Test page semaine 2
Objectifs : maîtriser quelques notions fondamentales en analyse et mettre en application sur un exercice classique.
Trois questions de cours pour te lancer
Teste ton cours en répondant aux trois questions suivantes, à l’écrit ou à l’oral. Ensuite, demande à l’IA d’analyser ta réponse pour voir ce qui est juste, ce qui manque et comment t’améliorer.
Critère de comparaison (majoration)
Énoncer le critère de comparaison des séries par majoration.
Théorème de la bijection
Énoncer le théorème de la bijection sur un intervalle.
Primitive de \(u'/u\)
Donner une primitive de \( \dfrac{u'(x)}{u(x)} \) lorsque \(u\) est dérivable et ne s’annule pas sur un intervalle.
Voir une réponse attendue
Si \(u\) est dérivable et ne s'annule pas sur un intervalle \(I\), alors une primitive de \( \dfrac{u'(x)}{u(x)} \) sur \(I\) est la fonction \(x \mapsto \ln |u(x)|\).
Mini-exercices : vérifie que les bases sont maîtrisées
Trois exercices rapides pour passer du cours à l’action : majoration de séries, bijection et primitives. L’objectif : réfléchir, tenter une solution, puis laisser l’IA te dire où tu en es et comment progresser.
Exercice court n°1 — Séries et majoration
On considère la suite \((a_n)_{n \ge 2}\) définie par \[ a_n = \frac{n!}{(2n)!}. \] Montrer que, pour tout entier \(n \ge 2\), on a \[ a_n \le \frac{1}{n^2}, \] puis conclure sur la nature de la série \(\displaystyle \sum_{n \ge 2} a_n\).
Glisse-dépose ta photo ici
ou clique pour choisir un fichier
Voir un corrigé possible
On écrit \[ (2n)! = (n+1)(n+2)\cdots(2n)\,n!. \] Ainsi, \[ a_n = \frac{n!}{(2n)!} = \frac{1}{(n+1)(n+2)\cdots(2n)}. \]
Pour tout \(k = 1,\dots,n\), on a \(n+k \ge n\), donc \[ (n+1)(n+2)\cdots(2n) \ge n^n. \] On en déduit \[ a_n \le \frac{1}{n^n} \le \frac{1}{n^2} \quad \text{pour tout } n \ge 2. \]
La série de référence \(\displaystyle \sum_{n \ge 2} \frac{1}{n^2}\) converge (série de Riemann de paramètre \(p = 2\)). Comme on a \(0 \le a_n \le \dfrac{1}{n^2}\) à partir d’un certain rang, la série \(\displaystyle \sum_{n \ge 2} a_n\) converge par critère de comparaison par majoration.
Exercice court n°2 — Théorème de la bijection en action
On considère la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \[ f(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}. \]
1. Montrer que \(f\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
2. En déduire que \(f\) est bijective de \(\mathbb{R}\) sur son image, puis déterminer
l’intervalle \(f(\mathbb{R})\).
Voir un corrigé possible
La fonction \(f\) est quotient de fonctions \(C^\infty\) et le dénominateur \(e^x + 1\) est strictement positif pour tout \(x \in \mathbb{R}\), donc \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
On calcule la dérivée : \[ f'(x) = \frac{(e^x + 1)e^x - (e^x - 1)e^x}{(e^x + 1)^2} = \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2}. \] Pour tout réel \(x\), on a \(e^x > 0\) et \(e^x + 1 > 0\), donc \[ f'(x) > 0. \] Ainsi, \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Par le théorème de la bijection, \(f\) est bijective de \(\mathbb{R}\) sur son image \(f(\mathbb{R})\), qui est un intervalle.
On étudie maintenant les limites aux bornes : \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1, \qquad \lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{+\infty - 1}{+\infty + 1} = 1. \] Comme \(f\) est continue et strictement croissante, on en déduit que \[ f(\mathbb{R}) = ]-1,\,1[. \]
Exercice court n°3 — Primitive de \((x+1)/(x^2+1)\)
Déterminer une primitive sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \[ g(x) = \frac{x+1}{x^2 + 1}. \]
Voir un corrigé possible
On commence par décomposer : \[ g(x) = \frac{x+1}{x^2+1} = \frac{x}{x^2+1} + \frac{1}{x^2+1}. \]
Pour le premier terme, on pose \(u(x) = x^2 + 1\). Alors \(u'(x) = 2x\) et \[ \frac{x}{x^2+1} = \frac{1}{2} \, \frac{u'(x)}{u(x)}, \] ce qui montre qu’une primitive de \(\dfrac{x}{x^2+1}\) est \(\dfrac{1}{2} \ln(x^2+1)\).
Pour le second terme, on reconnaît la primitive classique \[ \int \frac{1}{x^2+1}\,dx = \arctan(x) + C. \]
Une primitive de \(g\) sur \(\mathbb{R}\) est donc \[ G(x) = \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + \arctan(x). \]