On commence toujours par vérifier si la somme correspond à une loi connue stable par addition.

Certaines familles de lois conservent leur nature lorsqu’on additionne des variables aléatoires indépendantes de même type. La loi de la somme est alors connue immédiatement, sans calcul de probabilités.

Cas classiques.

• Si \(X_1,\dots,X_n\) sont indépendantes et de même loi de Bernoulli \(\mathcal{B}(p)\), alors :

  \[ X_1+\cdots+X_n \sim \mathcal{B}(n,p) \]

• Si \(X_1,\dots,X_n\) sont indépendantes et de lois binomiales respectives \(\mathcal{B}(m_1,p),\dots,\mathcal{B}(m_n,p)\), alors :

  \[ X_1+\cdots+X_n \sim \mathcal{B}(m_1+\cdots+m_n,p) \]

• Si \(X_1,\dots,X_n\) sont indépendantes et de lois de Poisson respectives \(\mathcal{P}(\lambda_1),\dots,\mathcal{P}(\lambda_n)\), alors :

  \[ X_1+\cdots+X_n \sim \mathcal{P}(\lambda_1+\cdots+\lambda_n) \]

Méthode de rédaction.

On identifie la structure probabiliste, on vérifie les hypothèses (indépendance et paramètres compatibles), puis on conclut directement en citant la stabilité de la loi.

Erreur classique.

• Penser que la loi binomiale est toujours stable par addition : les paramètres doivent être compatibles (même paramètre \(p\)).
• Oublier de vérifier l’indépendance des variables.

Soient \(X_1,\dots,X_n\) des variables aléatoires indépendantes, toutes de même loi de Poisson de paramètre \(1\).

Déterminer la loi de la variable aléatoire \( S_n \) définie par :

\[ S_n=X_1+\cdots+X_n \]

Les variables \(X_1,\dots,X_n\) sont indépendantes et suivent des lois de Poisson de paramètres respectifs \(1,\dots,1\).

Or la somme de variables de Poisson indépendantes suit une loi de Poisson dont le paramètre est la somme des paramètres.

Donc :

\[ S_n\sim\mathcal{P}(1+\cdots+1)=\mathcal{P}(n) \]

Conclusion.

La variable aléatoire \(S_n\) suit la loi de Poisson de paramètre \(n\).

Si aucune loi stable n’est identifiable, on vérifie si les variables sont indépendantes.

Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires discrètes définies sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) et supposées indépendantes.

Les valeurs possibles de la somme sont :

\[ (X+Y)(\Omega)=\{\, i+j,\ (i,j)\in X(\Omega)\times Y(\Omega)\,\} \]

Pour déterminer la loi de \(X+Y\), on applique la formule des probabilités totales avec le système complet d’événements \(\big([X=i]\big)_{i\in X(\Omega)}\).

Soit \(k\in (X+Y)(\Omega)\). Alors :

\[ \mathbb P(X+Y=k) =\sum_{i\in X(\Omega)} \mathbb P\big([X=i]\cap [Y=k-i]\big) \]

Comme \(X\) et \(Y\) sont indépendantes :

\[ \mathbb P(X+Y=k) =\sum_{i\in X(\Omega)} \mathbb P(X=i)\,\mathbb P(Y=k-i) \]

Méthode de rédaction.

En pratique :

• On fixe une valeur \(k\).
• On détermine tous les couples possibles \((i,j)\) tels que \(i\in X(\Omega)\), \(j\in Y(\Omega)\) et \(i+j=k\).
• On somme les probabilités correspondantes.

Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi géométrique de paramètre \(p\).

Déterminer la loi de la variable aléatoire \( S \) définie par :

\[ S=X+Y \]

Les variables \(X\) et \(Y\) prennent leurs valeurs dans \( \mathbb{N}^* \) et, pour tout \(i\in\mathbb{N}^*\), on a :

\[ \mathbb P(X=i)=p(1-p)^{i-1} \quad\text{et}\quad \mathbb P(Y=i)=p(1-p)^{i-1} \]

L’ensemble des valeurs prises par \(S\) est donc (par indépendance de \( X\) et \( Y \)) \( \mathbb{N} \setminus \{ 0,1 \}\).

Fixons donc \(k\ge 2\). On applique la formule des probabilités totales avec le système complet d’événements \(\big([X=i]\big)_{i\in\mathbb{N}^*}\).

\[ \mathbb P(S=k) =\sum_{i=1}^{+\infty}\mathbb P\big([X=i]\cap [Y=k-i]\big) \]

Comme \(X\) et \(Y\) sont indépendantes :

\[ \mathbb P(S=k) =\sum_{i=1}^{+\infty}\mathbb P(X=i)\,\mathbb P(Y=k-i) \]

Or l’événement \([Y=k-i]\) est possible seulement si \(k-i\ge1\), c’est-à-dire \(i\le k-1\). Ainsi tous les autres termes sont nuls et la somme se réduit à :

\[ \mathbb P(S=k) =\sum_{i=1}^{k-1}\mathbb P(X=i)\,\mathbb P(Y=k-i) \]

On obtient alors :

\begin{align*} \mathbb P(S=k) &=\sum_{i=1}^{k-1} p(1-p)^{i-1}\times p(1-p)^{k-i-1} \\ &=\sum_{i=1}^{k-1} p^2(1-p)^{k-2} \end{align*}

La somme comporte \(k-1\) termes tous égaux, donc :

\[ \mathbb P(S=k) =(k-1)p^2(1-p)^{k-2} \]

Conclusion.

Pour tout entier \(k\ge 2\),

\[ \mathbb P(X+Y=k)=(k-1)p^2(1-p)^{k-2} \]

On a ainsi déterminé explicitement la loi de \(X+Y\).

Si les variables ne sont pas indépendantes, la méthode précédente ne s’applique plus.

On doit alors utiliser la loi conjointe du couple \((X,Y)\).

Soit \(k\) une valeur prise par \(X+Y\). Pour déterminer \(\mathbb P(X+Y=k)\), on décompose l’événement \([X+Y=k]\) en événements disjoints :

\[ [X+Y=k]=\bigcup_{i+j=k}\big([X=i]\cap [Y=j]\big) \]

On en déduit :

\[ \mathbb P(X+Y=k)=\sum_{i+j=k}\mathbb P(X=i,Y=j) \]

Remarque importante.

Cette situation est très rare dans les sujets de concours. Lorsque les variables ne sont pas indépendantes, la loi conjointe du couple \((X,Y)\) est toujours fournie explicitement.

Une urne contient deux boules blanches et une boule noire. On tire successivement deux boules sans remise.

On définit :

• la variable aléatoire \( X\) prenant la valeur \( 1 \) si la première boule tirée est blanche, \( 0 \) sinon,
• la variable aléatoire \( Y\) prenant la valeur \( 1 \) si la première boule tirée est blanche, \( 0 \) sinon.

Déterminer la loi de \( S=X+Y \).

Les variables aléatoires \(X\) et \(Y\) ne sont pas indépendantes (tirage sans remise).

On détermine la loi du couple \((X,Y)\) en utilisant un raisonnement conditionnel.

• L’événement \([X=0]\cap[Y=0]\) se réalise si et seulement si on obtient deux boules noires. Or les tirages sont effectués sans remise et l’urne ne contient qu’une seule boule noire, donc cet événement est impossible, et :

  \[ \mathbb P(X=0,Y=0)=0 \]

• Calcul de \(\mathbb P(X=0,Y=1)\).

  On a \(\mathbb P(X=0)=\dfrac{1}{3}\neq 0\) (car on tire une boule au hasard parmi trois, dont une seule est noire), donc on peut conditionner par l’événement \([X=0]\).

  \[ \mathbb P(X=0,Y=1)=\mathbb P(X=0)\,\mathbb P_{X=0}(Y=1) \]

  Or, sachant que la première boule tirée est noire, il ne reste que deux boules blanches dans l’urne, donc :

  \[ \mathbb P_{X=0}(Y=1)=1 \]

  D’où :

  \[ \mathbb P(X=0,Y=1)=\frac{1}{3}\times 1=\frac{1}{3} \]

• Calcul de \(\mathbb P(X=1,Y=0)\).

  On a \(\mathbb P(X=1)=\dfrac{2}{3}\neq 0\), donc :

  \[ \mathbb P(X=1,Y=0)=\mathbb P(X=1)\,\mathbb P_{X=1}(Y=0) \]

  Or, sachant que la première boule tirée est blanche, il reste une boule blanche et une boule noire, donc, par équiprobabilité :

  \[ \mathbb P_{X=1}(Y=0)=\frac{1}{2} \]

  D’où :

  \[ \mathbb P(X=1,Y=0)=\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{3} \]

• Calcul de \(\mathbb P(X=1,Y=1)\).

  On a \(\mathbb P(X=1)=\dfrac{2}{3}\neq 0\), donc :

  \[ \mathbb P(X=1,Y=1)=\mathbb P(X=1)\,\mathbb P_{X=1}(Y=1) \]

  Or, sachant que la première boule tirée est blanche, il reste une boule blanche et une boule noire, donc, par équiprobabilité :

  \[ \mathbb P_{X=1}(Y=1)=\frac{1}{2} \]

  D’où :

  \[ \mathbb P(X=1,Y=1)=\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{3} \]

On obtient ainsi la loi conjointe de \((X,Y)\) :

\[ \begin{array}{c|c | c} & Y=0 & Y=1 \\\hline X=0 & 0 & \dfrac{1}{3} \\ \hline X=1 & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} \end{array} \]

Les valeurs prises par \(S\) sont \(1 \) et \( 2\).

Calcul des probabilités.

\begin{align*} \mathbb P(S=1)=\mathbb P(X=1,Y=0)+\mathbb P(X=0,Y=1) =\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3} \\ \mathbb P(S=2)=\mathbb P(X=1,Y=1)=\frac{1}{3} \end{align*}

Conclusion.

La loi de \(S=X+Y\) est donnée par :

\[ \begin{array}{c|ccc} k & 1 & 2 \\\hline \mathbb P(S=k) & \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \end{array} \] \]