Une semaine, un classique

1) Calcul de \(P_2\) et \(P_3\)

Pour \(n=0\) :

\(P_2(X)=(X+1)P_1(X)-X P_0(X)=(X+1)X-X=X^2\).

Pour \(n=1\) :

\(P_3(X)=(X+1)P_2(X)-X P_1(X)=(X+1)X^2-X\,X=X^3\).

2) Degré et coefficient dominant de \(P_{n+2}\)

On va établir une expression explicite par récurrence : \(\forall n\in\mathbb{N},\; P_n(X)=X^n\).

Initialisation. \(P_0(X)=1=X^0\) et \(P_1(X)=X=X^1\).

Hérédité. On suppose \(P_n(X)=X^n\) et \(P_{n+1}(X)=X^{n+1}\). Alors

\(P_{n+2}(X)=(X+1)X^{n+1}-X\,X^n=X^{n+2}+X^{n+1}-X^{n+1}=X^{n+2}\).

La propriété est donc vraie pour tout \(n\).

En particulier, \(P_{n+2}(X)=X^{n+2}\) : on lit alors \(\deg(P_{n+2})=n+2\) et le coefficient dominant de \(P_{n+2}\) vaut \(1\).

1) Vérification des axiomes

Bilinéarité. Pour \(\lambda\in\mathbb{R}\) et \(P,Q,R\in E\),

\(\langle \lambda P+Q, R\rangle = \sum_{k=0}^2 (\lambda P(k)+Q(k))R(k) = \lambda\sum_{k=0}^2 P(k)R(k)+\sum_{k=0}^2 Q(k)R(k) = \lambda\langle P,R\rangle+\langle Q,R\rangle\).

On procède de même dans la seconde variable.

Symétrie. \(\langle P,Q\rangle=\sum_{k=0}^2 P(k)Q(k)=\sum_{k=0}^2 Q(k)P(k)=\langle Q,P\rangle\).

Positivité définie. \(\langle P,P\rangle=\sum_{k=0}^2 P(k)^2\geqslant 0\). Si \(\langle P,P\rangle=0\), alors chaque terme de la somme est nul, donc \(P(0)=P(1)=P(2)=0\). Comme \(\deg(P)\leqslant 2\), le polynôme \(P\) ayant trois racines distinctes est forcément nul.

Donc \(\langle\cdot,\cdot\rangle\) est un produit scalaire sur \(E\).

2) Normes

\(\|X\|^2=\langle X,X\rangle=0^2+1^2+2^2=5\), donc \(\|X\|=\sqrt{5}\).

\(\|1+X\|^2=1^2+2^2+3^2=14\), donc \(\|1+X\|=\sqrt{14}\).

3) Orthogonalité

\(\langle 1, X-1\rangle = 1\cdot(-1)+1\cdot 0+1\cdot 1=0\). Ainsi, \(1\) et \(X-1\) sont orthogonaux.

1) Symétrie de \(f\) et \(g\)

• Pour \(f\). La base canonique \(B\) est orthonormée et la matrice de \(f\) dans \(B\) est \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\). Or \({}^tA=A\), ce qui signifie que \(A\) est symétrique ; donc \(f\) est un endomorphisme symétrique.
• Pour \(g\). La base \(C\) n’est pas orthonormée, on ne peut donc pas conclure à partir du seul fait que la matrice \(A\) est symétrique. On utilise la définition : \(g\) est symétrique si, et seulement si, \(\langle g(x),y\rangle=\langle x,g(y)\rangle\) pour tous \(x,y\in E\).

  On note \(c_1=(1,1)\) et \(c_2=(1,0)\) (vecteurs de la base \(C\)). Comme la matrice de \(g\) dans \(C\) est \(A\), on a :

  \[g(c_1)=2c_1+c_2,\qquad g(c_2)=c_1+2c_2.\]

  Donc \(g(c_1)=2(1,1)+(1,0)=(3,2)\) et \(g(c_2)=(1,1)+2(1,0)=(3,1)\).

  Alors

  \[\langle g(c_1),c_2\rangle=(3,2)\cdot(1,0)=3\qquad\text{et}\qquad \langle c_1,g(c_2)\rangle=(1,1)\cdot(3,1)=4.\]

  Ces deux quantités étant différentes, \(g\) n’est pas symétrique.

2) Base orthonormale de vecteurs propres de \(f\)

Un réel \(\lambda\) est valeur propre de \(f\) si, et seulement si, \(\det(A-\lambda I_2)=0\).

On calcule :

\[\det(A-\lambda I_2)=\det\begin{pmatrix}2-\lambda&1\\1&2-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)^2-1.\]

Donc \((2-\lambda)^2-1=0\), soit \(2-\lambda=\pm 1\), d’où \(\lambda=3\) ou \(\lambda=1\).

On vérifie que \(u=(1,1)\) est un vecteur propre associé à la valeur propre \(3\), et que \(v=(1,-1)\) est un vecteur propre associé à la valeur propre \(1\).

Les valeurs propres étant distinctes, les vecteurs propres \(u\) et \(v\) sont orthogonaux.

On normalise : \(\|u\|=\sqrt2\) et \(\|v\|=\sqrt2\). Ainsi

\[e_1=\frac1{\sqrt2}(1,1),\qquad e_2=\frac1{\sqrt2}(1,-1)\]forment une base orthonormale de \(E\) constituée de vecteurs propres de \(f\).