Une semaine, un classique

On écrit \[(2n)! = (n+1)(n+2)\cdots(2n)\, n!\] Ainsi

\[ a_n = \frac{n!}{(2n)!} = \frac{1}{(n+1)(n+2)\cdots(2n)}. \]

Pour tout \(k = 1,\dots,n\), on a \(n+k \geqslant n\), donc \[(n+1)(n+2)\cdots(2n) \geqslant n^n\] d’où, pour \(n \geqslant 2\) \[a_n \leqslant \dfrac{1}{n^n} \leqslant \dfrac{1}{n^2}\]

Comme la série de référence \(\sum \dfrac{1}{n^2}\) converge (série de Riemann de paramètre \(p = 2\)), la série \(\sum a_n\) converge par critère de comparaison par majoration.

La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme quotient, dont le dénominateur ne s'annule pas, de fonctions qui le sont et on a : \[ \forall x \in \mathbb{R},\ f^{\prime}(x) =\frac{ \mathrm{e}^x \left( \mathrm{e}^x+1\right) -\left( \mathrm{e}^x-1\right) \mathrm{e}^x}{\left( \mathrm{e}^x+1\right)^2}= \frac{2 \, \mathrm{e}^x}{\left( \mathrm{e}^x+1\right)^2} \] donc, comme la fonction exponentielle est strictement positive sur \(\mathbb{R}\) : \[ \forall x \in \mathbb{R},\ f^{\prime}(x) >0 \] Ainsi, \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). De plus \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) donc, d'après le théorème de la bijection, \(f\) est bijective de \(\mathbb{R}\) sur \(f(\mathbb{R})\) et \(f(\mathbb{R}) = \left] \displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x), \displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) \right[\). Par ailleurs on a, sans indétermination : \[ \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\frac{0-1}{0+1}=-1 \] Enfin on a : \[ \forall x \in \mathbb{R},\ f(x) =\frac{\mathrm{e}^x-1}{\mathrm{e}^x+1} =\frac{\mathrm{e}^x \left( 1- \mathrm{e}^{-x} \right)}{\mathrm{e}^x \left( 1+ \mathrm{e}^{-x} \right)} = \frac{ 1- \mathrm{e}^{-x} }{ 1+ \mathrm{e}^{-x} } \] d'où, sans indétermination : \[ \lim _{x \rightarrow +\infty} f(x)= 1 \] ce qui nous permet de conclure que \(f\) est bijective de \(\mathbb{R}\) sur \(]-1,1[\).

Notons tout d'abord que \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}\) comme fonction rationnelle bien définie, donc elle admet effectivement des primitives. De plus on a : \[ \forall x \in \mathbb{R},\ g(x) =\frac{x+1}{x^2+1} =\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1} \] soit encore, en notant \(u(x)=x^2+1\) : \[ \forall x \in \mathbb{R},\ g(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}+\frac{1}{x^2+1} \] Or \(\ln \lvert u \rvert\) est une primitive de \(\frac{u'}{u}\) et \(\arctan\) est une primitive de \(x\mapsto \frac{1}{x^2+1}\) donc une primitive de \(g\) sur \(\mathbb{R}\) est, par exemple : \[ G : x \mapsto \frac{1}{2} \ln \left(x^2+1\right)+\arctan (x) \]