Si l’on étudie la liberté d’une famille de deux vecteurs \((u,v)\), il suffit d’examiner leur colinéarité.

• Si \(u = 0\), alors la famille est liée.
• Si \(u \neq 0\) et s’il existe \(\lambda \in \mathbb{R}\) tel que \(v = \lambda u\), alors la famille est liée.
• Sinon, la famille est libre.

Autrement dit, deux vecteurs sont libres si et seulement s’ils ne sont pas colinéaires.

Propriété fondamentale :

Soit \((u,v)\) une famille de deux vecteurs d’un espace vectoriel \(E\).

La famille \((u,v)\) est libre si et seulement si \(u\) et \(v\) ne sont pas colinéaires.

Attention :

• Ce résultat est spécifique aux familles de deux vecteurs.
• Il n’est plus valable pour une famille de trois vecteurs ou plus.
• Une famille peut être liée sans que deux de ses vecteurs soient colinéaires.

Si une famille de vecteurs de \( E\) contient plus de vecteurs que la dimension de \( E\), elle est nécessairement liée.

Compter les vecteurs peut donc éviter de perdre un temps précieux…

Considérons dans \(\mathbb{R}^3\) les vecteurs :

\( u_1 = (1,2,3), \quad u_2 = (0,1,1), \quad u_3 = (2,5,7), \quad u_4 = (1,0,1) \)

La famille \( (u_1,u_2,u_3,u_4 )\) contient 4 vecteurs de \( \mathbb{R}^3 \) et \(\mathbb{R}^3\) est de dimension 3.

Or :

\( 4 > 3 = \dim(\mathbb{R}^3) \)

Ainsi la famille \((u_1,u_2,u_3,u_4)\) est donc liée.

On observe la famille avant tout calcul.

• Vecteur nul
• Vecteur multiple d’un autre
• Somme évidente

Dans ces cas, la famille est liée.

On considère dans \( \mathbb{R}_3[X] \) les vecteurs:

\( P_1(X) = 1 + X, \quad P_2(X) = X + X^2, \quad P_3(X) = 1 + 2X + X^2 \)

On observe que :

\( P_3(X) = P_1(X) + P_2(X) \)

La famille \( (P_1, P_2, P_3) \) est donc liée.

Lorsque les vecteurs sont des polynômes, une situation très favorable est celle où les degrés sont strictement croissants.

Soient \(P_1,\dots,P_p\in\mathbb{R}[X]\) des polynômes non nuls tels que :

\( 0 \leqslant \deg(P_1) < \deg(P_2) < \cdots < \deg(P_p) \)

Alors la famille \((P_1,\dots,P_p)\) est libre.

Remarque

Ce résultat ne figure pas explicitement au programme. Toutefois, il repose uniquement sur la définition du degré d’un polynôme et sur la définition d’une famille libre.

Il peut donc, en pratique, être utilisé sans risque dans une copie, sauf si l’énoncé demande explicitement d’en donner la démonstration.

Montrer que la famille \((P_1,P_2,P_3,P_4)\) est libre dans \(\mathbb{R}[X]\), où :

\( P_1(X)=2,\quad P_2(X)=X+1,\quad P_3(X)=3X^2-X,\quad P_4(X)=X^3+2X \)

On observe que :

\( \deg(P_1)=0,\quad \deg(P_2)=1,\quad \deg(P_3)=2,\quad \deg(P_4)=3 \)

La famille \((P_1,P_2,P_3,P_4)\) est donc formée de polynômes non nuls et échelonnés en degrés, donc elle est libre.

On écrit :

\( \lambda_1 u_1 + \cdots + \lambda_p u_p = 0 \)

On identifie les coordonnées pour obtenir un système linéaire.

Si la seule solution est la solution nulle, la famille est libre.

Remarque

• Si les vecteurs sont des éléments de \( \mathbb{R}^3 \) ou \( \mathbb{R}^4 \), on identifie les coordonnées pour obtenir un système linéaire en les coefficients \( \lambda_1,\dots,\lambda_p \).
• Si les vecteurs sont des polynômes, on identifie les coefficients de chaque puissance de \(X\), ce qui fournit un système linéaire.
• Si les vecteurs sont des suites, on peut évaluer la relation pour quelques valeurs particulières de \(n\) afin d’obtenir un système linéaire en les coefficients.
• Si les vecteurs sont des fonctions, on peut évaluer en des points bien choisis, utiliser une limite ou dériver l’égalité afin de simplifier l’obtention du système.

Dans tous les cas, l’objectif reste de montrer que la seule solution du système est la solution nulle.

On considère dans \( \mathbb{R}^4 \) la famille :

\( u_1=(1,0,1,2),\quad u_2=(0,1,1,-1),\quad u_3=(1,1,2,1) \)

Soit \((a,b,c)\) un triplet de réels tel que :

\( au_1+bu_2+cu_3=0 \)

On a :

La seule solution est la solution nulle. La famille \((u_1,u_2,u_3)\) est donc libre.

Dans une situation plus théorique, lorsqu’on étudie une famille \((u_1,\dots,u_p)\) de \(p\) vecteurs sans structure immédiatement exploitable, on revient à la définition et on essaie de voir si

\( \lambda_1 u_1 + \cdots + \lambda_p u_p = 0 \Rightarrow \lambda_1=\cdots=\lambda_p=0 \)

On suppose donc :

\( \lambda_1 u_1 + \cdots + \lambda_p u_p = 0 \)

et l’on cherche à montrer que tous les coefficients sont nuls.

Pistes classiques :

• Isolation d’un coefficient. On essaie d’exprimer un vecteur en fonction des autres ou d’identifier une composante qui ne dépend que d’un seul coefficient. Si l’on parvient à montrer par exemple que \(\lambda_1=0\), il est souvent possible de poursuivre par récurrence (forte) pour obtenir successivement \(\lambda_2=0\), puis \(\lambda_3=0\), etc.
• Raisonnement par récurrence. Lorsque la famille est indexée naturellement (famille de suites, de fonctions, famille définie par une relation), on peut supposer la propriété vraie au rang \(k\) et la démontrer au rang \(k+1\).
• Raisonnement par l’absurde. On suppose qu’il existe une relation linéaire non triviale, puis on exploite une propriété particulière (ordre dominant, croissance, comportement asymptotique, minimalité d’un indice) pour obtenir une contradiction.

Dans ces situations, la clé n’est pas le calcul, mais le choix d’une stratégie adaptée à la structure de la famille.

Soit \(n\in\mathbb{N}\). Soit \((P_0,P_1,\dots,P_n)\) une famille de polynômes non nuls à coefficients réels.

On suppose que, pour tout \( i \in \{0,\dots,n\}\), le monôme de plus bas degré de \( P_i \) est de degré \( i \).

Montrer que la famille \((P_0,P_1,\dots,P_n)\) est libre.

Soit \((\lambda_0,\dots,\lambda_n)\in\mathbb{R}^{n+1}\) tel que :

On évalue l’égalité en \(0\). Pour tout \(i\in\{1,\dots,n\}\), le monôme de plus bas degré de \(P_i\) est de degré \(i\geqslant 1\), donc \(P_i(0)=0\). On obtient ainsi :

Or \(P_0(0)\neq 0\) (puisque le monôme de plus bas degré de \(P_0\) est de degré \(0\)). Ainsi :

Comme on a pu prouver que le premier coefficient de la somme est nul, on va maintenant montrer par récurrence forte que, pour tout \( k \in \{0,\dots,n\} \), la proposition \( \mathcal{P}(k) \) : « \( \lambda_k=0 \) » est vraie.

Initialisation. On a déjà prouvé que \( \mathcal{P}(0) \) est vraie.

Hérédité. Soit \(k\in\{0,\dots,n-1\}\). On suppose que \( \mathcal{P}(0), \mathcal{P}(1),\dots, \mathcal{P}(k) \) sont vraies, c'est-à-dire que ;

Alors :

Pour tout \(i\in\{k+1,\dots,n\}\), le monôme de plus bas degré de \(P_i\) est de degré \(i\geqslant k+1\), donc \(X^{k+1}\) divise \(P_i\). Il existe donc \(Q_i\in\mathbb{R}[X]\) tel que :

et, comme le monôme de plus bas degré de \(P_{k+1}\) est de degré \(k+1\), on a :

En factorisant \(X^{k+1}\), on obtient :

Comme \(X^{k+1} \) n'est pas le polynôme nul, il vient :

Pour tout \(i\geqslant k+2\), \(Q_i(0)=0\) puisque le monôme de plus bas degré de \(P_i\) est de degré \(i\geqslant k+2\), donc celui de \(Q_i\) est de degré \(\geqslant 1\). On obtient donc, en évaluant en \(0\) :

Or \(Q_{k+1}(0)\neq 0\), donc :

Conclusion. Par récurrence forte, on obtient \(\lambda_0=\cdots=\lambda_n=0\). La famille \((P_0,\dots,P_n)\) est donc libre.