Une semaine, un classique

La variable \(X\) prend ses valeurs dans \(\mathbb{N}\). Elle admet une espérance si et seulement si la série

\[ \sum_{n\in\mathbb{N}} n\,\mathbb{P}(X=n) \]

est absolument convergente.

Or on a

\[ \begin{align*} \forall n\in\mathbb{N},\ n\,\mathbb{P}(X=n) &=\frac{n}{2^{n+1}}\\ &=\frac14\,n\left(\frac12\right)^{n-1} \end{align*} \]

Or \(\frac12\in \left]-1,1 \right[\), donc la série \(\sum_{n\geqslant 1} n\left(\frac12\right)^{n-1}\) est absolument convergente. Ainsi, la série \(\sum_{n\in\mathbb{N}} n\,\mathbb{P}(X=n)\) est absolument convergente, donc \(X\) admet une espérance.

La fonction \(f\) est une fonction polynôme, donc elle est de classe \(\mathcal C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\). De plus, \(\mathbb{R}^2\) est un ouvert.

Ainsi, les points critiques de \(f\) sont exactement les points de \(\mathbb{R}^2\) en lesquels le gradient de \(f\) s’annule.

Or on a

\[ \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2,\ \begin{cases} \partial_1 f(x,y)=2x+y-2\\ \partial_2 f(x,y)=x+2y-4 \end{cases} \]

Donc, pour tout \((x,y)\in\mathbb{R}^2\),

\[ \begin{align*} \nabla f(x,y)=0 &\Longleftrightarrow \begin{cases} 2x+y-2=0\\ x+2y-4=0 \end{cases}\\ &\Longleftrightarrow \begin{cases} y=2-2x\\ x+2(2-2x)-4=0 \end{cases}\\ &\Longleftrightarrow -3x=0\\ &\Longleftrightarrow x=0\\ &\Longleftrightarrow y=2 \end{align*} \]

Ainsi, le seul point critique de \(f\) sur \(\mathbb{R}^2\) est le point \((0,2)\).

1. La fonction \(f\) est une fonction polynôme, donc elle est de classe \(\mathcal C^2\) sur \(\mathbb{R}^2\). De plus, \(\mathbb{R}^2\) est un ouvert.

   Les points critiques de \(f\) sont donc les points de \(\mathbb{R}^2\) en lesquels le gradient de \(f\) s’annule.

   Or on a

   \[ \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2,\ \begin{cases} \partial_1 f(x,y)=2x+2y\\ \partial_2 f(x,y)=2x+6y \end{cases} \]

   Donc, pour tout \((x,y)\in\mathbb{R}^2\),

   \[ \begin{align*} \nabla f(x,y)=0 &\Longleftrightarrow \begin{cases} 2x+2y=0\\ 2x+6y=0 \end{cases}\\ &\Longleftrightarrow \begin{cases} x+y=0\\ x+3y=0 \end{cases}\\ &\Longleftrightarrow 2y=0\\ &\Longleftrightarrow y=0\\ &\Longleftrightarrow x=0 \end{align*} \]

   Ainsi, le seul point critique de \(f\) sur \(\mathbb{R}^2\) est le point \((0,0)\), donc c'est le seul point en lequel \( f \) peut admettre un extremum.

2. De plus on a

   \[ \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2,\ \nabla^2 f(x,y)= \begin{pmatrix} 2 & 2\\ 2 & 6 \end{pmatrix} \]

   donc en particulier \[ \nabla^2 f(0,0)= \begin{pmatrix} 2 & 2\\ 2 & 6 \end{pmatrix} \]

   On cherche les valeurs propres de \(\nabla^2 f(0,0)\). Pour tout \(\lambda\in\mathbb{R}\), on a

   \[ \begin{align*} \det\big(\nabla^2 f(0,0)-\lambda I_2\big) &= \det \begin{pmatrix} 2-\lambda & 2\\ 2 & 6-\lambda \end{pmatrix}\\ &=(2-\lambda)(6-\lambda)-4\\ &=\lambda^2-8\lambda+8 \end{align*} \]

   Les valeurs propres de \(\nabla^2 f(0,0)\) sont donc les solutions de l’équation

   \[ \lambda^2-8\lambda+8=0 \]

   Il s’agit d’une équation du second degré dont les solutions \(r_1\) et \(r_2\) vérifient

   \[ r_1+r_2=8 \qquad\text{et}\qquad r_1r_2=8 \]

   Le produit \(r_1r_2\) est strictement positif, donc \(r_1\) et \(r_2\) sont de même signe et non nuls. Comme de plus \(r_1+r_2>0\), on en déduit que \(r_1\) et \(r_2\) sont tous deux strictement positifs.

   Ainsi, toutes les valeurs propres de \(\nabla^2 f(0,0)\) sont strictement positives. Par le critère du second ordre, la fonction \(f\) admet un minimum local en \((0,0)\). Comme ce point est l’unique point critique de \(f\), cet extremum local est unique.

3. La fonction \(f\) n’admet pas de maximum local donc pas de maximum global sur \(\mathbb{R}^2\).

   De plus, pour tout \((x,y)\in\mathbb{R}^2\), on a

   \[ \begin{align*} f(x,y)-f(0,0) &=x^2+2xy+3y^2\\ &=x^2+2xy+y^2+2y^2\\ &=(x+y)^2+2y^2\\ &\geqslant 0 \end{align*} \]

   On en déduit que

   \[ \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2,\quad f(x,y)\geqslant f(0,0)=0 \]

   Ainsi, \(f(0,0)=0\) est le minimum global de \(f\) sur \(\mathbb{R}^2\).