Une semaine, un classique : 2026-W13 – stephanepreteseille.com

Trois questions de cours pour te lancer

Teste ton cours en répondant aux questions suivantes, à l’oral ou en écrivant ta réponse sur une feuille. Ensuite, envoie une photo de ta réponse et demande à l’IA d’analyser ce qui est juste, ce qui manque et comment t’améliorer.

Propriétés de l'image et noyau du projecteur \( p \) sur \( F \) parallèlement à \( G \)

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\( \mathrm{Im}(p)=\mathrm{Ker}(p-\mathrm{id})=F \),
\( \mathrm{Ker}(p)=\mathrm{Im}(p-\mathrm{id})=G \),
\( \mathrm{Im}(p)\oplus \mathrm{Ker}(p)=E \).

Comment montrer que deux sous-espaces \(F\) et \(G\) sont supplémentaires (en dimension finie) ?

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Montrer que la somme \(F+G\) est directe et que \(\dim(F)+\dim(G)=\dim(E)\) ;
Montrer que pour tout \(x\in E\) il existe un unique \(y\in F\) et un unique \(z\in G\) tels que \(x=y+z\) ;
Montrer que la concaténation d’une base de \(F\) et d’une base de \(G\) est une base de \(E\).

Définition du sous-espace propre de \( f \) associé à \( \lambda \)

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Soit \( \lambda\in\mathbb{R} \) une valeur propre de \( f \). Le sous-espace propre de \( f\) associé à la valeur propre \(\lambda\) est : \[(] E_{\lambda}(f)=\{ x\in E\mid f(x)=\lambda x \} \] Autrement dit : \[(] E_{\lambda}(f)=\mathrm{Ker}(f-\lambda \, \mathrm{id}_E \]Le sous-espace propre associé à la valeur propre \(\lambda\) est donc l'ensemble des vecteurs propres, auquel on ajoute le vecteur nul.

Mini-exercices : vérifie que les bases sont maîtrisées

Quelques exercices rapides pour passer du cours à l’action. L’objectif : réfléchir, répondre à la question, puis laisser l’IA te dire où tu en es et comment progresser.

Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(F_1,F_2,F_3\) trois sous-espaces vectoriels de \(E\) tels que

\[ E=F_1\oplus F_2\oplus F_3 \]

On note :

\(p_1\) le projecteur sur \(F_1\) parallèlement à \(F_2\oplus F_3\)
\(p_2\) le projecteur sur \(F_2\) parallèlement à \(F_1\oplus F_3\)
\(p_3\) le projecteur sur \(F_3\) parallèlement à \(F_1\oplus F_2\)

Montrer que \(p_1+p_2+p_3=\mathrm{Id}_E\)
Montrer que, si \(i\) et \(j\) sont des éléments distincts de \(\{1,2,3\}\), alors \(p_i\circ p_j=0\)

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Soit \(x\in E\). Comme \(E=F_1\oplus F_2\oplus F_3\), il existe un unique triplet \((x_1,x_2,x_3)\in F_1\times F_2\times F_3\) tel que
\[ x=x_1+x_2+x_3 \]
On remarque que
\[ x= x_1+(x_2+x_3) \]
Or \(x_2\in F_2\) et \(x_3\in F_3\), donc \(x_2+x_3\in F_2\oplus F_3\). Comme \(x_1\in F_1\), par définition du projecteur sur \(F_1\) parallèlement à \(F_2\oplus F_3\),
\[ p_1(x)=x_1 \]
On prouve de même que
\[ p_2(x)=x_2 \qquad \text{et} \qquad p_3(x)=x_3 \]
On a ainsi
\[ \begin{align*} (p_1+p_2+p_3)(x) &= p_1(x)+p_2(x)+p_3(x) \\ &= x_1+x_2+x_3 \\ &= x \end{align*} \]
D'où, comme cette égalité est valable pour tout \(x\in E\),
\[ p_1+p_2+p_3=\mathrm{Id}_E \]
Les projecteurs jouent des rôles similaires, donc il suffit de prouver que \(p_1\circ p_2=0\). Soit \(x\in E\). On a
\[ (p_1\circ p_2)(x)=p_1(p_2(x)) \]
Or par définition \(p_2(x)\in \mathrm{Im}(p_2)=F_2\), donc \(p_2(x)\in F_2\oplus F_3\). Par ailleurs \(p_1\) est un projecteur parallèlement à \(F_2\oplus F_3\), donc
\[ \mathrm{Ker}(p_1)=F_2\oplus F_3 \]
Ainsi
\[ p_1(p_2(x))=0 \]
Donc, pour tout \(x\in E\),
\[ p_1\circ p_2=0 \]
Le même raisonnement vaut pour tous \(i\neq j\).

Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel \(E\) tels que

\[ F+G=E \]

Soit \(H\) un supplémentaire de \(F\cap G\) dans \(F\), c’est-à-dire

\[ F=(F\cap G)\oplus H \]

Montrer que

\[ E=G\oplus H \]

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On ne sait pas si \(E\) est de dimension finie, donc on va prouver que

\[ E=G+H \qquad \text{et} \qquad G\cap H=\{0\} \]

Montrons que \(E=G+H\). Soit \(x\in E\). Comme \(E=F+G\), il existe \(f\in F\) et \(g\in G\) tels que
\[ x=f+g \]
Or \(F=(F\cap G)\oplus H\), donc il existe \(u\in F\cap G\) et \(h\in H\) tels que
\[ f=u+h \]
Ainsi
\[ x=h+(g+u) \]
Comme \(u\) et \(g\) appartiennent à \(G\) et comme \(G\) est un espace vectoriel, on sait que
\[ g+u\in G \]
Donc, comme \(h\in H\),
\[ x\in H+G \]
D’où
\[ E\subset G+H \]
Et donc, comme \(G\) et \(H\) sont des sous-espaces vectoriels de \(E\),
\[ E=G+H \]
Montrons que \(G\cap H=\{0\}\). Soit \(x\in G\cap H\). \(x\) appartient donc à \(G\) et à \(H\), donc aussi à \(F\) puisque \(H\subset F\). Il en découle
\[ x\in (F\cap G)\cap H \]
Or on sait que \(F\cap G\) et \(H\) sont en somme directe (car supplémentaires dans \(F\)), donc :
\[ (F\cap G)\cap H=\{0\} \]
On en déduit
\[ x=0 \]
Puis, comme le vecteur nul de \(E\) appartient à \(G \cap H\),
\[ G\cap H=\{0\} \]

Conclusion :

\[ E=G+H \quad \text{et} \quad G\cap H=\{0\} \]

Donc

\[ E=G\oplus H \]

Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(f\in\mathcal{L}(E)\). Pour toute valeur propre \(\lambda\neq 0\) de \(f\), on note

\[ E_\lambda=\mathrm{Ker}(f-\lambda\,\mathrm{Id}) \]

le sous-espace propre associé. Montrer que

\[ \sum_{\lambda\neq 0} E_\lambda \subset \mathrm{Im}(f) \]

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Comme \(\mathrm{Im}(f)\) est un espace vectoriel, il est stable par addition donc, il suffit de prouver que, pour toute valeur propre \(\lambda\) de \(f\) associée à une valeur propre non nulle, le sous-espace propre associé \(E_\lambda(f)\) est inclus dans \(\mathrm{Im}(f)\). Soit alors \(\lambda\) une valeur propre non nulle de \(f\) et \(x\) un élément de \(E_\lambda(f)\). On a ainsi

\[ f(x)=\lambda x \]

Comme \(\lambda\neq 0\), on obtient

\[ x=\frac{1}{\lambda}f(x) \]

Donc

\[ x\in \mathrm{Im}(f) \]

Comme ce résultat est valable pour tout élément \(x\) de \(E_\lambda(f)\), on a ainsi

\[ E_\lambda\subset \mathrm{Im}(f) \]

Comme \(\mathrm{Im}(f)\) est un sous-espace vectoriel, la somme de sous-espaces inclus dans \(\mathrm{Im}(f)\) est encore incluse dans \(\mathrm{Im}(f)\), d’où

\[ \sum_{\lambda\neq 0} E_\lambda \subset \mathrm{Im}(f) \]

Un exercice sur un thème classique pour t’entraîner

Place maintenant tout en contexte avec un exercice d’annales choisi pour sa difficulté raisonnable et sa forte valeur d’entraînement. C’est l’occasion de tester ta compréhension, de te confronter à une vraie question de concours, et de profiter de l’aide de l’IA si tu en as besoin.