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Semaine 6

Une semaine, un classique

Algèbre : étude des racines carrées d’une matrice nilpotente, d’une matrice diagonalisable et d’une matrice symétrique positive

Thème : Algèbre

Année : ECG2

Option : Maths approfondies

Durée indicative : 120 minutes

Objectif : Maîtriser un grand classique d’algèbre linéaire et bilinéaire : l’étude des racines carrées d’une matrice.

Trois questions de cours pour te lancer

Teste ton cours en répondant aux questions suivantes, à l’oral ou en écrivant ta réponse sur une feuille. Ensuite, envoie une photo de ta réponse et demande à l’IA d’analyser ce qui est juste, ce qui manque et comment t’améliorer.

Polynômes de matrices et polynôme annulateur : définitions et propriétés.

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Définition. Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et \(P(X)=a_0+a_1X+\cdots+a_kX^k\in\mathbb{R}[X]\). On définit la matrice \(P(A)\) par :

\[ P(A)=a_0I_n+a_1A+\cdots+a_kA^k \]

On parle alors de polynôme de matrice ou de fonction polynomiale de \(A\).

Polynôme annulateur. On dit qu’un polynôme non nul \(P\in\mathbb{R}[X]\) est un polynôme annulateur de \(A\) si :

\[ P(A)=O_n \]

Propriétés fondamentales.

  • Si \(P\) et \(Q\) sont deux polynômes, alors \((P+Q)(A)=P(A)+Q(A)\) et \((PQ)(A)=P(A)Q(A)\).
  • Si \(P\) est un polynôme annulateur de \(A\) et si \(Q\) est un polynôme, alors \(PQ\) est encore un polynôme annulateur de \(A\).

Lien avec les valeurs propres. Si \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\) et si \(P\) est un polynôme annulateur de \(A\), alors :

\[ P(\lambda)=0 \]

Autrement dit, les valeurs propres de \(A\) sont nécessairement des racines de tout polynôme annulateur de \(A\).

Donner quatre conditions pour qu’un endomorphisme soit diagonalisable et préciser, pour chacune, s’il s’agit d’une condition nécessaire et suffisante ou seulement suffisante.

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Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et \(f\) un endomorphisme de \(E\).

  1. Conditions nécessaires et suffisantes.

    • Il existe une base de \(E\) formée de vecteurs propres de \(f\).
    • La somme des dimensions des sous-espaces propres de \(f\) est égale à \(n\).
    • La somme directe des sous-espaces propres de \(f\) est égale à \(E\).

  2. Conditions suffisantes.

    • \(f\) est diagonalisable s’il admet \(n\) valeurs propres deux à deux distinctes.
    • (Bonus) Si \(E\) est un espace euclidien, \(f\) est diagonalisable si \(f\) est un endomorphisme symétrique.

Soit \(A\) une matrice symétrique de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Quel lien y a-t-il entre le signe de l’application \(X \mapsto {}^t\!XAX\) sur \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) et les valeurs propres de \(A\) ?

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  • L’application \(X \mapsto {}^t\!XAX\) est positive sur \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) si et seulement si toutes les valeurs propres de \(A\) sont positives ou nulles.
  • L’application \(X \mapsto {}^t\!XAX\) est définie positive si et seulement si toutes les valeurs propres de \(A\) sont strictement positives.
  • L’application \(X \mapsto {}^t\!XAX\) est négative (resp. définie négative) si et seulement si toutes les valeurs propres de \(A\) sont négatives ou nulles (resp. strictement négatives).
Remarque Ce résultat est mentionné dans le programme (à propos de la condition suffisante d’ordre 2 d’extremum pour une fonction de plusieurs variables) mais n’est pas clairement exigible ; c’est pourquoi il faudra savoir le démontrer car la preuve est le plus souvent demandée.

Mini-exercices : vérifie que les bases sont maîtrisées

Quelques exercices rapides pour passer du cours à l’action. L’objectif : réfléchir, répondre à la question, puis laisser l’IA te dire où tu en es et comment progresser.

On considère la matrice

\[ A=\begin{pmatrix} 1&1&0\\ -1&-1&0\\ 1&1&0 \end{pmatrix} \]

  1. Calculer \(A^2\) puis \(A^3\).
  2. Montrer que \(P(X)=X^2\) est un polynôme annulateur de \(A\).
  3. En déduire l’ensemble des valeurs propres de \(A\).

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  1. On calcule :

    \[ A^2=\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix} \]

    Donc :

    \[ A^3=A\cdot A^2=O_3 \]

  2. On a \(P(A)=A^2\). Or \(A^2=O_3\), donc :

    \[ P(A)=O_3 \]

    Ainsi \(P(X)=X^2\) est un polynôme annulateur de \(A\).

  3. Les valeurs propres de \(A\) sont nécessairement des racines de tout polynôme annulateur de \(A\). Ici, \(P(X)=X^2\) a pour seule racine \(0\). Ainsi :

    \[ \mathrm{Sp}(A)\subset\{0\} \]

    De plus, la troisième colonne de \(A\) est nulle, donc \(A\) n’est pas inversible. Par conséquent \(0\) est valeur propre de \(A\).

    On en déduit :

    \[ \mathrm{Sp}(A)=\{0\} \]

On considère la matrice

\[ A=\begin{pmatrix} 2&1&0\\ 0&-1&0\\ 1&1&-1 \end{pmatrix} \]

  1. Calculer \(A^2\) puis en déduire un polynôme annulateur de \(A\).
  2. Déterminer les valeurs propres de \(A\) ainsi que la dimension de leurs sous-espaces propres associés.
  3. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable. Justifier.

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  1. On calcule :

    \[ A^2=\begin{pmatrix} 4&1&0\\ 0&1&0\\ 1&0&1 \end{pmatrix} \]

    On vérifie alors :

    \[ A^2-A-2I_3=O_3 \]

    Donc le polynôme \(P(X)=X^2-X-2\) est un polynôme annulateur de \(A\).

  2. Les valeurs propres de \(A\) sont nécessairement des racines de \(P\). Or :

    \[ P(X)=(X+1)(X-2) \]

    Donc :

    \[ \mathrm{Sp}(A)\subset\{-1,2\} \]

    Étude de \(\lambda=-1\). On considère \(A+I_3\) :

    \[ A+I_3=\begin{pmatrix} 3&1&0\\ 0&0&0\\ 1&1&0 \end{pmatrix} \]

    Les deux premières colonnes ne sont pas colinéaires et la troisième est nulle, donc \(\mathrm{rg}(A+I_3)=1\). Par le théorème du rang :

    \[ \dim(E_{-1}(A))=\dim(\ker(A+I_3))=3-1=2 \]

    Étude de \(\lambda=2\). On considère \(A-2I_3\) :

    \[ A-2I_3=\begin{pmatrix} 0&1&0\\ 0&-3&0\\ 1&1&-3 \end{pmatrix} \]

    Les deux premières colonnes sont proportionnelles, mais la troisième ne l’est pas, donc \(\mathrm{rg}(A-2I_3)=2\). Par le théorème du rang :

    \[ \dim(E_{2}(A))=\dim(\ker(A-2I_3))=3-2=1 \]

    Ainsi les valeurs propres de \(A\) sont \(-1\) et \(2\), et leurs sous-espaces propres associés sont de dimensions respectives \(2\) et \(1\).

  3. La somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à \(3\) et \(A\) est une matrice carrée d’ordre \(3\).

    Donc \(A\) est diagonalisable.

Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(f,g\) deux endomorphismes de \(E\). Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(f\circ g\).

  1. On suppose que \(\lambda\neq 0\). Montrer que \(\lambda\) est valeur propre de \(g\circ f\).
  2. Le résultat précédent est-il encore vrai si \(\lambda=0\) ?

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  1. On suppose que \(\lambda\neq 0\) est une valeur propre de \(f\circ g\). Il existe donc un vecteur non nul \(x\in E\) tel que :

    \[ f(g(x))=\lambda x \]

    On en déduit, comme \(g\) est linéaire :

    \[ (g\circ f)(g(x))=g(f(g(x)))=\lambda g(x) \]

    On pose \(y=g(x)\). Montrons que \(y\neq 0\). Si \(y=0\), alors \(g(x)=0\) donc \(f(g(x))=0\), ce qui donne \(\lambda x=0\). Comme \(\lambda\neq 0\), donc il y a contradiction.

    Ainsi \(y\neq 0\) et on a :

    \[ (g\circ f)(y)=\lambda y \]

    On en déduit que \(\lambda\) est valeur propre de \(g\circ f\).

  2. Oui, le résultat est encore vrai si \(\lambda=0\).

    Supposons que \(0\) soit valeur propre de \(f\circ g\). Il existe donc un vecteur non nul \(x\in E\) tel que :

    \[ f(g(x))=0 \]

    Comme \(g\) est linéaire, on obtient :

    \[ (g\circ f)(g(x))=g(f(g(x)))=0 \]

    Deux cas se présentent.

    • Si \(g(x)\neq 0\), alors \(g(x)\) est un vecteur propre associé à la valeur propre \(0\) de \(g\circ f\). Donc \(0\in \mathrm{Sp}(g\circ f)\).

    • Si \(g(x)=0\), alors comme \(x\neq 0\), l’endomorphisme \(g\) n’est pas injectif, donc il n’est pas bijectif puisque \(E\) est de dimension finie.

      Or \(g\circ f\) est bijectif si et seulement si \(g\) et \(f\) sont bijectifs. Comme \(g\) n’est pas bijectif, \(g\circ f\) n’est pas bijectif, donc il n’est pas injectif.

      Il existe donc un vecteur non nul \(y\in E\) tel que :

      \[ (g\circ f)(y)=0 \]

      Donc \(0\in \mathrm{Sp}(g\circ f)\).

    Dans tous les cas, \(0\) est valeur propre de \(g\circ f\).


Un exercice sur un thème classique pour t’entraîner

Place maintenant tout en contexte avec un exercice d’annales choisi pour sa difficulté raisonnable et sa forte valeur d’entraînement. C’est l’occasion de tester ta compréhension, de te confronter à une vraie question de concours, et de profiter de l’aide de l’IA si tu en as besoin.

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