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Semaine 11

Une semaine, un classique

Algèbre : Quelques propriétés des endomorphismes antisymétriques

Thème : Algèbre

Année : ECG2

Option : Maths approfondies

Durée indicative : 90 minutes

Objectif : Maîtriser trois notions fondamentales en algèbre : polynôme annulateur et spectre, construction d’une base orthonormale et propriétés des endomorphismes antisymétriques.

Trois questions de cours pour te lancer

Teste ton cours en répondant aux questions suivantes, à l’oral ou en écrivant ta réponse sur une feuille. Ensuite, envoie une photo de ta réponse et demande à l’IA d’analyser ce qui est juste, ce qui manque et comment t’améliorer.

Donner la définition et les propriétés fondamentales de deux sous-espaces vectoriels orthogonaux.

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Soit \( (E,\langle \cdot,\cdot \rangle) \) un espace euclidien, et \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\).

  • Définition.

    On dit que \(F\) et \(G\) sont orthogonaux (et on note \(F \perp G\)) si

    \[ \forall (x,y) \in F \times G,\ \langle x,y \rangle = 0 \]

  • Propriétés.
    • Si \(\mathcal{F}=(f_1,\dots,f_p)\) est une base de \(F\) et si \(\mathcal{G}=(g_1,\dots,g_q)\) est une base de \(G\), alors

      \[ F \perp G \Longleftrightarrow \forall (i,j) \in \llbracket 1,p \rrbracket \times \llbracket 1,q \rrbracket,\ f_i \perp g_j \]

    • Si \(F\) et \(G\) sont orthogonaux, alors ils sont en somme directe :

      \[ F \cap G = \{0\} \]

Donner la définition d'une base orthonormale d'un espace euclidien E et écrire la décomposition d'un vecteur x et d'un produit scalaire dans une base orthonormale.

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On se place dans un espace euclidien \( (E,\langle \cdot,\cdot \rangle) \).

  • Définition.

    Une famille \(\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_n)\) est une base orthonormale de \(E\) si :

    • \(\forall i,\ \|e_i\|=1\)
    • \(\forall i\neq j,\ \langle e_i,e_j \rangle = 0\)
  • Décomposition d’un vecteur dans une base orthonormale.

    Si \(\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_n)\) est une base orthonormale de \(E\), alors

    \[ \forall x \in E,\quad x = \sum_{i=1}^n \langle x,e_i \rangle e_i \]

  • Produit scalaire en base orthonormale.

    Si \(\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_n)\) est une base orthonormale de \(E\), alors

    \[ \forall (x,y) \in E^2,\quad \langle x,y \rangle = \sum_{i=1}^n \langle x,e_i \rangle \langle y,e_i \rangle \]

Définir une matrice orthogonale. Donner ses propriétés fondamentales.

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On se place dans \( \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \).

  • Définition.

    Une matrice \(P \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est dite orthogonale si

    \[ {}^t P\,P = I_n \]

    De manière équivalente, \(P^{-1} = {}^t P\).

  • Propriétés.
    • \(P \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est une matrice orthogonale si et seulement si ses colonnes forment une base orthonormale de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) (pour le produit scalaire canonique).
    • Si \(P\) est la matrice de passage d'une base orthonormale à une base orthonormale d'un espace euclidien \(E\), alors \(P\) est une matrice orthogonale.

Mini-exercices : vérifie que les bases sont maîtrisées

Quelques exercices rapides pour passer du cours à l’action. L’objectif : réfléchir, répondre à la question, puis laisser l’IA te dire où tu en es et comment progresser.

Soit \(E\) un espace euclidien et \(f\) un endomorphisme de \(E\) vérifiant

\[ \forall (x,y)\in E^2,\ \langle f(x),y\rangle = -\langle x,f(y)\rangle \]

Montrer que

\[ \mathrm{Ker}(f)\perp \mathrm{Im}(f) \]

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Soit \(u\in \mathrm{Ker}(f)\) et \(v\in \mathrm{Im}(f)\). Il existe donc \(x\in E\) tel que \(v=f(x)\), et on a \(f(u)=0\).

En utilisant l’hypothèse avec \((u,x)\), on obtient

\[ \langle f(u),x\rangle = -\langle u,f(x)\rangle \]

Or \(f(u)=0\), donc \(\langle f(u),x\rangle=0\) et il vient

\[ \langle u,f(x)\rangle = 0 \]

Comme \(v=f(x)\), on a \(\langle u,v\rangle=0\). Ainsi, tout vecteur de \(\mathrm{Ker}(f)\) est orthogonal à tout vecteur de \(\mathrm{Im}(f)\), donc

\[ \mathrm{Ker}(f)\perp \mathrm{Im}(f) \]

On munit \(E=\mathbb{R}_2[X]\) du produit scalaire \(\langle\cdot,\cdot\rangle\) défini par

\[ \forall (P,Q)\in E^2,\ \langle P,Q\rangle = \int_0^1 P(t)\,Q(t)\,\mathrm{d}t \]

  1. Déterminer un réel \(a\) tel que la famille \((1,\,X+a)\) soit orthogonale.
  2. Déterminer deux réels \(b\) et \(c\) tels que la famille \((1,\,X+a,\,X^2+bX+c)\) soit orthogonale.
  3. En déduire une base orthonormale de \(E\).

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  1. Soit \(a\in\mathbb{R}\). On a :

    \[ \begin{align*} 1 \perp X+a & \Leftrightarrow \langle 1, X+a\rangle=0 \\ & \Leftrightarrow \int_0^1 (t+a)\,\mathrm{d}t = 0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \frac{t^2}{2} + at \right]_0^1 = 0 \\ & \Leftrightarrow \frac{1}{2} + a = 0 \\ & \Leftrightarrow a = - \frac{1}{2} \end{align*} \]

    Ainsi la famille \( \left( 1,\,X- \frac{1}{2} \right) \) est orthogonale.

  2. On cherche \(b,c\in\mathbb{R}\) tels que la famille \(\left(1,\,X-\frac12,\,X^2+bX+c\right)\) soit orthogonale.

    Condition 1. On impose \(1 \perp X^2+bX+c\). On a :

    \[ \begin{align*} 1 \perp X^2+bX+c & \Leftrightarrow \langle 1, X^2+bX+c\rangle = 0 \\ & \Leftrightarrow \int_0^1 (t^2+bt+c)\,\mathrm{d}t = 0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \frac{t^3}{3}+\frac{b}{2}t^2+ct \right]_0^1 = 0 \\ & \Leftrightarrow \frac{1}{3}+\frac{b}{2}+c = 0 \\ & \Leftrightarrow c = -\frac{1}{3}-\frac{b}{2} \end{align*} \]

    Condition 2. On impose \(\left(X-\frac12\right) \perp (X^2+bX+c)\). On a :

    \[ \begin{align*} \left(X-\frac12\right) \perp (X^2+bX+c) & \Leftrightarrow \left\langle X-\frac12, X^2+bX+c \right\rangle = 0 \\ & \Leftrightarrow \int_0^1 \left(t-\frac12\right)\left(t^2+bt+c\right)\,\mathrm{d}t = 0 \\ & \Leftrightarrow \int_0^1 \left(t^3+\left(b-\frac12\right)t^2+\left(c-\frac{b}{2}\right)t-\frac{c}{2}\right)\mathrm{d}t = 0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \frac{t^4}{4}+\frac{b-\frac12}{3}t^3+\frac{c-\frac{b}{2}}{2}t^2-\frac{c}{2}t \right]_0^1 = 0 \\ & \Leftrightarrow \frac{1}{4}+\frac{b-\frac12}{3}+\frac{c-\frac{b}{2}}{2}-\frac{c}{2}=0 \\ & \Leftrightarrow \frac{1}{4}+\frac{b-\frac12}{3}-\frac{b}{4}=0 \\ & \Leftrightarrow \frac{1}{12}+\frac{b}{12}=0 \\ & \Leftrightarrow b=-1 \end{align*} \]

    On en déduit alors

    \[ c=-\frac13-\frac{(-1)}{2}=\frac16 \]

    Ainsi la famille \(\left(1,\,X-\frac12,\,X^2-X+\frac16\right)\) est orthogonale.

  3. On normalise la famille orthogonale \(\left(1,\,X-\frac12,\,X^2-X+\frac16\right)\).

    (i) Norme de \(1\).

    \[ \|1\|^2=\langle 1,1\rangle=\int_0^1 1\,\mathrm{d}t = 1 \]

    (ii) Norme de \(X-\frac12\).

    \[ \begin{align*} \left\|X-\frac12\right\|^2 &=\int_0^1 \left(t-\frac12\right)^2\,\mathrm{d}t \\ &=\int_0^1 \left(t^2-t+\frac14\right)\,\mathrm{d}t \\ &=\left[ \frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}+\frac{t}{4} \right]_0^1 \\ &=\frac13-\frac12+\frac14 \\ &=\frac{1}{12} \end{align*} \]

    (iii) Norme de \(X^2-X+\frac16\).

    \[ \begin{align*} \left\|X^2-X+\frac16\right\|^2 &=\int_0^1 \left(t^2-t+\frac16\right)^2\,\mathrm{d}t \\ &=\int_0^1 \left(t^4-2t^3+\frac{4}{3}t^2-\frac13 t+\frac{1}{36}\right)\,\mathrm{d}t \\ &=\left[ \frac{t^5}{5}-\frac{t^4}{2}+\frac{4}{9}t^3-\frac{t^2}{6}+\frac{t}{36} \right]_0^1 \\ &=\frac{1}{5}-\frac{1}{2}+\frac{4}{9}-\frac{1}{6}+\frac{1}{36} \\ &=\frac{1}{180} \end{align*} \]

    Une base orthonormale de \(E\) est donc

    \[ \left(1,\ \sqrt{12}\left(X-\frac12\right),\ \sqrt{180}\left(X^2-X+\frac16\right)\right) \]

On considère la matrice

\[ P=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} & 0\\ -\frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Montrer que la matrice \(P\) est orthogonale.

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On va montrer que

\[ {}^tP\,P=I_3 \]

Calculons \({}^tP\) :

\[ {}^tP=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & -\frac{1}{\sqrt2} & 0\\ \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Puis on effectue le produit \({}^tP\,P\) :

\[ {}^tP\,P =\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & -\frac{1}{\sqrt2} & 0\\ \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} & 0\\ -\frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

En calculant les coefficients :

\[ \begin{align*} ({}^tP\,P)_{11} &=\frac12+\frac12=1 &\quad ({}^tP\,P)_{12} &=\frac12-\frac12=0 &\quad ({}^tP\,P)_{13} &=0\\ ({}^tP\,P)_{21} &=\frac12-\frac12=0 &\quad ({}^tP\,P)_{22} &=\frac12+\frac12=1 &\quad ({}^tP\,P)_{23} &=0\\ ({}^tP\,P)_{31} &=0 &\quad ({}^tP\,P)_{32} &=0 &\quad ({}^tP\,P)_{33} &=1 \end{align*} \]

Donc

\[ {}^tP\,P=I_3 \]

et \(P\) est une matrice orthogonale.


Un exercice sur un thème classique pour t’entraîner

Place maintenant tout en contexte avec un exercice d’annales choisi pour sa difficulté raisonnable et sa forte valeur d’entraînement. C’est l’occasion de tester ta compréhension, de te confronter à une vraie question de concours, et de profiter de l’aide de l’IA si tu en as besoin.

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