Quand on veut calculer la limite d'une suite dont on connaît le terme général, on commence toujours par examiner si la limite peut être obtenue directement à partir des règles usuelles de calcul des limites.

Cette situation se produit lorsque l’expression de \(u_n\) est construite à partir d’opérations algébriques (somme, produit, quotient) ou de compositions par des fonctions dont les limites sont connues, sans qu’apparaisse de forme indéterminée.

On peut alors utiliser :

• la limite d’une somme ou d’un produit,
• la limite d’un quotient lorsque le dénominateur ne tend pas vers 0,
• la continuité d’une fonction composée,
• les limites usuelles des fonctions de référence (puissances, exponentielle, logarithme).

Méthode de rédaction.

On identifie les termes dont la limite est connue, puis on applique les règles de calcul des limites.

Si aucune forme indéterminée n’apparaît, la limite se déduit immédiatement.

Attention.

Si une forme indéterminée apparaît (par exemple \(0/0\), \(\infty/\infty\), \(\infty-\infty\)), ces règles ne permettent plus de conclure et il faut transformer l’expression ou utiliser un autre outil.

Déterminer la limite de la suite \( u \) définie par :

\( \forall n \in \mathbb{N}^*,\ u_n=\sqrt{1+\frac{1}{n}}+e^{-n} \)

On commence par calculer séparément les limites des deux termes.

Tout d’abord :

\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0 \]

Donc :

\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1 \]

La fonction \(x\mapsto \sqrt{x}\) est continue sur \([0,+\infty[\), donc en particulier en \(1\). Par continuité, on obtient :

\[ \lim_{n\to+\infty}\sqrt{1+\frac{1}{n}}=\sqrt{1}=1 \]

Ensuite, on a :

\[ \lim_{n\to+\infty}e^{-n}=0 \]

On peut alors utiliser la compatibilité de la limite avec l’addition :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n =\lim_{n\to+\infty}\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\lim_{n\to+\infty}e^{-n} =1+0 =1 \]

Conclusion.

La suite \(\left(u_n\right)\) converge et :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=1 \]

Si l'on ne peut pas conclure directement avec les opérations usuelles sur les limites, on examine ensuite si la limite peut être obtenue à l'aide des croissances comparées usuelles.

Cette méthode s’applique lorsque l’expression de \(u_n\) met directement en jeu des fonctions dont on connaît l’ordre de grandeur lorsque \(n \) tend vers \(+\infty\), sans qu’il soit nécessaire de transformer l’expression.

On utilise alors la hiérarchie classique des croissances :

\[ \ln (n) \ll n^\alpha \ll a^n \ll n! \quad (a>1,\ \alpha>0) \]

Autrement dit :

• les fonctions logarithmiques croissent plus lentement que toute puissance de \(n\),
• les puissances de \(n\) croissent plus lentement que toute fonction exponentielle de base strictement supérieure à 1.

Méthode de rédaction.

On identifie les termes dominants et les termes négligeables.

Si un terme tend vers 0 beaucoup plus vite qu’un autre diverge, ou si un terme diverge beaucoup plus vite qu’un autre, la limite se déduit directement de cette comparaison.

Attention.

Cette méthode s’utilise uniquement lorsque la comparaison est immédiate. Si plusieurs termes sont en compétition dans une somme ou un quotient et qu’aucun n’apparaît clairement dominant, il faut transformer l’expression (factorisation, mise au même ordre…) avant de conclure.

Déterminer la limite de la suite \( u \) définie par :

\( \forall n \in \mathbb{N}^*,\ u_n=\frac{e^n+\ln(n)}{n} \)

On écrit :

\[ \forall n \in \mathbb{N}^*,\ u_n=\frac{e^n}{n}+\frac{\ln(n)}{n} \]

On étudie séparément les limites des deux termes.

Lorsque \(n\to+\infty\), l’exponentielle croît plus vite que toute puissance de \(n\). En particulier :

\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{e^n}{n}=+\infty \]

D’autre part, le logarithme croît plus lentement que toute puissance de \(n\), donc :

\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\ln(n)}{n}=0 \]

Par somme, on en déduit que la suite \(\left(u_n\right)\) diverge et :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty \]

Si la limite ne peut pas être obtenue directement par les règles usuelles ni par une comparaison immédiate des croissances, on cherche à transformer l’expression de \(u_n\).

L’objectif est de faire apparaître une écriture équivalente plus simple, pour laquelle la limite devient calculable.

On utilise en particulier :

• la factorisation par le terme dominant,
• la mise au même ordre de grandeur,
• la multiplication et la division par une même quantité bien choisie,
• la multiplication par la quantité conjuguée lorsqu’apparaissent des racines.

Méthode de rédaction.

On transforme l’expression de \(u_n\) de manière algébrique, en justifiant chaque étape, jusqu’à obtenir une forme pour laquelle les règles usuelles sur les limites s’appliquent.

Attention.

La transformation doit être motivée : on modifie l’expression pour supprimer une forme indéterminée ou faire apparaître un terme dominant clairement identifiable.

Déterminer la limite de la suite \( u \) définie par :

\( \forall n\in\mathbb{N}^*,\ u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \)

Analyse.

Lorsque \(n\to+\infty\), les deux termes \(\sqrt{n+1}\) et \(\sqrt{n}\) tendent vers \(+\infty\). La différence est donc de la forme \(\infty-\infty\), qui est une forme indéterminée.

On multiplie et on divise par la quantité conjuguée :

\[ u_n=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \]

On simplifie le numérateur :

\[ (\sqrt{n+1})^2-(\sqrt{n})^2=n+1-n=1 \]

Donc :

\[ u_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \]

Or :

\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)=+\infty \]

Par conséquent :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=0 \]

Conclusion.

La suite \(\left(u_n\right)\) converge et :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=0 \]

Si la limite ne peut pas être obtenue directement ni après transformation algébrique simple, on peut chercher à remplacer certains termes par des expressions équivalentes lorsque \(n\to+\infty\).

L’idée est de simplifier l’expression en remplaçant une fonction compliquée par une autre qui a le même comportement asymptotique.

Principe.

Pour trouver la limite d'un produit ou un quotient, on peut utiliser les équivalents car deux suites équivalentes ont la même limite (quand elle existe).

En particulier, lorsque \(x\to 0\), on dispose des équivalents usuels :

• \(\ln(1+x)\sim x\)
• \(e^x-1\sim x\)
• …

Méthode de rédaction.

On identifie une quantité qui tend vers 0, on remplace l’expression correspondante par un équivalent, puis on calcule la limite de l’expression simplifiée.

Attention.

Une équivalence ne peut pas être utilisée dans une somme ou une différence sans précaution. Elle s’utilise directement dans un produit ou un quotient.

Déterminer la limite de la suite \( u \) définie par :

\( \forall n \in \mathbb{N}^*,\ u_n=\sqrt{n}\,\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right) \)

On observe que :

\[ \frac{1}{n}\to 0 \quad \text{lorsque } n\to+\infty \]

Or, lorsque \(x\to 0\), on sait que :

\[ \ln(1+x)\sim x \]

Donc :

\[ \ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\sim \frac{1}{n} \]

On remplace dans l’expression de \(u_n\) :

\[ u_n\sim \sqrt{n}\times \frac{1}{n} \]

soit encore :

\[ u_n\sim \frac{1}{\sqrt{n}} \]

Or :

\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0 \]

Donc :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=0 \]

Conclusion.

La suite \(\left(u_n\right)\) converge et :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=0 \]

Si un équivalent ne suffit pas pour conclure (par exemple lorsqu’il y a une opération incompatible, comme une somme ou une composition), on peut utiliser un développement limité.

L’idée est de remplacer une fonction par une approximation polynomiale suffisamment précise au voisinage de 0, puis de simplifier l’expression obtenue.

Méthode de rédaction.

On pose une quantité \(x_n\) qui tend vers 0 (souvent \(x_n=\frac{1}{n}\)), on remplace chaque terme par son DL au bon ordre, puis on simplifie en gardant uniquement les termes utiles pour déterminer la limite.

Attention.

Le choix de l’ordre du DL est essentiel : il faut aller jusqu’au premier terme non nul après simplification.

Déterminer la limite de la suite \( u \) définie par :

\( \forall n\in\mathbb{N}^*,\ u_n=n^2\left(\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{n}\right) \)

On pose :

\[ \forall n\in\mathbb{N}^*,\ x_n=\frac{1}{n} \]

Alors :

\[ \lim_{n\to+\infty}x_n=0 \]

On utilise le développement limité suivant lorsque \(x\to 0\) :

\[ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2) \]

On l’applique à \(x=x_n\) :

\[ \ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right) =\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+o\!\left(\frac{1}{n^2}\right) \]

Donc :

\[ \ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{n} =-\frac{1}{2n^2}+o\!\left(\frac{1}{n^2}\right) \]

En multipliant par \(n^2\), on obtient :

\[ u_n =n^2\left(-\frac{1}{2n^2}+o\!\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) =-\frac{1}{2}+o(1) \]

Par conséquent :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=-\frac{1}{2} \]

Conclusion.

La suite \(\left(u_n\right)\) converge et :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=-\frac{1}{2} \]

Lorsque l’expression de \(u_n\) reste difficile à manipuler directement, on peut chercher à encadrer la suite entre deux suites plus simples dont on connaît la limite.

Cette méthode repose sur le théorème de l'encadrement.

Principe.

Si l’on peut trouver deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\) telles que :

\[ a_n \leqslant u_n \leqslant b_n \quad \text{à partir d’un certain rang} \]

et si :

\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\lim_{n\to+\infty}b_n=\ell \]

alors :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=\ell \]

Méthode de rédaction.

On établit d’abord un encadrement précis, puis on calcule les limites des bornes, et on conclut par le théorème des gendarmes.

Attention.

L’encadrement doit être valable à partir d’un certain rang et les deux bornes doivent avoir la même limite.

Déterminer la limite de la suite \( u \) définie par :

\( \forall n\in\mathbb{N},\ u_n=\int_0^1 x^n\,\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x \)

Pour tout \(x\in[0,1]\), on a \(x^n\geqslant 0\) et \(\mathrm{e}^{-x}>0\). Ainsi :

\[ \forall n\in\mathbb{N},\ x^n\,\mathrm{e}^{-x}\geqslant 0 \]

De plus, pour tout \(x\in[0,1]\), on a \(\mathrm{e}^{-x}\leqslant 1\). Donc :

\[ \forall n\in\mathbb{N},\ \forall x\in [0,1],\ 0\leqslant x^n\,\mathrm{e}^{-x}\leqslant x^n \]

Par croissance de l'intégration (avec \( 0 \leqslant 1 \)), on obtient, les fonctions en présence étant continues sur \( [0,1] \):

\[ \forall n\in\mathbb{N},\ 0\leqslant \int_0^1 x^n\,\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x \leqslant \int_0^1 x^n\,\mathrm{d}x \]

Autrement dit :

\[ \forall n\in\mathbb{N},\ 0\leqslant u_n \leqslant \int_0^1 x^n\,\mathrm{d}x \]

Or :

\[ \forall n\in\mathbb{N},\\int_0^1 x^n\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1=\frac{1}{n+1} \]

Donc :

\[ \forall n\in\mathbb{N},\ 0\leqslant u_n \leqslant \frac{1}{n+1} \]

Enfin :

\[ \lim_{n\to+\infty}0=0 \quad \text{et} \quad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n+1}=0 \]

Par le théorème de l'encadrement :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=0 \]

Conclusion.

La suite \(\left(u_n\right)\) converge et :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=0 \]