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Semaine 5

Une semaine, un classique

Algèbre : diagonalisation et puissances de matrices au service des suites récurrentes

Thème : Algèbre

Année : ECG2

Option : Maths appliquées, Maths approfondies

Durée indicative : 90 minutes

Objectif : Maîtriser trois notions fondamentales en algèbre : savoir montrer qu’un ensemble est un sous-espace vectoriel, savoir déterminer les valeurs propres d’une matrice, et savoir justifier qu’une matrice est diagonalisable.

Trois questions de cours pour te lancer

Teste ton cours en répondant aux questions suivantes, à l’oral ou en écrivant ta réponse sur une feuille. Ensuite, envoie une photo de ta réponse et demande à l’IA d’analyser ce qui est juste, ce qui manque et comment t’améliorer.

Donner la définition d’un sous-espace vectoriel.

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Définition. Soit \(E\) un espace vectoriel. On dit que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) si et seulement si :

  • \(F\) est inclus dans \(E\)
  • \(F\) est non vide
  • \(F\) est stable par addition, c’est-à-dire : \[ \forall (u,v)\in F^2,\; u+v \in F \]
  • \(F\) est stable par multiplication par un réel, c’est-à-dire : \[ \forall (\lambda,u)\in \mathbb{R}\times F,\; \lambda u \in F \]

On peut aussi regrouper les deux dernières propriétés en une seule :

\[ \forall (\lambda,\mu)\in \mathbb{R}^2,\; \forall (u,v)\in F^2,\; \lambda u + \mu v \in F \]

Dans ce cas, \(F\) est lui-même un espace vectoriel pour les lois induites par celles de \(E\).

Valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice : définition et propriétés.

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Définition. Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

On appelle valeur propre de \(A\) tout réel \(\lambda\) tel qu’il existe un vecteur non nul \(X\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) vérifiant :

\[ AX=\lambda X \]

Un tel vecteur \(X\) est appelé vecteur propre associé à la valeur propre \(\lambda\).

L’ensemble des vecteurs propres associés à \(\lambda\), auquel on ajoute le vecteur nul, est appelé sous-espace propre de \(A\) associé à \(\lambda\) et se note :

\[ E_\lambda(A)=\ker(A-\lambda I_n) \]

Propriétés.

  • \(\lambda\) est valeur propre de \(A\) si et seulement si \(A-\lambda I_n\) n’est pas inversible.
  • Pour toute valeur propre \(\lambda\), \(E_\lambda(A)\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\).
  • Deux vecteurs propres associés à deux valeurs propres distinctes sont linéairement indépendants.
  • Plus généralement, la concaténation de familles libres de sous-espaces propres distincts est une famille libre.

Conditions pour qu’une matrice soit diagonalisable.

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Définition. Une matrice carrée \(A\) d’ordre \(n\) est dite diagonalisable s’il existe une matrice diagonale \(D\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et une matrice inversible \(P\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telles que :

\[ D=P^{-1}AP \]

Les colonnes de \(P\) forment alors une base de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) constituée de vecteurs propres de \(A\).

En pratique (dans l’esprit du programme). Pour montrer qu’une matrice est diagonalisable, on procède ainsi :

  • on détermine les valeurs propres de \(A\) et leurs sous-espaces propres ;
  • on prend la concaténation de bases de ces sous-espaces propres ;
  • on justifie que cette famille est une base de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) ;
  • on considère alors l’endomorphisme \(f : X \mapsto AX\) et on montre que sa matrice dans cette base est diagonale.

On en déduit que \(A\) est semblable à une matrice diagonale, donc que \(A\) est diagonalisable.

Remarques (résultats souvent utilisés, mais a priori hors programme).

  • Si \(A\) admet \(n\) valeurs propres deux à deux distinctes, alors \(A\) est diagonalisable.
  • Si la somme des dimensions des sous-espaces propres de \(A\) est égale à \(n\), alors \(A\) est diagonalisable.
  • S’il existe une base de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) formée de vecteurs propres de \(A\), alors \(A\) est diagonalisable.

Attention : certaines écoles n’acceptent pas ces résultats comme des critères directs et exigent un raisonnement fondé sur la construction explicite d’une base et sur l’étude de la matrice de l’endomorphisme dans cette base.


Mini-exercices : vérifie que les bases sont maîtrisées

Quelques exercices rapides pour passer du cours à l’action. L’objectif : réfléchir, répondre à la question, puis laisser l’IA te dire où tu en es et comment progresser.

Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) fixé. On définit

\[ E=\{M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\mid AM+2MA=0\} \]

  1. Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
  2. Montrer que si \(A=\lambda I_n\) avec \(\lambda\neq 0\), alors \(E=\{0\}\).

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  1. 1. Par définition, \(E\subset\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

    • Non-vide. On note \(O_n\) la matrice nulle de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). On a :

      \[ AO_n+2O_nA=O_n \]

      Donc \(O_n\in E\), et \(E\) est non vide.

    • Stabilité par combinaison linéaire. Soient \(\lambda\in\mathbb{R}\) et \(M,N\in E\). Alors :

      \[ \begin{align*} A(\lambda M+N)+2(\lambda M+N)A &=\lambda(AM+2MA)+(AN+2NA)\\ &=\lambda O_n + O_n\\ &=O_n \end{align*} \]

      Donc \(\lambda M+N\in E\).

    On en déduit que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

  2. 2. Supposons \(A=\lambda I_n\) avec \(\lambda\neq 0\). Pour tout \(M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on a :

    \[ \begin{align*} AM+2MA &=\lambda M+2M\lambda\\ &=3\lambda M \end{align*} \]

    La condition \(AM+2MA=O_n\) équivaut donc à \(3\lambda M=O_n\), donc \(M=O_n\).

    Ainsi \(E=\{O_n\}\).

On considère la matrice

\[ A=\begin{pmatrix} 0&1\\ -2&-3 \end{pmatrix} \]

  1. Déterminer les valeurs propres de \(A\).
  2. Déterminer les sous-espaces propres de \(A\).
  3. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable. Justifier.

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  1. On cherche les \(\lambda\in\mathbb{R}\) tels que \(A-\lambda I_2\) ne soit pas inversible.

    \[ A-\lambda I_2=\begin{pmatrix} -\lambda&1\\ -2&-3-\lambda \end{pmatrix} \]

    \[ \begin{align*} \det(A-\lambda I_2) &=(-\lambda)(-3-\lambda)-1\cdot(-2)\\ &=\lambda(3+\lambda)+2\\ &=\lambda^2+3\lambda+2\\ &=(\lambda+1)(\lambda+2) \end{align*} \]

    On en déduit que \(A-\lambda I_2\) n’est pas inversible si et seulement si \(\lambda\in\{-1,-2\}\), donc que

    \[ \mathrm{Sp}(A)=\{-1,-2\} \]

  2. Cas \(\lambda=-1\). On résout maintenant l’équation \((A+I_2)X=0\), d’inconnue \(X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R})\). On a :

    \[ \begin{align*} (A+I_2)X=0 &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1&1\\ -2&-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} =0\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} x+y=0\\ -2x-2y=0 \end{cases}\\ &\Leftrightarrow y=-x\\ &\Leftrightarrow X=\begin{pmatrix} x\\-x \end{pmatrix} =x\begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix} \end{align*} \]

    Donc le sous-espace propre de \(A\) associé à \(-1\) est :

    \[ E_{-1}(A)=\mathrm{Vect}\!\left(\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\right) \]

    Cas \(\lambda=-2\). On résout enfin \((A+2I_2)X=0\).

    \[ \begin{align*} (A+2I_2)X=0 &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 2&1\\ -2&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} =0\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} 2x+y=0\\ -2x-y=0 \end{cases}\\ &\Leftrightarrow y=-2x\\ &\Leftrightarrow X=\begin{pmatrix} x\\-2x \end{pmatrix} =x\begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix} \end{align*} \]

    Donc :

    \[ E_{-2}(A)=\mathrm{Vect}\!\left(\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}\right) \]

  3. \(A\) est une matrice carrée d’ordre \(2\) possédant deux valeurs propres distinctes, donc elle est diagonalisable.

    Remarque importante (Maths appliquées) La propriété utilisée ici n’est a priori pas au programme en maths appliquées et pas toujours acceptée aux concours… Pour être rigoureusement conforme au programme, il faudrait procéder ainsi :

    Posons :

    \[ X_1=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad X_2=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix} \]

    La famille \((X_1,X_2)\) est libre (car formée de deux vecteurs propres de \(A\) associés à deux valeurs propres distinctes). De plus, elle est formée de deux vecteurs de \(\mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R})\), qui est de dimension \(2\), donc \(\mathcal{B}=(X_1,X_2)\) est une base de \(\mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R})\).

    Par ailleurs on a :

    \[ AX_1=-X_1 \quad \text{et} \quad AX_2=-2X_2 \]

    donc la matrice de l’endomorphisme \(f:X\mapsto AX\) de \(\mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R})\) dans la base \(\mathcal{B}\) est :

    \[ D=\begin{pmatrix} -1&0\\ 0&-2 \end{pmatrix} \]

    Ainsi la matrice \(A\) (qui est la matrice de \(f\) dans la base canonique) est semblable à la matrice \(D\), donc elle est diagonalisable.

On considère la matrice

\[ A=\begin{pmatrix} 0&2&0\\ -1&1&1\\ 1&1&-1 \end{pmatrix} \]

  1. Calculer \(A^2\) puis \(A^3\).
  2. En déduire les valeurs propres éventuelles de \(A\).
  3. La matrice est-elle diagonalisable. Justifier.

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  1. On calcule :

    \[ A^2=\begin{pmatrix} -2&2&2\\ 0&0&0\\ -2&2&2 \end{pmatrix} \]

    On en déduit :

    \[ A^3=A\cdot A^2=\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix} \]

    On a donc \(A^3=O_3\) et \(A^2\neq O_3\), donc \(A\) est nilpotente d’ordre \(3\).

  2. Comme \(A^3=O_3\), le polynôme \(P(X)=X^3\) est un polynôme annulateur de \(A\). Les racines de \(P\) sont donc les seules valeurs propres possibles de \(A\). Ainsi :

    \[ \mathrm{Sp}(A)\subset\{0\} \]

    De plus, la première et la dernière colonnes de \(A\) sont proportionnelles, donc \(A\) n’est pas inversible. Par conséquent, \(0\) est valeur propre de \(A\).

    On en déduit :

    \[ \mathrm{Sp}(A)=\{0\} \]

  3. Supposons que \(A\) soit diagonalisable. Comme sa seule valeur propre est \(0\), elle serait semblable à une matrice diagonale dont tous les coefficients diagonaux sont nuls, ce qui signifie qu’il existe une matrice \(P\) inversible telle que :

    \[ A=PO_3P^{-1} \]

    On aurait alors \(A=O_3\), ce qui est faux puisque \(A\neq O_3\).

    On obtient une contradiction. Donc \(A\) n’est pas diagonalisable.


Un exercice sur un thème classique pour t’entraîner

Place maintenant tout en contexte avec un exercice d’annales choisi pour sa difficulté raisonnable et sa forte valeur d’entraînement. C’est l’occasion de tester ta compréhension, de te confronter à une vraie question de concours, et de profiter de l’aide de l’IA si tu en as besoin.

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