est libre,
- La famille \( \left(x_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n} \) est génératrice de \( E \).
Dimension d’un sous-espace vectoriel : propriétés
Soit \( E \) un espace vectoriel de dimension \( n \) et \( F \) un sous-espace vectoriel de \( E \).
- \( F \) est de dimension finie et : \( \operatorname{dim}(F) \leqslant n \).
- Si \(\operatorname{dim}(F)=\operatorname{dim}(E) \), alors : \( F=E \).
Rang d’une famille de vecteurs : définition
Si \( E \) est un espace vectoriel et si \( \mathcal{F} \) est une famille finie de vecteurs de \( E \), on appelle rang de \( \mathcal{F} \) et on note \( \operatorname{rg}(\mathcal{F}) \) la dimension du sous-espace vectoriel de \( E \) engendré par \( \mathcal{F} \) : \[ \operatorname{rg}(\mathcal{F})=\operatorname{dim}(\operatorname{Vect}(\mathcal{F})) \]
Rang d’une matrice : définition et propriétés
Définition
Soit \( n \) et \( p \) deux entiers naturels non nuls, \( M \in \mathcal{M}_{n, p}(\mathbb{R}) \). En notant \( C_1, \ldots, C_p \) les vecteurs colonnes de \( M \), le rang de la famille \( \left(C_1, \ldots, C_p\right) \) est aussi appelé rang de \( M \), et noté \( \operatorname{rg}(M) \).
Propriétés
Soit \( n \) et \( p \) deux entiers naturels non nuls, \( M \in \mathcal{M}_{n, p}(\mathbb{R}) \). On a : \[ \operatorname{rg}(M)=\operatorname{rg}\left({ }^t \! M\right) \]
Par conséquent on a nécessairement : \[ \mathrm{rg}(M) \leqslant \min(n,p) \]