Comment montrer que deux sous-espaces vectoriels sont supplémentaires ?
En dimension finie, on dispose de trois stratégies efficaces : travailler sur des bases, utiliser la dimension, ou raisonner directement avec la définition.
Montrer que deux sous-espaces vectoriels sont supplémentaires est une question classique d’algèbre linéaire.
On cherche à établir une décomposition
\[ E = F \oplus G \]
Le but de cette page est de fournir une démarche systématique, selon les informations disponibles (bases, dimensions, ou définition).
Les questions réflexes
Pour montrer que deux sous-espaces vectoriels sont supplémentaires, on se pose systématiquement les questions suivantes.
Ai-je une base de \(F\) et de \(G\) ?
Démarche
Si l’on connaît une base de \(F\) et une base de \(G\), on peut souvent conclure rapidement.
On concatène une base \((f_1,\dots,f_p)\) de \(F\) et une base \((g_1,\dots,g_q)\) de \(G\), puis on montre que la famille obtenue est une base de \(E\).
Concrètement, il faut établir :
\[ (f_1,\dots,f_p,g_1,\dots,g_q)\ \text{est une base de }E \]
Dans ce cas, tout vecteur de \(E\) admet une décomposition unique sous la forme \(f+g\) avec \(f\in F\) et \(g\in G\), donc \(E=F\oplus G\).
Critère par bases
Si \((f_1,\dots,f_p)\) est une base de \(F\) et \((g_1,\dots,g_q)\) une base de \(G\), alors :
\[ E = F \oplus G \]
si et seulement si la famille \((f_1,\dots,f_p,g_1,\dots,g_q)\) est une base de \(E\).
Exemple
Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère :
\[ F=\operatorname{Vect}(e_1,e_2) \qquad G=\operatorname{Vect}(e_3) \]
La famille \((e_1,e_2,e_3)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\), donc :
\[ \mathbb{R}^3 = F \oplus G \]
\(E\), \(F\) et \(G\) sont-ils de dimension finie connue ?
Démarche
Si \(E\) est de dimension finie et si les dimensions de \(E\), \(F\) et \(G\) sont accessibles, on peut utiliser la dimension.
Le critère pratique est :
\[ F\cap G = \{0\} \qquad\text{et}\qquad \dim(F)+\dim(G)=\dim(E) \]
Dans ce cas, on conclut que \(E=F\oplus G\).
En pratique, on commence par prouver \(F\cap G=\{0\}\) (c’est souvent une résolution d’équation), puis on vérifie l’égalité des dimensions.
Critère dimensionnel
Si \(E\) est de dimension finie, alors :
\[ E = F \oplus G \]
si et seulement si :
\[ F\cap G=\{0\} \qquad\text{et}\qquad \dim(F)+\dim(G)=\dim(E) \]
Exemple
Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère un plan \(F\) et une droite \(G\) tels que \(F\cap G=\{0\}\).
Comme :
\[ \dim(F)=2 \qquad \dim(G)=1 \qquad \dim(\mathbb{R}^3)=3 \]
on a \(\dim(F)+\dim(G)=\dim(E)\), donc :
\[ \mathbb{R}^3 = F \oplus G \]
Puis-je utiliser la définition ?
Démarche
Si l’on n’a ni bases explicites ni dimensions faciles à exploiter, on revient à la définition :
\[ E=F\oplus G \quad\Longleftrightarrow\quad E=F+G \ \text{et}\ F\cap G=\{0\} \]
Pour montrer \(E=F+G\), on prend \(x\in E\) et l’on cherche \(f\in F\) et \(g\in G\) tels que \(x=f+g\).
Le plus souvent, on procède par analyse–synthèse : on suppose qu’une décomposition existe, on déduit des conditions sur \(f\) et \(g\), puis on construit effectivement \(f\) et \(g\).
Enfin, on montre l’unicité en prouvant que \(F\cap G=\{0\}\).
Définition
Deux sous-espaces \(F\) et \(G\) de \(E\) sont supplémentaires si :
\[ E=F+G \qquad\text{et}\qquad F\cap G=\{0\} \]
Dans ce cas, toute écriture \(x=f+g\) avec \(f\in F\) et \(g\in G\) est unique.
Exemple
Pour montrer \(E=F+G\), on fixe \(x\in E\) et on cherche explicitement \(f\in F\) et \(g\in G\) tels que \(x=f+g\).
Pour montrer \(F\cap G=\{0\}\), on prend \(u\in F\cap G\) et on montre que nécessairement \(u=0\).