Comment calculer une probabilité conditionnelle ?
Les questions fondamentales pour aborder sereinement le calcul d'une probabilité conditionnelle
On cherche à calculer une probabilité conditionnelle du type \(\mathbb{P}_B(A)\). Selon la situation, plusieurs raisonnements sont possibles.
Cette fiche propose un enchaînement de questions réflexes permettant d’identifier rapidement la méthode la plus adaptée.
Les questions réflexes
Pour calculer une probabilité conditionnelle, on se pose toujours les mêmes questions, dans le même ordre.
Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ?
Démarche
On cherche à calculer une probabilité conditionnelle, par exemple \(\mathbb{P}_B(A)\) (ce qui suppose évidemment que \( \mathbb{P}(B) \neq 0 \).
Si les événements \(A\) et \(B\) sont indépendants, alors\[ \mathbb{P}_B(A)=\mathbb{P}(A) \]
Erreur classiqueConfondre indépendance et incompatibilité, ou conclure à l’indépendance sans justification.
Indépendance et probabilité conditionnelle
Si \(A\) et \(B\) sont indépendants, connaître la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre.
\[ \mathbb{P}_B(A)=\mathbb{P}(A) \]
Exemple
On effectue deux lancers indépendants d’un dé équilibré.
On note \(A\) l’événement « le résultat du premier lancer est pair » et \(B\) l’événement « le résultat du deuxième lancer est un multiple de \(3\) ».
On commence par vérifier que la probabilité conditionnelle \(\mathbb{P}_B(A)\) a bien un sens. L’événement \(B\) correspond à un résultat possible du deuxième lancer, donc \(\mathbb{P}(B)=\dfrac{2}{6}\neq 0\).
Les événements \(A\) et \(B\) sont indépendants car ils portent sur deux expériences aléatoires indépendantes. On a donc
\[ \mathbb{P}_B(A)=\mathbb{P}(A)=\dfrac12 \]
Sachant \(B\), a-t-on suffisamment d’informations pour étudier directement \(A\) ?
Démarche
Quand on cherche à calculer une probabilité conditionnelle \(\mathbb{P}_B(A)\) (ce qui suppose évidemment que \( \mathbb{P}(B) \neq 0 \), il est important de commencer par étudier le lien de cause à effet entre les événements \( A\) et \( B \).
Si, sachant que l’événement \(B\) est réalisé, on a assez d'informations pour savoir à quelle condition l’événement \(A\) est réalisé, alors on calcule cette probabilité avec les méthodes habituelles (dénombrement, décomposition à l'aide d'unions et d'intersections,…) dans l’univers restreint à \(B\).
Erreur classiqueChercher systématiquement à utiliser la définition alors que la condition « sachant \(B\) » permet un raisonnement direct beaucoup plus simple.
Notion de probabilité conditionnelle
On parle souvent, à tort, de « l’événement \(A\) sachant \(B\) ». Cette expression est incorrecte.
Ce n’est pas l’événement qui est conditionnel, mais la probabilité.
L’événement \(A\) est un sous-ensemble de \(\Omega\) : il ne dépend pas du conditionnement. En revanche, on peut considérer différentes probabilités sur le même espace probabilisable \((\Omega,\mathcal{A})\).
Interprétation correcte.
\(\mathbb{P}(A)\) désigne la probabilité de \(A\) lorsque l’espace probabilisable
\((\Omega,\mathcal{A})\) est muni de la probabilité \(\mathbb{P}\).
De même, \(\mathbb{P}_B(A)\) désigne la probabilité de ce même événement \(A\), lorsque l’espace probabilisable \((\Omega,\mathcal{A})\) est muni de la probabilité conditionnelle \(\mathbb{P}_B\).
Autrement dit, l’événement reste inchangé, mais on change le référentiel probabiliste.
Attention.
Il ne faut donc jamais dire « l’événement \(A\) sachant \(B\) », mais
« la probabilité de \(A\) sachant \(B\) ».
Exemple
On commence par vérifier que la probabilité conditionnelle \(\mathbb{P}_B(A)\) a bien un sens. En effet, l’événement \(B\) correspond aux numéros \(\{6,7,8,9,10\}\), donc \(\mathbb{P}(B)=\dfrac{5}{10}\neq 0\).
Sachant \(B\), l’univers se réduit à \(\{6,7,8,9,10\}\), dans lequel \(3\) numéros exactement sont pairs.
\[ \mathbb{P}_B(A)=\dfrac{3}{5} \]
Est-ce en réalité l’événement \(A\) qui intervient avant \(B\) ?
Démarche
Quand on cherche à calculer la probabilité conditionnelle \(\mathbb{P}_B(A)\) (évidemment avec \(\mathbb{P}(B)\neq 0\)), il arrive que l’ordre logique de l’expérience fasse que la réalisation de \(A\) se produise avant celle de \(B\).
Dans ce cas, on peut utiliser la formule de Bayes (à condition que \(\mathbb{P}(B)\neq 0\)), qui permet de « rétablir » le conditionnement dans l’ordre naturel.
Erreur classiqueAppliquer la formule de Bayes sans expliciter clairement les événements \(A\) et \(B\), ou sans vérifier que les probabilités conditionnelles sont bien définies.
Formule de Bayes
Si \(\mathbb{P}(B)\neq 0\) et \(\mathbb{P}(A)\neq 0\), alors :
\[ \mathbb{P}_B(A)=\dfrac{\mathbb{P}(A)\,\mathbb{P}_A(B)}{\mathbb{P}(B)} \]
Exemple
On étudie une maladie \(M\) présente dans une population. On suppose que \(1\%\) des individus sont atteints par cette maladie.
Un test de dépistage est utilisé. Chez une personne malade, le test est positif dans \(99\%\) des cas. Dans l’ensemble de la population, \(5\%\) des tests sont positifs.
On note
- \(A\) : « l’individu est malade »,
- \(B\) : « le test est positif ».
Calculer la probabilité qu’un individu soit malade sachant que son test est positif.
On dispose des données suivantes :
\[ \mathbb{P}(A)=\dfrac{1}{100}, \qquad \mathbb{P}_A(B)=\dfrac{99}{100}, \qquad \mathbb{P}(B)=\dfrac{5}{100}. \]
Comme \(\mathbb{P}(B)\neq 0\), la probabilité conditionnelle \(\mathbb{P}_B(A)\) est bien définie. On peut constater que l'on connait \( \mathbb{P}_A(B) \) donc on souhaite utiliser la formule de Bayes pour inverser le conditionnement. Or \(\mathbb{P}(A)\neq 0\) donc on a, d'après la formule de Bayes :
\[ \mathbb{P}_B(A) = \dfrac{\mathbb{P}(A)\,\mathbb{P}_A(B)}{\mathbb{P}(B)}. \]
On en déduit
\begin{align*} \mathbb{P}_B(A) &= \dfrac{\frac{1}{100}\times\frac{99}{100}}{\frac{5}{100}} \\ &= \dfrac{99}{500}\\ &= 0{,}198. \end{align*}
Ainsi, la probabilité qu’un individu soit effectivement malade sachant que son test est positif est \(19{,}8\%\).
Peut-on utiliser directement la définition ?
Démarche
Quand on cherche à calculer la probabilité conditionnelle \( \mathbb{P}_B(A) \), il arrive que la situation ne fasse apparaître aucun lien de cause à effet privilégié entre les événements \(A\) et \(B\), par exemple lorsque leur réalisation se produit simultanément.
Dans ce cas, on utilisera la définition en calculant séparément \(\mathbb{P}(B)\) et \(\mathbb{P}(A\cap B)\) à l'aide des méthodes usuelles.
Si \(\mathbb{P}(B)\neq 0\), on a
\[ \mathbb{P}_B(A)=\dfrac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)} \]
p> Erreur classiqueUtiliser la définition sans vérifier que \(\mathbb{P}(B)\neq 0\), ou supposer que \(\mathbb{P}(A\cap B)\) est donnée alors qu’elle doit être déterminée.
Définition de la probabilité conditionnelle
On lance un dé équilibré. On note \(A\) l’événement « obtenir un nombre pair » et \(B\) l’événement « obtenir un nombre supérieur ou égal à \(4\) ».
Les événements \(A\) et \(B\) correspondent ici à des propriétés portant sur le même lancer. Il n’y a donc pas d’ordre naturel entre leur réalisation : aucun des deux événements ne peut être considéré comme intervenant avant l’autre.
Dans ce cas, on utilise la définition de la probabilité conditionnelle.
On commence par déterminer les probabilités nécessaires. On a \(\mathbb{P}(B)=\dfrac{3}{6}\neq 0\) et \(\mathbb{P}(A\cap B)=\dfrac{2}{6}\).
On peut donc écrire
\[ \mathbb{P}_B(A) = \dfrac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)} = \dfrac{2/6}{3/6} = \dfrac{2}{3}. \]
Exemple
On lance un dé équilibré. On note \(A\) l’événement « obtenir un nombre pair » et \(B\) l’événement « obtenir un nombre supérieur ou égal à \(4\) ».
On a \(\mathbb{P}(A\cap B)=\dfrac{2}{6}\) et \(\mathbb{P}(B)=\dfrac{3}{6}\).
Ainsi,
\[ \mathbb{P}_B(A)=\dfrac{2/6}{3/6}=\dfrac{2}{3} \]