Comment calculer la probabilité d’une intersection d’événements ?
Une méthode en deux questions réflexes pour calculer une probabilité d’intersection.
On cherche à calculer la probabilité de l’intersection de plusieurs événements. Selon que les événements sont indépendants ou non, la méthode de calcul diffère.
Cette fiche présente les deux cas fondamentaux pour une intersection finie.
Les questions réflexes
Avant de calculer une probabilité d’intersection, on se pose toujours les mêmes questions, dans le même ordre.
Les événements sont-ils indépendants ?
Démarche
Quand on veut calculer la probabilité d'une intersection, comme \(\mathbb{P}\! \left(\bigcap_{i\in I} A_i\right)\), on commence par se demander si les événements considérés sont indépendants.
- Si \(A\) et \( B \) sont deux événements indépendants, alors \[\mathbb{P}(A\cap B) = \mathbb{P}(A) \, \mathbb{P}(B) \]
-
Plus généralement, siles événements \(A_1,\dots,A_n\) sont mutuellement indépendants, alors
\[ \mathbb{P} \!\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right)=\prod_{i=1}^n \mathbb{P}(A_i) \]
Dire que la probabilité de l’intersection est égale au produit des probabilités sans s’assurer que les événements sont mutuellement indépendants.
Indépendance deux à deux, indépendance mutuelle
Soit \(A_1,\dots,A_n\) des événements d’un même espace probabilisé.
On dit que les événements \(A_1,\dots,A_n\) sont mutuellement indépendants lorsque, pour toute partie non vide \(I\subset\{1,\dots,n\}\), on a
\[ \mathbb{P}\left(\bigcap_{i\in I} A_i\right)=\prod_{i\in I}\mathbb{P}(A_i) \]
Autrement dit, la probabilité de l’intersection de n’importe quels sous-ensembles d’événements est égale au produit des probabilités correspondantes.
Indépendance deux à deux.
Les événements \(A_1,\dots,A_n\) sont dits deux à deux indépendants si, pour tous
\(i\neq j\),
\[ \mathbb{P}(A_i\cap A_j)=\mathbb{P}(A_i)\mathbb{P}(A_j) \]
Cette condition ne porte que sur les intersections de deux événements.
Attention.
L’indépendance deux à deux n’implique pas l’indépendance mutuelle.
Pour calculer la probabilité d’une intersection de plusieurs événements,
il faut donc toujours vérifier l’indépendance mutuelle.
Exemple
On effectue \(n\) tirages avec remise dans une urne contenant des boules numérotées de \(1\) à \(10\), toutes équiprobables.
Calculer la probabilité que toutes les boules tirées portent un numéro pair.
Pour tout \(k\in\{1,\dots,n\}\), on note
\(A_k\) : « le numéro obtenu au \(k\)-ième tirage est pair »
Les événements \(A_1,\dots,A_n\) sont mutuellement indépendants (car effectués au hasard et avec remise) et \(\mathbb{P}(A_k)=\dfrac12\) pour tout \(k\).
On a donc
\[ \mathbb{P}\left(\bigcap_{k=1}^n A_k\right) =\prod_{k=1}^n \mathbb{P}(A_k) =\left(\dfrac12\right)^n \]
Peut-on utiliser la formule des probabilités composées ?
Démarche
On cherche à calculer une probabilité d’intersection, par exemple \(\mathbb{P}(A\cap B)\) ou \(\displaystyle \mathbb{P}\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right)\).
Si les événements ne sont pas indépendants, on utilise la formule des probabilités composées.
-
Pour deux événements et si \(\mathbb{P}(A)\neq 0\),
\[ \mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\,\mathbb{P}_A(B) \]
-
Plus généralement, pour des événements \(A_1,\dots,A_n\) et si
\(\displaystyle \mathbb{P}\left(\bigcap_{i=1}^{n-1} A_i\right)\neq 0\),
\[ \mathbb{P}\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right) = \mathbb{P}(A_1)\, \mathbb{P}_{A_1}(A_2)\, \cdots\, \mathbb{P}_{A_1\cap\cdots\cap A_{n-1}}(A_n) \]
-
Erreur classique
Écrire une formule des probabilités composées sans vérifier que les probabilités conditionnelles utilisées sont bien définies, c’est-à-dire que les événements conditionnants ont une probabilité non nulle.
Formule des probabilités composées
Soit \(A_1,\dots,A_n\) des événements d’un même espace probabilisé.
Cas 1 — Événements indépendants.
Si les événements \(A_1,\dots,A_n\) sont mutuellement indépendants, alors
\[ \mathbb{P}\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right) = \prod_{i=1}^n \mathbb{P}(A_i) \]
Cas 2 — Événements non indépendants.
Si les événements ne sont pas indépendants, on utilise la formule des probabilités composées.
Si \(\mathbb{P}(A_1)\neq 0\), alors
\[ \mathbb{P}(A_1\cap A_2) = \mathbb{P}(A_1)\,\mathbb{P}_{A_1}(A_2) \]
Plus généralement, si \(\displaystyle \mathbb{P}\left(\bigcap_{i=1}^{n-1} A_i\right)\neq 0\), on a
\[ \mathbb{P}\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right) = \mathbb{P}(A_1)\, \mathbb{P}_{A_1}(A_2)\, \cdots\, \mathbb{P}_{A_1\cap\cdots\cap A_{n-1}}(A_n) \]
Attention.
La formule du produit ne s’applique que dans le cas d’une indépendance mutuelle.
Dans le cas général, il faut conditionner et vérifier que les probabilités conditionnelles sont bien définies.
Exemple
Une urne contient \(N\) boules dont \(m\) rouges. On effectue \(n\) tirages sans remise.
Calculer la probabilité que les \(n\) boules tirées soient rouges.
Pour tout \(k\in\{1,\dots,n\}\), on note \(A_k\) l’événement « la \(k\)-ième boule tirée est rouge ». On cherche à calculer \(\displaystyle \mathbb{P}\left(\bigcap_{k=1}^n A_k\right)\).
Comme les tirages sont effectués sans remise, on ne peut pas tirer plus de \(m\) boules rouges. On a donc \(\displaystyle \mathbb{P}\left(\bigcap_{k=1}^n A_k\right)=0\) si \(n>m\). On suppose désormais \(n\leqslant m\).
On applique alors la formule des probabilités composées, en admettant que \(\displaystyle \mathbb{P}\left(\bigcap_{k=1}^{n-1} A_k\right)\neq 0\) (pour plus de rigueur, on pourrait le démontrer par récurrence sur \(n\in\left[\!\left[1,m\right]\!\right]\)).
Or l’urne contient initialement \(N\) boules dont \(m\) rouges et les tirages sont faits au hasard, donc toutes les boules ont la même probabilité d’être obtenues. On a ainsi
\[ \mathbb{P}(A_1)=\dfrac{m}{N} \]
De plus, pour tout \(i\in\left[\!\left[1,n-1\right]\!\right]\), sachant que l’événement \(\displaystyle \bigcap_{k=1}^i A_k\) est réalisé, l’urne contient \(N-i\) boules dont \(m-i\) rouges au moment du \((i+1)\)-ième tirage. Comme le tirage est effectué au hasard, on a
\[ \mathbb{P}_{A_1\cap\cdots\cap A_i}(A_{i+1}) = \dfrac{m-i}{N-i} \]
On en déduit
\[ \begin{align*} \mathbb{P}\left(\bigcap_{k=1}^n A_k\right) &= \dfrac{m}{N}\times\dfrac{m-1}{N-1}\times\cdots\times\dfrac{m-n+1}{N-n+1} \\ &= \dfrac{m!\,(N-n)!}{N!} \end{align*} \]