Avant de commencer des calculs inutiles, quand on veut savoir si une variable aléatoire \( X \) admet une espérance, il faut commencer par s’intéresser au nombre de valeurs qu’elle prend.

Si \( X \) prend un nombre fini de valeurs, alors elle admet toujours une espérance.

On lance un dé équilibré et on note \( X \) le nombre obtenu.

\[ \mathbb P(X=k)=\frac16 \qquad \text{pour } k\in\{1,2,3,4,5,6\} \]

La variable aléatoire \( X \) prend un nombre fini de valeurs, donc son espérance existe et vaut

\[ \mathbb E(X)=\sum_{k=1}^6 k\,\mathbb P(X=k) =\frac{1+2+3+4+5+6}{6} =\frac{7}{2} \]

Lorsqu’une variable aléatoire \( X \) peut s’écrire comme une somme finie de variables aléatoires simples, l’existence de son espérance se déduit immédiatement de la linéarité de l’espérance.

En effet, si

\[ X=X_1+\cdots+X_n \]

où \( X_1,\dots,X_n \) sont des variables aléatoires admettant une espérance, alors \( X \) admet une espérance et

\[ \mathbb{E}(X)=\mathbb{E}(X_1)+\cdots+\mathbb{E}(X_n) \]

Erreur classique.

Dire que les variables aléatoires \( X_1,\dots,X_n \) sont indépendantes, ce qui n’est pas nécessaire pour utiliser la linéarité de l’espérance.

On effectue une suite de lancers indépendants de deux pièces équilibrées \(A\) et \(B\).

On note \(X\) (respectivement \(Y\)) la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués lorsque la pièce \(A\) (resp. la pièce \(B\)) donne pile pour la première fois.

Montrer que \(Z=X+Y\) admet une espérance.

Corrigé.

Par définition, \(X\) (resp. \(Y\)) est le temps d’attente d’un premier succès (obtenir pile) dans une suite d’épreuves indépendantes et de même probabilité de succès \(1/2\). Ainsi, \(X\) et \(Y\) suivent une loi géométrique de paramètre \(1/2\).

Il en découle que \(X\) et \(Y\) admettent une espérance. Par linéarité de l’espérance, la variable aléatoire \(Z=X+Y\) admet une espérance et

\[ \mathbb{E}(Z)=\mathbb{E}(X)+\mathbb{E}(Y) \]

Lorsque la variable aléatoire \( X \) peut s’écrire comme le produit de deux variables aléatoires indépendantes \( Y \) et \( Z\), alors, si \( Y \) et \( Z \) admettent une espérance, \( X \) admet une espérance.

On a de plus, dans ce cas

\[ \mathbb{E}(YZ)=\mathbb{E}(Y) \, \mathbb{E}(Z) \]

On considère deux suites indépendantes de lancers d’une pièce équilibrée.

Sur la première suite, on note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires pour obtenir pile pour la première fois. Sur la seconde suite, on note \(Y\) la variable aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires pour obtenir pile pour la première fois.

Les variables aléatoires \(X\) et \(Y\) sont indépendantes et suivent toutes deux une loi géométrique de paramètre \(1/2\). Elles admettent donc une espérance.

On pose

\[ Z=XY \]

Comme \(X\) et \(Y\) sont indépendantes et admettent une espérance, la variable aléatoire \(Z\) admet une espérance et

\[ \mathbb{E}(Z)=\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y) \]

Lorsque l’on cherche à établir l’existence de l’espérance d’une variable aléatoire \( X \) et qu'on ne connaît pas sa loi, une des premières questions à se poser est de savoir si on peut la majorer (en valeur absolue) par une variable aléatoire \( Y \) admettant une espérance.

Dans ce cas en effet, le théorème de domination assure que \( X \) admet une espérance.

En particulier, si \( X \) est bornée, alors \( X \) admet une espérance.

Soit \(X_1,\dots,X_n\) des variables aléatoires définies sur un même espace probabilité \( (\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}) \), admettant toutes une espérance.

On pose

\[ X=\max(X_1,\dots,X_n) \]

Montrer que \(X\) admet une espérance.

Soit \( \omega \in \Omega\). Par définition, il existe \( k \in \left[ \! \left[ 1,n\right] \! \right] \) tel que : \[ X(\omega) = X_k(\omega) \] et alors : \[ \left| X(\omega) \right| = \left| X_k(\omega) \right| \leqslant \sum_{i=1}^n \left| X_i(\omega) \right| \] On a ainsi : \[ \left| X\right| \leqslant \sum_{i=1}^n \left| X_i \right| \] Or \(X_1,\dots,X_n\) admettent toutes une espérance, donc les variables aléatoires \(|X_1|,\dots,|X_n|\) admettent une espérance, ainsi que la variable aléatoire \( \displaystyle \sum_{i=1}^n \left| X_i \right| \) donc, d'après le théorème de domination, \( X\) admet une espérance.

Si \( X \) est une variable aléatoire discrète, il existe une suite \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) de réels deux à deux distincts telle que \( X \) prenne ses valeurs dans \(\{x_n,\ n\in\mathbb{N}\}\).

Avec ces notations, pour montrer que \( X \) admet une espérance, il suffit de prouver que la série

\[ \sum x_n\,\mathbb{P}(X=x_n) \]

est absolument convergente.

Pour cela, on peut utiliser les méthodes usuelles d’étude de la nature d’une série.

Soit \( X \) une variable aléatoire discrète à valeurs dans \(\mathbb{N}^*\), dont la loi est donnée par

\[ \forall n\in\mathbb{N}^*,\ \mathbb{P}(X=n)=\frac{1}{n(n+1)} \]

Étudier l’existence de l’espérance de \( X \).

Pour étudier l’existence de l’espérance de \( X \), on étudie la convergence absolue de la série à termes positifs \(\sum n\,\mathbb{P}(X=n)\).

On commence par simplifier le terme général. On a

\[ \begin{align*} \forall n\in\mathbb{N}^*,\ n\,\mathbb{P}(X=n) &=n\left(\frac{1}{n(n+1)}\right)\\ &=\frac{1}{n+1} \end{align*} \]

On en déduit

\[ n\,\mathbb{P}(X=n)\sim \frac{1}{n} \]

Or la série \(\sum \frac{1}{n}\) est une série de Riemann divergente. Par comparaison de séries à termes positifs, la série \(\sum n\,\mathbb{P}(X=n)\) est divergente.

La variable aléatoire \( X \) n’admet donc pas d’espérance.

Il arrive que la loi de \( X \) ne soit pas connue directement, mais que \( X \) puisse s’écrire comme une fonction d’une variable aléatoire \( Y \) dont la loi est connue.

Dans ce cas, on utilise le théorème de transfert pour étudier l’existence de l’espérance de \( X \).

Soit \( X \) une variable aléatoire discrète suivant la loi géométrique de paramètre \( p\in\left]0,1\right[ \).

Montrer que la variable aléatoire

\[ Y=\frac{1}{X} \]

admet une espérance.

La variable aléatoire \( X \) est discrète à valeurs dans \(\mathbb{N}^*\) et sa loi est connue. La variable aléatoire \( Y \) s’écrit comme une fonction de \( X \), ce qui permet d’utiliser le théorème de transfert puisque la fonction \( n \mapsto \frac{1}{n} \) est bien définie sur \( \mathbb{N}^* \).

Pour étudier l’existence de l’espérance de \( Y \), on étudie la convergence absolue de la série à termes positifs

\[ \sum \frac{1}{n}\,\mathbb{P}(X=n) \]

Or on a

\[ \forall n\in\mathbb{N}^*,\ 0\leqslant \frac{1}{n}\,\mathbb{P}(X=n) \leqslant \mathbb{P}(X=n) \]

Or la série \(\sum \mathbb{P}(X=n)\) est une série convergente donc, par comparaison de séries à termes positifs, la série de terme général \(\dfrac{1}{n} \, \mathbb{P}(X=n)\) est convergente, donc absolument convergente car c'est une série à termes positifs.

La variable aléatoire \( Y \) admet une espérance.