Une semaine, un classique

On vérifie les trois conditions pour qu'une fonction soit une densité de probabilité.

• Positivité.

  \(f\) est positive en dehors de \([-1,1]\) (car constante nulle).

  On a de plus :

  \[ \forall x\in[-1,0],\ 1+x\geqslant 0 \]

  et

  \[ \forall x\in[0,1],\ 1-x\geqslant 0 \]

  donc \(f\) est positive sur \([-1,1]\). Ainsi \(f\) est positive sur \(\mathbb{R}\).

• Continuité.

  \(f\) est continue sur \(]-\infty,-1[\) et \(]1,+\infty[\) (fonction constante), sur \(]-1,0[\) et \(]0,1[\) (fonction affine sur chacun de ces intervalles), donc \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) éventuellement privé d'un nombre fini de points.

  (Notons qu'en réalité on vérifie sans mal que \(f\) est aussi continue en \(-1\), \(0\) et \(1\), mais ce n'est pas nécessaire à ce stade.)

• Intégrale convergente et égale à \(1\).

  \(f\) étant nulle en dehors de \([-1,1]\), les intégrales \(\displaystyle\int_{-\infty}^{-1} f(x)\,\mathrm{d}x\) et \(\displaystyle\int_{1}^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x\) sont convergentes et égales à \(0\).

  De plus, les restrictions de \(f\) à \([-1,0]\) et \([0,1]\) sont continues, donc \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x\) est convergente et, d'après la relation de Chasles :

  \[ \begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x &=\int_{-\infty}^{-1} f(x)\,\mathrm{d}x+\int_{-1}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x+\int_{1}^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x\\ &=\int_{-1}^{0} (1+x)\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{1} (1-x)\,\mathrm{d}x\\ &=\left[\frac{(1+x)^2}{2}\right]_{-1}^{0}+\left[-\frac{(1-x)^2}{2}\right]_{0}^{1}\\ &=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\\ &=1 \end{align*} \]

Ainsi \(f\) est une densité de probabilité.

On pose \(M_n=\min(X_1,\dots,X_n)\).

Pour déterminer la loi de \(M_n\), on commence par déterminer sa fonction de répartition et, comme il s'agit d'un minimum de variables aléatoires indépendantes, on remarque que :

\[ \forall x\in\mathbb{R},\quad P(M_n \leqslant x)=1-P(M_n>x) \]

On a de plus :

\[ \forall x\in\mathbb{R},\quad [M_n>x]=\bigcap_{k=1}^n [X_k>x] \]

Donc, comme \(X_1,\dots,X_n\) sont indépendantes :

\[ \begin{align*} \forall x\in\mathbb{R},\quad P(M_n>x) &=\prod_{k=1}^n P(X_k>x)\\ &=\prod_{k=1}^n \left[1-P(X_k \leqslant x)\right] \end{align*} \]

Or, pour une loi exponentielle de paramètre \(\lambda_k\),

\[ \forall x\in\mathbb{R},\quad P(X_k \leqslant x)= \begin{cases} 1-e^{-\lambda_k x} & \text{si } x \geqslant 0\\ 0 & \text{si } x<0 \end{cases} \]

D'où :

\[ \forall xx)=1 \]

et, pour \(x \geqslant 0\),

\[ \begin{align*} P(M_n>x) &=\prod_{k=1}^n e^{-\lambda_k x}\\ &=e^{-(\lambda_1+\cdots+\lambda_n)x} \end{align*} \]

On en déduit :

\[ \forall x\in\mathbb{R},\quad P(M_n \leqslant x)= \begin{cases} 1-e^{-(\lambda_1+\cdots+\lambda_n)x} & \text{si } x \geqslant 0\\ 0 & \text{si } x<0 \end{cases} \]

Ainsi \(M_n\) suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda_1+\cdots+\lambda_n\).

• On commence par chercher la fonction de répartition \(F_n\) de \(X_n\).

  Comme \(f_n\) est nulle sur \(\mathbb{R}_-^*\), on a déjà :

  \[ \forall x\in\mathbb{R}_-^*,\quad F_n(x)=0 \]

  On a de plus :

  \[ \begin{align*} \forall x\in\mathbb{R}_+,\quad F_n(x) &=\int_{0}^{x} f_n(t)\,\mathrm{d}t\\ &=\int_{0}^{x} n^2 t\,\exp\!\left(-\dfrac{(nt)^2}{2}\right)\,\mathrm{d}t \end{align*} \]

  On fait le changement de variable \(u=nt\) (affine non constant, donc licite), donc \(t=\dfrac{u}{n}\) et \(\mathrm{d}t=\dfrac{1}{n}\mathrm{d}u\). On obtient

  \[ \begin{align*} F_n(x) &=\int_{0}^{nx} n^2\cdot \frac{u}{n}\,\exp\!\left(-\frac{u^2}{2}\right)\cdot \frac{1}{n}\,\mathrm{d}u\\ &=\int_{0}^{nx} u\,\exp\!\left(-\frac{u^2}{2}\right)\,\mathrm{d}u\\ &=\left[-e^{-u^2/2}\right]_{0}^{nx}\\ &=1-\exp\!\left(-\frac{(nx)^2}{2}\right) \end{align*} \]

• On calcule la limite de \(F_n(x)\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\), pour \(x\) fixé dans \(\mathbb{R}\).

  On a déjà :

  \[ \forall x\in\mathbb{R}_-^*,\quad \lim_{n\to+\infty}F_n(x)=0 \]

  On a de plus (attention au cas \(x=0\)), comme la fonction exponentielle tend vers \(0\) en \(-\infty\) :

  \[ \forall x\in\mathbb{R}_+^*,\quad \lim_{n\to+\infty}F_n(x)=1 \]

  On a enfin, comme \(F_n(0)=1-1=0\) :

  \[ \lim_{n\to+\infty}F_n(0)=0 \]

  Ainsi on a :

  \[ \forall x\in\mathbb{R},\quad \lim_{n\to+\infty}F_n(x)= \begin{cases} 0 & \text{si } x \leqslant 0\\ 1 & \text{si } x>0 \end{cases} \]

• On compare la limite avec la fonction de répartition d'une loi connue.

  On sait que, si \(X\) est une variable aléatoire constante égale à \(0\), sa fonction de répartition \(F\) vérifie :

  \[ \forall x\in\mathbb{R},\quad F(x)= \begin{cases} 0 & \text{si } x<0\\ 1 & \text{si } x \geqslant 0 \end{cases} \]

  On a ainsi :

  \[ \forall x\in\mathbb{R}^*,\quad \lim_{n\to+\infty}F_n(x)=F(x) \]

  Enfin \(F\) n'est pas continue en \(0\), donc on peut conclure que \((X_n)\) converge en loi vers \(X\).