Une semaine, un classique : 2026-W14 - stephanepreteseille.com

Trois questions de cours pour te lancer

Teste ton cours en répondant aux questions suivantes, à l’oral ou en écrivant ta réponse sur une feuille. Ensuite, envoie une photo de ta réponse et demande à l’IA d’analyser ce qui est juste, ce qui manque et comment t’améliorer.

Soit f une fonction bijective, strictement croissante et de classe \( \mathcal{C}^1 \) de \( ]a,b[ \) dans \( ]\alpha,\beta[ \).

Quelles propriétés de \( f^{-1} \) peut-on déduire de celles de \( f \) (continuité, dérivabilité, classe, monotonie, limites) ?

Glisse-dépose ta photo ici
ou clique pour choisir un fichier

Voir un corrigé possible

\(f^{-1}\) est définie sur \(]\alpha,\beta[\) et à valeurs dans \(]a,b[\).
\(f^{-1}\) est continue sur \(]\alpha,\beta[\).
\(f^{-1}\) est strictement croissante sur \(]\alpha,\beta[\).
Pour tout \(y_0\in]\alpha,\beta[\), en posant \(x_0=f^{-1}(y_0)\), \(f^{-1}\) est dérivable en \(y_0\) si et seulement si \(f\) est dérivable en \(x_0\) et \(f'(x_0)\neq0\). Dans ce cas

\( (f^{-1})'(y_0)=\dfrac{1}{f'(x_0)}=\dfrac{1}{(f'\circ f^{-1})(y_0)} \)

Si \(f'\) ne s'annule pas sur \(]a,b[\), alors \(f^{-1}\) est de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur \(]\alpha,\beta[\).
Pour tout \(x_0\in]a,b[\) et tout \(y_0\in]\alpha,\beta[\)

\( \lim_{x\to x_0} f(x)=y_0 \Rightarrow \lim_{y\to y_0} f^{-1}(y)=x_0 \)

Donner la définition de l'équivalence de deux suites.
À quelle condition peut-on dire que si la suite \(u\) converge vers \(\ell\) alors \(u_n\sim\ell\) ?

Glisse-dépose ta photo ici
ou clique pour choisir un fichier

Voir un corrigé possible

Soit \(u\) et \(v\) deux suites réelles.
- Définition. On dit que \(u\) et \(v\) sont équivalentes, et on note \(u_n \sim v_n\), s'il existe une suite \((h_n)\) convergeant vers \(1\) et un entier naturel \(n_0\) tels que :
\( \forall n \geqslant n_0,\ u_n = h_n v_n \)
- Propriété. Si la suite \(v\) ne s'annule pas (au moins à partir d'un certain rang) alors :
\( u_n \sim v_n \Longleftrightarrow \lim_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n} = 1 \)
Soit \(u\) une suite réelle convergeant vers un réel \(\ell \in \mathbb{R}\).
- Si \(\ell \neq 0\), alors \(u_n \sim \ell\).
- Si \(\ell = 0\), on ne peut en général pas en déduire un équivalent de \(u\) : noter que la définition de l'équivalence implique que seules les suites stationnaires nulles sont équivalentes à la suite nulle.

Théorème de prolongement des inégalités

Glisse-dépose ta photo ici
ou clique pour choisir un fichier

Voir un corrigé possible

Si \( ( a_n) \) et \((b_n) \) sont deux suites réelles vérifiant :\[ \forall n \in\mathbb{N},\ a_n\leqslant b_n \] et si : \[ \lim_{n \to +\infty} a_n = \ell \text{ et } \lim_{n \to +\infty} b_n= \ell' \] alors : \[ \ell \leqslant \ell' \]

Mini-exercices : vérifie que les bases sont maîtrisées

Quelques exercices rapides pour passer du cours à l’action. L’objectif : réfléchir, répondre à la question, puis laisser l’IA te dire où tu en es et comment progresser.

Soit \( (u_n) \) une suite réelle strictement positive convergeant vers une limite \( \ell \).

Étudier la limite de la suite \( (u_n^n)_{n\in\mathbb{N}} \) dans les cas suivants :

\( \ell<1 \)
\( \ell>1 \)
\( \ell=1 \)

On justifiera la réponse.

Glisse-dépose ta photo ici
ou clique pour choisir un fichier

Voir un corrigé possible

Supposons \( \ell<1 \). Par définition de la limite, il existe alors un entier naturel \( n_0 \) tel que :
\[\forall q >\ell, \ \forall n \geqslant n_0,\ u_n \leqslant q\]
Comme la suite \(u\) est positive et en prenant \( q = \frac{\ell +1}{2} \) (qui vérifie \( \ell < q < 1 \) car \( \ell <1\)), on a alors :
\[\forall n \geqslant n_0,\ 0 \leqslant u_n \leqslant q\]
On en déduit :
\[\forall n \geqslant n_0,\ 0 \leqslant u_n^n \leqslant q^n\]
Or \(0 \leqslant q <1\) donc :
\[\lim_{n \to + \infty} q^n = 0\]
et ainsi, d'après le théorème de l'encadrement :
\[\lim_{n \to + \infty} u_n^n = 0\]
Supposons \( \ell>1 \). En prenant \( q=\frac{\ell+1}{2} \) (qui vérifie \( 1<q<\ell \)) on a alors, par définition de la limite, l'existence d'un entier naturel \( n_0 \) tel que :
\[\forall n \geqslant n_0,\ u_n \geqslant q\]
On en déduit :
\[\forall n \geqslant n_0,\ u_n^n \geqslant q^n\]
Or \(q>1\) donc :
\[\lim_{n \to + \infty} q^n = +\infty\]
et ainsi, d'après le théorème de prolongement des inégalités :
\[\lim_{n \to + \infty} u_n^n = +\infty\]
Supposons maintenant \( \ell = 1 \). Dans ce cas aucune conclusion n'est possible dans le cas général et, pour étudier la limite de \( u_n^n \), on écrit en général \( u_n^n = \exp(n \ln(u_n)) \) puis on cherche un équivalent de \( n \ln(u_n) \). On peut ainsi identifier plusieurs exemples notables.
- Si \( u_n = 1+ \frac{1}{n^2} \) alors :
  \[n \ln(u_n) \sim \frac{1}{n}\]
  donc
  \[\lim_{n \to + \infty} n \ln(u_n) =0\]
  et
  \[\lim_{n \to + \infty} u_n^n = 1\]
- Si \( u_n = 1+ \frac{1}{n} \) alors
  \[n \ln(u_n) \sim 1\]
  et
  \[\lim_{n \to + \infty} u_n^n = \mathrm{e}\]
- Si \( u_n = 1- \frac{1}{\sqrt{n}} \) alors
  \[n \ln(u_n) \sim -\sqrt{n}\]
  et
  \[\lim_{n \to + \infty} u_n^n = 0\]
- Si \( u_n = 1+ \frac{1}{\sqrt{n}} \) alors
  \[n \ln(u_n) \sim \sqrt{n}\]
  et
  \[\lim_{n \to + \infty} u_n^n = +\infty\]

Déterminer un équivalent lorsque \(n\to+\infty\) de

\( u_n=\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)^n-1 \)

Glisse-dépose ta photo ici
ou clique pour choisir un fichier

Voir un corrigé possible

On a :

\[\forall n \in \mathbb{N}^*,\ 1+\dfrac{1}{n^2}>0\]

donc :

\[\forall n \in \mathbb{N}^*,\ u_n = \exp\! \left( n \ln \! \left( 1+\dfrac{1}{n^2} \right) \right) - 1\]

De plus on sait que :

\[\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} = 0 \quad \text{et} \quad \ln(1+t) \underset{t\to 0} \sim t\]

donc :

\[\ln \! \left( 1+\dfrac{1}{n^2} \right) \sim \frac{1}{n^2}\]

et :

\[n \ln \! \left( 1+\dfrac{1}{n^2} \right) \sim \frac{1}{n}\]

Il en découle :

\[\lim_{n \to + \infty} n \ln \! \left( 1+\dfrac{1}{n^2} \right) = 0\]

Or

\[\mathrm{e}^x -1 \underset{x\to 0} \sim x\]

donc :

\[u_n \sim n \ln \! \left( 1+\dfrac{1}{n^2} \right)\]

et :

\[u_n \sim \frac{1}{n}\]

Calculer la limite lorsque \(n\to+\infty\) de

\( u_n=(\mathrm e^n-1)^{\frac{1}{n}} \)

Glisse-dépose ta photo ici
ou clique pour choisir un fichier

Voir un corrigé possible

La puissance dépend de \(n\), donc on utilise l'écriture exponentielle :

\[\forall n \in \mathbb{N}^*,\ \mathrm{e}^n - 1 >0\]

donc

\[\forall n \in \mathbb{N}^*,\ u_n = \exp\! \left( \frac{\ln(\mathrm{e}^n-1)}{n} \right)\]

Or

\[\begin{align*}\forall n \in \mathbb{N}^*,\ \ln(\mathrm{e}^n - 1) &= \ln\! \left( \mathrm{e}^n \left( 1- \mathrm{e}^{-n} \right) \right) \\\\&= n + \ln \! \left( 1- \mathrm{e}^{-n} \right)\end{align*}\]

d'où

\[\forall n \in \mathbb{N}^*,\ \frac{\ln(\mathrm{e}^n-1)}{n} = 1+ \frac{1}{n} \, \ln \! \left( 1- \mathrm{e}^{-n} \right)\]

et

\[\lim_{n \to + \infty} \frac{\ln(\mathrm{e}^n-1)}{n} = 1\]

Par continuité de l'exponentielle :

\[\lim_{n \to + \infty} u_n = \mathrm{e}\]

Un exercice sur un thème classique pour t’entraîner

Place maintenant tout en contexte avec un exercice d’annales choisi pour sa difficulté raisonnable et sa forte valeur d’entraînement. C’est l’occasion de tester ta compréhension, de te confronter à une vraie question de concours, et de profiter de l’aide de l’IA si tu en as besoin.