On commence par déterminer l’ensemble sur lequel la fonction \(f\) est continue afin d’identifier précisément les causes d’impropriété de l’intégrale.

• Si \(f\) est continue sur \([a,+\infty[\), l’intégrale \( \displaystyle\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t\) est impropre en \(+\infty\) uniquement.
• Si \(f\) est continue sur \(]-\infty,a]\), l’intégrale \(\displaystyle \int_{-\infty}^{a} f(t)\,\mathrm{d}t\) est impropre en \(-\infty\) uniquement.
• Si \(f\) est continue sur \( \mathbb{R} \), l’intégrale \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t\) est impropre en \( - \infty \) et \( +\infty \).

Pour étudier l'intégrale impropre \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t\), on étudie séparément la convergence des intégrales \[ \int_0^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t \quad \text{et} \quad \int_{-\infty}^0 f(t)\,\mathrm{d}t \]

Erreur classique

Oublier de préciser la continuité de la fonction avant de commencer l’étude.

Lorsque l’on étudie la nature d’une intégrale impropre, il est essentiel de commencer par chercher une éventuelle ressemblance avec une intégrale de référence, afin d’éviter des calculs inutiles.

On se souviendra en particulier que :

• Si \(\alpha \in \mathbb{R}\), l'intégrale \( \displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha} \) converge si et seulement si \( \alpha>1 \) (Riemann).
• Si \(a \in \mathbb{R}\), l'intégrale \( \displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-at}\,\mathrm{d}t \) converge si et seulement si \( a>0 \).
• L'intégrale \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2}\,\mathrm{d}t \) est convergente (et égale à \( 1 \), densité normale).

Si l’intégrale étudiée n’est pas exactement de ce type, on peut chercher à l’écrire comme combinaison linéaire d’intégrales de référence ou à s’y ramener par des transformations simples.

Erreur classique

Ne pas reconnaître une intégrale de référence et entreprendre des calculs longs et inutiles.

Étudier la nature de l’intégrale \[ \int_1^{+\infty} \left(\frac{1}{t^2}+e^{-t}\right)\,\mathrm{d}t. \]

On reconnaît une combinaison linéaire de deux intégrales de référence :

• \(\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2}\) est une intégrale de Riemann convergente car \(2>1\),
• \(\displaystyle \int_1^{+\infty} e^{-t}\,\mathrm{d}t\) est convergente car l’intégrale \(\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-t}\,\mathrm{d}t\) converge.

Les deux intégrales étant convergentes, l’intégrale étudiée est convergente.

Si les méthodes précédentes n’ont rien donné et si la fonction \(f\) est continue et positive sur \([a,b[\), pour étudier la nature de l’intégrale impropre \[ \int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t, \] il est en général pertinent de chercher un équivalent simple de la fonction intégrée lorsque \(t \) tend vers \( {+\infty}\).

En effet, si \(g\) est une fonction positive sur \([a,{+\infty}[\) et si \[ f(t) \underset{t\to {+\infty}}{\sim} g(t), \] alors les intégrales impropres \[ \int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t \quad \text{et} \quad \int_a^{+\infty} g(t)\,\mathrm{d}t \] sont de même nature.

La stratégie consiste donc à :

• déterminer un équivalent simple de \(f(t)\) lorsque \(t \) tend vers \( {+\infty}\) (voir page méthodes de recherche d’équivalent),
• se ramener à une intégrale de référence.

Étudier la nature de l’intégrale \[ \int_1^{+\infty} \frac{t+\ln(t)}{t^3+1}\,\mathrm{d}t. \]

On pose \[ f(t)=\frac{t+\ln(t)}{t^3+1}. \] La fonction \(f\) est continue sur \([1,+\infty[\) et positive.

Lorsque \(t \to +\infty\), on a \(\ln(t)=o(t)\), donc :

Or l’intégrale \[ \int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2} \] est une intégrale de Riemann convergente (car \(2>1\)).

Les fonctions en présence étant continues et positives, l’intégrale étudiée est convergente.

Si la fonction \(f\) est continue et positive sur \([a,{+\infty}[\), il peut être pertinent d’utiliser une comparaison avec une fonction de référence.

• Soit \(g\) une fonction continue et positive sur \([a,{+\infty}[\) telle que \[ \forall t \in [a,{+\infty}[, \quad 0 \leqslant f(t) \leqslant g(t). \] Si l’intégrale impropre \[ \int_a^{+\infty} g(t)\,\mathrm{d}t \] converge, alors l’intégrale impropre \[ \int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t \] converge.
• Soit \(g\) une fonction continue et positive sur \([a,{+\infty}[\) telle que \[ \forall t \in [a,{+\infty}[, \quad 0 \leqslant g(t) \leqslant f(t). \] Si l’intégrale impropre \[ \int_a^{+\infty} g(t)\,\mathrm{d}t \] diverge, alors l’intégrale impropre \[ \int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t \] diverge.

Erreur classique

Utiliser une comparaison sans préciser l’intervalle sur lequel les inégalités sont vérifiées.

Étudier la nature de l’intégrale \[ \int_0^{+\infty} \frac{e^{-t}}{t+1}\,\mathrm{d}t. \]

On pose \[ f(t)=\frac{e^{-t}}{t+1}. \] La fonction \(f\) est continue et positive sur \([0,+\infty[\).

Pour tout \(t\ge 0\), on a \(t+1 \ge 1\), donc :

Or l’intégrale \[ \int_0^{+\infty} e^{-t}\,\mathrm{d}t \] est convergente (car \(\int_0^{+\infty} e^{-at}\,\mathrm{d}t\) converge si et seulement si \(a>0\)).

On en déduit que l’intégrale \[ \int_0^{+\infty} \frac{e^{-t}}{t+1}\,\mathrm{d}t \] est convergente par comparaison.

Si la fonction \( f \) est continue et positive sur \([a,{+\infty}[\) et si l’on parvient à montrer que \(f\) est négligeable en \( {+\infty} \) devant une fonction \(g\) dont l’intégrale impropre est convergente, on peut conclure par comparaison.

Plus précisément, si l’on a \[ f(t) \underset{t\to {+\infty}}= o(g(t)) \] alors la convergence de \[ \int_a^{+\infty} g(t)\,\mathrm{d}t \] entraîne celle de \[ \int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t. \]

En pratique, on distingue deux situations usuelles. Si la fonction \( f \) est continue et positive sur \( [1,+\infty [ \), pour étudier la nature de \[ \int_1^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t, \] on peut étudier la limite de la fonction \(t^\alpha f(t)\) lorsque \(t \) tend vers \( +\infty\).

• S’il existe un réel \(\alpha > 1\) tel que \[ \lim_{t\to+\infty} t^\alpha f(t) = 0, \] alors \[ f(t) \underset{t \to +\infty}= o\!\left(\frac{1}{t^\alpha}\right), \] ce qui permet de prouver que l’intégrale impropre converge.
• S’il existe un réel \(\alpha \leqslant 1\) tel que \[ \lim_{t\to+\infty} t^\alpha f(t) = +\infty, \] alors \[ \frac{1}{t^\alpha} \underset{t \to + \infty} = o(f(t)), \] ce qui permet de prouver que l’intégrale impropre diverge.

Erreur classique

Oublier que cette méthode nécessite que la fonction soit positive (au voisinage du point d’impropreté).

Étudier la nature de l’intégrale \[ \int_1^{+\infty} \frac{\ln(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t. \]

On pose \[ f(t)=\frac{\ln(t)}{t^2}. \] La fonction \(f\) est continue et positive sur \([1,+\infty[\).

On utilise une négligeabilité : lorsque \(t\to+\infty\), on a \(\ln(t)=o(t^{1/2})\), donc :

Or \(\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^{3/2}}\) est une intégrale de Riemann convergente (car \(\frac{3}{2}>1\)).

On en déduit que l’intégrale \[ \int_1^{+\infty} \frac{\ln(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t \] est convergente.

Dans certains cas, il est possible d’étudier directement la nature d’une intégrale impropre en calculant l’intégrale partielle associée.

On suppose que \(f\) est une fonction définie et continue sur \([a,+\infty [\). On définit alors :

\[ \forall x \in \left[ a,+\infty \right[,\quad F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t. \]

On calcule ensuite explicitement \(F(x)\) à l’aide des méthodes usuelles de calcul d’intégrales sur un segment :

• recherche d’une primitive,
• intégration par parties,
• changement de variable.

Il s’agit alors d’étudier la limite de \(F(x)\) lorsque \(x\) tend vers \( +\infty\).

• Si la fonction \(F\) admet une limite finie lorsque \(x\) tend vers \( +\infty\), alors l’intégrale impropre \[ \int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t \] est convergente.
• Si la fonction \(F\) n’admet pas de limite finie lorsque \(x\) tend vers \( +\infty\), alors l’intégrale impropre diverge.

Remarque

Il est rare que cette méthode soit utile quand on s'intéresse uniquement à la nature de l'intégrale (et pas à sa valeur).

Étudier la nature de l’intégrale impropre \[ \int_2^{+\infty} \frac{1}{t(\ln t)^2}\,\mathrm{d}t. \]

La fonction \[ f(t)=\frac{1}{t(\ln t)^2} \] est définie et continue sur \([2,+\infty[\).

On remarque que \( f \) est de la forme \( \frac{u'}{u^2} \) (où \( u : t \mapsto \ln(t) \)) donc :

\begin{align*} \forall x \ge 2,\ \int_2^x \frac{1}{t(\ln t)^2}\,\mathrm{d}t &=\left[-\frac{1}{\ln t}\right]_2^x \\ &= \frac{1}{\ln 2}-\frac{1}{\ln x}. \end{align*}

On en déduit : \[ \lim_{x\to + \infty} \int_2^x \frac{1}{t(\ln t)^2}\,\mathrm{d}t =\frac{1}{\ln 2}. \]

donc l’intégrale \( \displaystyle \int_2^{+\infty} \frac{1}{t(\ln t)^2}\,\mathrm{d}t \) est convergente.