Si \(A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), on calcule \(A^{-1}\) directement à l’aide du déterminant.

On note

\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)

• On commence par calculer \(\det(A)=ad-bc\).
• La matrice \(A\) est inversible si et seulement si \(\det(A)\neq 0\).
• Si \(\det(A)\neq 0\), alors

  \[ A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} \]

On considère la matrice

\(A=\begin{pmatrix}2&-1\\3&1\end{pmatrix}\)

Montrer que \( A \) est inversible et calculer son inverse.

On a : \[ \det(A)=2\times 1-(-1)\times 3=5\] Ainsi \( \det(A) \neq 0 \) donc \(A\) est inversible et

\(A^{-1}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}1&1\\-3&2\end{pmatrix}\)

Si \(A\) est une matrice diagonale, le calcul de \(A^{-1}\) est immédiat.

On note

\(A=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\)

• On commence par vérifier que \(\lambda_1\neq 0,\dots,\lambda_n\neq 0\).
• Si \(\lambda_1\neq 0,\dots,\lambda_n\neq 0\), alors la matrice \(A\) est alors inversible et

  \[ A^{-1}=\mathrm{diag}\left(\dfrac{1}{\lambda_1},\dots,\dfrac{1}{\lambda_n}\right) \]

Soit

\(A=\mathrm{diag}(2,-3,5)\)

\( A \) est une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont tous non nuls, donc elle est inversible et :

\(A^{-1}=\mathrm{diag}\left(\dfrac12,-\dfrac13,\dfrac15\right)\)

Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\). Si \(P\) est un polynôme annulateur de \(A\), on peut souvent étudier l’inversibilité de \(A\) et, le cas échéant, déterminer explicitement son inverse.

• On suppose que

  \(P(X)=a_0+a_1X+\cdots+a_kX^k\)

  avec \(a_0\neq 0\). Comme \(P(A)=0\), on peut écrire

  \[ -A\,(a_1 I_n+a_2A+\cdots+a_kA^{k-1})=a_0 I_n \]

  d’où

  \[ A\left(-\dfrac{1}{a_0}\,(a_1 I_n+a_2A+\cdots+a_kA^{k-1})\right) = \left(-\dfrac{1}{a_0}\,(a_1 I_n+a_2A+\cdots+a_kA^{k-1})\right)A = I_n \]

  Cela prouve que \(A\) est inversible et que

  \[ A^{-1}=-\dfrac{1}{a_0}\,(a_1 I_n+a_2A+\cdots+a_kA^{k-1}) \]

• Si \(a_0=0\), on ne peut en général rien conclure. Cependant, si l’on sait déjà que \(A\) est inversible, en notant \(i\) le plus petit entier tel que \(a_i\neq 0\), on a

  \[ P(X)=a_iX^i+a_{i+1}X^{i+1}+\cdots+a_kX^k \]

  et donc

  \[ a_iA^i+a_{i+1}A^{i+1}+\cdots+a_kA^k=0 \]

  Comme \(A\) est inversible, \(A^i\) l’est aussi et, en multipliant par \((A^i)^{-1}\), on obtient

  \[ a_i I_n+a_{i+1}A+\cdots+a_kA^{k-i}=0 \]

  avec \(a_i\neq 0\). On se ramène alors au cas précédent et l’on peut déterminer \(A^{-1}\) en isolant \(I_n\).

On considère

\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}, \qquad P(X)=X^2-3X+2\)

On calcule

\[ A^2=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix} \]

Ainsi

\begin{align*} P(A) &=A^2-3A+2I_2 \\ &=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix} -3\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix} +2\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} \end{align*}

Donc \(P\) est un polynôme annulateur de \(A\).

On a alors :

\[ A(3I_2-A) = 2I_2 \]

On en déduit

\[ A\left(\dfrac{1}{2}(3I_2-A)\right)=I_2 \qquad\text{et}\qquad \left(\dfrac{1}{2}(3I_2-A)\right)A=I_2 \]

Donc \(A\) est inversible et

\[ A^{-1}=\dfrac{1}{2}(3I_2-A) \]

Lorsque aucune méthode courte ne s’applique, on calcule \(A^{-1}\) en utilisant le pivot de Gauss. On peut procéder de deux façons équivalentes :

• Option 1 : résoudre le système linéaire \(AX=Y\), d'inconnue \( X\in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}) \) (pour \( Y \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}) \) fixé)
• Option 2 : méthode matricielle (méthode de Gauss–Jordan en partant de l'égalité \(A = I_nA \))

Option 1 — Résolution d’un système du type \(AX=Y\).

On considère le système linéaire

\[ AX=Y \]

où \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et \(Y\in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) est un vecteur colonne fixé. On résout ce système par la méthode du pivot de Gauss.

1. Si l’un au moins des coefficients de la première colonne de \(A\) n’est pas nul.
   1. Si le coefficient situé en première ligne et première colonne est nul, on échange la ligne \(L_1\) avec l’une des autres lignes afin d’obtenir un système équivalent dont le coefficient de la première ligne et de la première colonne n’est pas nul. On suppose pour la suite que ce coefficient est non nul et on l’appelle premier pivot.
   2. Pour tout entier \(i\in\{2,\dots,n\}\), on effectue une opération élémentaire sur la ligne \(L_i\) afin d’annuler le coefficient de la première colonne, par exemple

      \[ L_i \leftarrow L_i-\dfrac{a_{i,1}}{a_{1,1}}\,L_1 \qquad\text{ou}\qquad L_i \leftarrow a_{1,1}L_i-a_{i,1}L_1 \]

   3. Ces opérations ont pour effet de transformer le système \(AX=Y\) en un système équivalent dont la première équation ne fait intervenir que la première inconnue. On reproduit alors le raisonnement sur le système formé par les \(n-1\) dernières équations, jusqu’à obtenir un système échelonné.
2. Si les coefficients situés sur la première colonne de \(A\) sont tous nuls.
   1. On détermine la première colonne sur laquelle se situe un coefficient non nul.
   2. On procède alors à partir de cette colonne comme précédemment.

Si le système admet une unique solution pour tout second membre \(Y\), alors la matrice \(A\) est inversible et la résolution de \(AX=Y\) permet de déterminer explicitement \(A^{-1}\).

Option 2 — Matriciellement : calcul direct de \(A^{-1}\) par la méthode de Gauss–Jordan. Pour étudier l’inversibilité d’une matrice carrée \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) et, le cas échéant, déterminer son inverse, on part de l’égalité

\[ A = I_n A \]

puis on effectue des opérations élémentaires sur les lignes de \(A\) et de \(I_n\) (les mêmes sur les deux matrices), en procédant comme suit :

1. Si les coefficients de la première colonne de \(A\) sont tous nuls, alors \(A\) n’est pas inversible.
2. Si l’un au moins des coefficients de la première colonne de \(A\) n’est pas nul, alors :
   • si \(a_{1,1}=0\), on échange \(L_1\) avec une ligne \(L_i\) dont le premier coefficient n’est pas nul (on suppose ensuite que \(a_{1,1}\neq 0\)) \(a_{1,1}\) est appelé premier pivot
   • pour tout entier \(i\) compris entre \(2\) et \(n\), on effectue l’opération élémentaire

     \[ L_i \leftarrow a_{1,1}\,L_i - a_{i,1}\,L_1 \]

     Ces opérations annulent tous les coefficients de la première colonne, sauf le premier.
   • on reproduit ensuite le raisonnement sur la sous-matrice formée par les \(n-1\) dernières colonnes et les \(n-1\) dernières lignes, et ainsi de suite jusqu’à obtenir une matrice triangulaire. Si la matrice triangulaire \(T\) ainsi obtenue (appelée réduite de Gauss de \(A\)) est inversible, c’est-à-dire si tous les coefficients diagonaux de \(T\) sont non nuls, alors \(A\) est inversible ; sinon, \(A\) n’est pas inversible.
3. Dans le cas où l’on aboutit à une équivalence du type

   \[ A = I_n A \ \Leftrightarrow\ T = P A \]

   où \(T\) est une matrice triangulaire inversible, on poursuit les opérations élémentaires sur les lignes de \(T\) et de \(P\), jusqu’à déduire de \(T\) la matrice \(I_n\) et aboutir à une équivalence de la forme

   \[ A = I_n A \ \Leftrightarrow\ I_n = Q A \]

   ce qui permet d’affirmer que

   \[ A^{-1}=Q \]

   Pour cela, on procède comme dans les premiers points mais en partant de la dernière colonne, puis l’avant-dernière, et ainsi de suite.

Ce long discours étant sans doute obscur, empressons nous de l’éclaircir par un exemple lumineux et étudions ainsi l’inversibilité des matrices

\(A=\begin{pmatrix}2&1&4\\4&2&8\\1&0&1\end{pmatrix}\) \qquad et \qquad \(B=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&1\\0&1&2\end{pmatrix}\)

• On a

  \begin{align*} A=I_3A &\Longleftrightarrow \begin{pmatrix}2&1&4\\4&2&8\\1&0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}A \\ &\Longleftrightarrow \begin{pmatrix}2&1&4\\0&0&0\\1&0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}A \qquad L_2\leftarrow L_2-2L_1 \\ &\Longleftrightarrow \begin{pmatrix}2&1&4\\1&0&1\\0&0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\-2&1&0\end{pmatrix}A \qquad L_2\leftrightarrow L_3 \\ &\Longleftrightarrow \underbrace{\begin{pmatrix}2&1&4\\0&-1&-2\\0&0&0\end{pmatrix}}_{T} = \begin{pmatrix}1&0&0\\-1&0&2\\-2&1&0\end{pmatrix}A \qquad L_2\leftarrow 2L_2-L_1 \end{align*}

  La matrice \(T\) est triangulaire et l’un au moins de ses coefficients diagonaux est nul, donc elle n’est pas inversible donc, comme elle est déduite de \(A\) par une suite d’opérations élémentaires sur les lignes, \(A\) n’est pas inversible

• De même, on a

  \begin{align*} B=I_3B &\Longleftrightarrow \begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&1\\0&1&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}B \\ &\Longleftrightarrow \begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&1\\0&1&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}B \qquad L_2\leftarrow L_2-L_1 \\ &\Longleftrightarrow \underbrace{\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}}_{T} = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\-1&1&0\end{pmatrix}B \qquad L_2\leftrightarrow L_3 \end{align*}

  La matrice \(T\) est triangulaire et ses coefficients diagonaux sont tous non nuls, donc elle est inversible, ce qui permet d’affirmer que \(B\) est inversible On poursuit donc les opérations, en faisant \(L_2\leftarrow L_2-2L_3\)

  \begin{align*} B=I_3B &\Longleftrightarrow \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0&0\\2&-2&1\\-1&1&0\end{pmatrix}B \qquad L_2\leftarrow L_2-2L_3 \\ &\Longleftrightarrow I_3 = \begin{pmatrix}-1&2&-1\\2&-2&1\\-1&1&0\end{pmatrix}B \qquad L_1\leftarrow L_1-L_2 \end{align*}

  ce qui nous permet de conclure que \(B\) est inversible et

  \[ B^{-1}=\begin{pmatrix}-1&2&-1\\2&-2&1\\-1&1&0\end{pmatrix} \]