Une semaine, un classique
Algèbre : polynômes d'endomorphismes, valeurs propres, diagonalisation
Trois questions de cours pour te lancer
Teste ton cours en répondant aux questions suivantes, à l’oral ou en écrivant ta réponse sur une feuille. Ensuite, envoie une photo de ta réponse et demande à l’IA d’analyser ce qui est juste, ce qui manque et comment t’améliorer.
Énoncer le théorème du rang.
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Si \(E\) est un espace vectoriel de dimension finie, si \(F\) est un espace vectoriel (quelconque) et si \(f\) est une application linéaire de \(E\) dans \(F\), alors \(\ker(f)\) et \(\mathrm{Im}(f)\) sont de dimension finie et \(\dim(E)=\dim(\ker f)+\dim(\mathrm{Im} f)\).
Polynômes d'endomorphismes, définition et propriétés.
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Définition. Si \(f\) est un endomorphisme d'un espace vectoriel \(E\) et si \(P(X)=\sum a_k X^k\), on note \(P(f)\) l'endomorphisme de \(E\) défini par \(P(f)=\sum a_k f^k\).
Propriétés.
1. Si \(P\) et \(Q\) sont deux polynômes, alors \[ (PQ)(f)=P(f)\circ Q(f)=Q(f)\circ P(f) \]
2. Si \(P\) est un polynôme annulateur de \(f\), c'est-à-dire si \(P(f)=0\), alors le spectre de \(f\) est inclus dans l'ensemble des racines de \(P\).
Donner la définition d'un endomorphisme diagonalisable et quatre conditions pour qu'un endomorphisme soit diagonalisable (en disant s'il s'agit d'une condition nécessaire et suffisante, ou juste suffisante).
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Définition. Si \(f\) est un endomorphisme d'un espace vectoriel \(E\) de dimension finie, on dit que \(f\) est diagonalisable s'il existe une base de \(E\) dans laquelle la matrice associée à \(f\) est diagonale.
Conditions de diagonalisabilité.
(CNS) \(f\) est diagonalisable ssi la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale à la dimension de \(E\).
(CNS) \(f\) est diagonalisable ssi la somme directe de ses sous-espaces propres est égale à \(E\).
(CS) Si \(f\) admet autant de valeurs propres distinctes que la dimension de \(E\), alors \(f\) est diagonalisable.
(CNS) Il existe une base de \(E\) formée de vecteurs propres de \(f\).
Mini-exercices : vérifie que les bases sont maîtrisées
Quelques exercices rapides pour passer du cours à l’action. L’objectif : réfléchir, répondre à la question, puis laisser l’IA te dire où tu en es et comment progresser.
1) Déterminer une base de \( \ker(f) \) pour l'application linéaire \( f : \mathbb{R}_3[X] \to \mathbb{R}^2 \) définie par \( f(P) = (P(0), P'(0)) \), où \( \mathbb{R}_3[X] \) désigne l'espace des polynômes réels de degré au plus 3.
2) En déduire la dimension de \( \mathrm{Im}(f) \).
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1/ Soit \(P\) un élément de \( \mathbb{R}_3[X] \). En posant \[P(X)=aX^3+bX^2+cX+d\] on a \[P(0)=d, \ \ P’(X)=3aX^2+2bX+c, \ \ P’(0)=c\]
On a alors \(f(P)=0 \Leftrightarrow d=c=0\), d'où \(f(P)=0 \Leftrightarrow P(X)=aX^3+bX^2\).
Ainsi \(\ker(f)=\mathrm{Vect}(X^3,X^2)\), qui est de dimension 2 car la famille \((X^2,X^3)\) est libre.
2) L’espace vectoriel \(\mathbb{R}_3[X]\) est de dimension finie égale à 4 donc, d’après le théorème du rang, on a \[ \dim(\mathbb{R}_3[X])=\dim(\ker f)+\dim(\mathrm{Im} f)\] Comme \(\dim(\ker f)=2\), on en déduit \[ \dim(\mathrm{Im} f)=4-2=2\]
On considère la matrice
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
1) Déterminer un polynôme annulateur de \( A \).
2) En déduire les valeurs propres possibles de \( A \), puis utiliser le rang pour montrer que ce sont bien des valeurs propres.
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1) Polynôme annulateur
On commence par calculer \( A^2 \) et on trouve \[ A^2 = 0 \] donc \( X^2 \) est un polynôme annulateur de \( A \).
2) Valeurs propres
0 est la seule racine de \( X^2 \), qui est un polynôme annulateur de \( A \), donc 0 est la seule valeur propre possible de \( A \). De plus, \( A \) possède une colonne nulle donc elle n'est pas inversible, ce qui prouve que 0 est valeur propre de \( A \) et donc que \[ \mathrm{Sp}(A) = \{0\} \]
Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) admettant \(X^2 - 3X + 2\) comme polynôme annulateur, et n'admettant aucun polynôme annulateur de degré 1. Déterminer les valeurs propres de \(f\).
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Les racines de \(X^2 - 3X + 2\) étant \(1\) et \(2\) (racines évidentes, sinon calculer le discriminant), on a : \[ \mathrm{Sp}(f) \subset \{1,2\} \] puisque le spectre de \(f\) est inclus dans l’ensemble des racines d’un polynôme annulateur.
Supposons alors que \(1\) ne soit pas valeur propre de \(f\). On factorise : \[ X^2 - 3X + 2 = (X-1)(X-2) \] et on a alors \[ (f - \mathrm{id}) \circ (f - 2\,\mathrm{id}) = 0 \]
Or \(1\) n’est pas valeur propre de \(f\), donc \(f - \mathrm{id}\) est injectif, puis bijectif. En composant par \((f - \mathrm{id})^{-1}\), on en déduit \[ f - 2\,\mathrm{id} = 0 \] ce qui est absurde puisque \(f\) n’admet pas de polynôme annulateur de degré 1.
On prouve de même que \(2\) est valeur propre, ce qui permet de conclure : \[ \mathrm{Sp}(f) = \{1,2\} \]
Un exercice sur un thème classique pour t’entraîner
Place maintenant tout en contexte avec un exercice d’annales choisi pour sa difficulté raisonnable et sa forte valeur d’entraînement. C’est l’occasion de tester ta compréhension, de te confronter à une vraie question de concours, et de profiter de l’aide de l’IA si tu en as besoin.
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