Avant toute chose, quand on étudie la nature d'une intégrale impropre, on commence par déterminer l’ensemble sur lequel la fonction intégrée est continue afin d’identifier précisément les causes d’improprété de l’intégrale.

• Si \(f\) est continue sur \([a,+\infty[\), l’intégrale \(\displaystyle \int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t\) est impropre en \(+\infty\) uniquement.
• Si \(f\) est continue sur \(]-\infty,a]\), l’intégrale \( \displaystyle \int_{-\infty}^{a} f(t)\,\mathrm{d}t\) est impropre en \(-\infty\) uniquement.
• Si \(f\) est continue sur \([a,b[\), l’intégrale \( \displaystyle \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) est impropre en \(b\) uniquement.
• Si \(f\) est continue sur \(]a,b]\), l’intégrale \(\displaystyle \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) est impropre en \(a\) uniquement.
• Si \(f\) est continue sur \(]a,b[\) et sur \(]b,c[\), l’intégrale \( \displaystyle \int_a^c f(t)\,\mathrm{d}t\) est impropre en \(a\), \(b\) et \(c\).
• …

Si l’intégrale \( \displaystyle \int_a^c f(t)\,\mathrm{d}t\) est impropre en \(a\) et en \(c\) uniquement, on étudie séparément la convergence des intégrales \[ \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \quad \text{et} \quad \int_b^c f(t)\,\mathrm{d}t \] où \(b\) est un réel quelconque fixé dans \(]a,c[\).

Erreur classique

Ne pas identifier précisément tous les points d’impropreté avant de commencer l’étude.

Étudier la nature de l’intégrale \[ \int_0^1 \frac{e^x-1}{x}\,\mathrm{d}x. \]

La fonction \(f(x)=\dfrac{e^x-1}{x}\) est continue sur \(]0,1]\), donc l’intégrale est impropre en \(0\) uniquement.

On remarque que : \[ \lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}=1, \] donc \(f\) est prolongeable par continuité en \(0\).

L’intégrale est donc convergente.

Lorsque l’on étudie la nature d’une intégrale impropre, il est essentiel de commencer par chercher une éventuelle ressemblance avec une intégrale de référence, afin d’éviter des calculs inutiles.

On se souviendra en particulier que :

• Si \(\alpha \in \mathbb{R}\), l'intégrale \( \displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha} \) converge si et seulement si \( \alpha>1 \) (Riemann).
• Si \(\alpha \in \mathbb{R}\), l'intégrale \( \displaystyle \int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha} \) converge si et seulement si \( \alpha<1 \) (Riemann).
• Si \(\alpha \in \mathbb{R}\), l'intégrale \( \displaystyle \int_a^b \frac{\mathrm{d}t}{(t-a)^\alpha} \) converge si et seulement si \( \alpha<1 \) (Riemann).
• Si \(\alpha \in \mathbb{R}\), l'intégrale \( \displaystyle \int_a^b \frac{\mathrm{d}t}{(b-t)^\alpha} \) converge si et seulement si \( \alpha<1 \) (Riemann).
• Si \(a \in \mathbb{R}\), l'intégrale \( \displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-at}\,\mathrm{d}t \) converge si et seulement si \( a>0 \).
• L'intégrale \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2}\,\mathrm{d}t \) est convergente (et égale à \( 1 \), densité normale).
• L'intégrale \( \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{t^{\nu-1} e^{-t}}{\Gamma(\nu)}\,\mathrm{d}t \) est convergente (et égale à \( 1 \), densité gamma).

Si l’intégrale étudiée n’est pas exactement de ce type, on peut chercher à l’écrire comme combinaison linéaire d’intégrales de référence ou à s’y ramener par des transformations simples.

Erreur classique

Ne pas reconnaître une intégrale de référence et entreprendre des calculs longs et inutiles.

Étudier la nature de l’intégrale \[ \int_1^{+\infty} \left(\frac{1}{t^2}+e^{-t}\right)\,\mathrm{d}t. \]

On reconnaît une combinaison linéaire de deux intégrales de référence :

• \(\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2}\) est une intégrale de Riemann convergente car \(2>1\),
• \(\displaystyle \int_1^{+\infty} e^{-t}\,\mathrm{d}t\) est convergente car l’intégrale \(\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-t}\,\mathrm{d}t\) converge.

Les deux intégrales étant convergentes, l’intégrale étudiée est convergente.

Si les méthodes précédentes n’ont rien donné et si la fonction \(f\) est continue et positive sur \([a,b[\), pour étudier la nature de l’intégrale impropre \[ \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t, \] il est en général pertinent de chercher un équivalent simple de la fonction intégrée lorsque \(t \) tend vers \( b\).

En effet, si \(g\) est une fonction positive sur \([a,b[\) et si \[ f(t) \underset{t\to b}{\sim} g(t), \] alors les intégrales impropres \[ \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \quad \text{et} \quad \int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t \] sont de même nature.

La stratégie consiste donc à :

• déterminer un équivalent simple de \(f(t)\) lorsque \(t \) tend vers \( b\) (voir page méthodes de recherche d’équivalent),
• se ramener à une intégrale de référence.

Erreur classique

Utiliser un équivalent sans préciser le point vers lequel la variable tend.

Étudier la nature de l’intégrale \[ \int_1^{+\infty} \frac{t+\ln(t)}{t^3+1}\,\mathrm{d}t. \]

On pose \[ f(t)=\frac{t+\ln(t)}{t^3+1}. \] La fonction \(f\) est continue et positive sur \([1,+\infty[\). De plus on sait que \[ \ln(t) \underset{t\to +\infty}=o(t)\] donc :

Or l’intégrale \[ \int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2} \] est une intégrale de Riemann convergente (car \(2>1\)).

Les fonctions en présence étant continues et positives, l’intégrale étudiée est convergente.

Si la fonction \(f\) est continue et positive sur \([a,b[\), il peut être pertinent d’utiliser une comparaison avec une fonction de référence.

• Soit \(g\) une fonction continue et positive sur \([a,b[\) telle que \[ \forall t \in [a,b[, \quad 0 \leqslant f(t) \leqslant g(t). \] Si l’intégrale impropre \[ \int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t \] converge, alors l’intégrale impropre \[ \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \] converge.
• Soit \(g\) une fonction continue et positive sur \([a,b[\) telle que \[ \forall t \in [a,b[, \quad 0 \leqslant g(t) \leqslant f(t). \] Si l’intégrale impropre \[ \int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t \] diverge, alors l’intégrale impropre \[ \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \] diverge.

Erreur classique

Utiliser une comparaison sans préciser l’intervalle sur lequel les inégalités sont vérifiées.

Étudier la nature de l’intégrale \[ \int_0^{+\infty} \frac{e^{-t}}{t+1}\,\mathrm{d}t. \]

On pose \[ f(t)=\frac{e^{-t}}{t+1}. \] La fonction \(f\) est continue et positive sur \([0,+\infty[\).

Pour tout \(t\geqslant 0\), on a \(t+1 \geqslant 1\), donc :

Or l’intégrale \[ \int_0^{+\infty} e^{-t}\,\mathrm{d}t \] est convergente (car \(\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-at}\,\mathrm{d}t\) converge si et seulement si \(a>0\)).

On en déduit que l’intégrale \[ \int_0^{+\infty} \frac{e^{-t}}{t+1}\,\mathrm{d}t \] est convergente par comparaison.

Si la fonction \( f \) est continue et positive sur \([a,b[\) et si l’on parvient à montrer que \(f\) est négligeable en \( b \) devant une fonction \(g\) dont l’intégrale impropre est convergente, on peut conclure par comparaison.

Plus précisément, si l’on a \[ f(t) \underset{t\to b}= o(g(t)) \] alors la convergence de \[ \int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t \] entraîne celle de \[ \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t. \]

En pratique, on distingue deux situations usuelles.

• Intégrale impropre en \(+\infty\)

Si la fonction \( f \) est continue et positive sur \( [1,+\infty [ \), pour étudier la nature de \[ \int_1^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t, \] on peut étudier la limite de la fonction \(t^\alpha f(t)\) lorsque \(t \) tend vers \( +\infty\).

• S’il existe un réel \(\alpha > 1\) tel que \[ \lim_{t\to+\infty} t^\alpha f(t) = 0, \] alors \[ f(t) \underset{t \to +\infty}= o\!\left(\frac{1}{t^\alpha}\right), \] ce qui permet de prouver que l’intégrale impropre converge.
• S’il existe un réel \(\alpha \leqslant 1\) tel que \[ \lim_{t\to+\infty} t^\alpha f(t) = +\infty, \] alors \[ \frac{1}{t^\alpha} \underset{t \to + \infty} = o(f(t)), \] ce qui permet de prouver que l’intégrale impropre diverge.

• Intégrale impropre en \(0\)

Si la fonction \( f \) est continue et positive sur \( ]0,1 ] \), pour étudier la nature de \[ \int_0^1 f(t)\,\mathrm{d}t, \] on peut étudier la limite de la fonction \(t^\alpha f(t)\) lorsque \(t \) tend vers \( 0\).

• S’il existe un réel \(\alpha < 1\) tel que \[ \lim_{t\to 0} t^\alpha f(t) = 0, \] alors \[ f(t) \underset{t \to 0}= o\!\left(\frac{1}{t^\alpha}\right), \] ce qui permet de prouver que l’intégrale impropre converge.
• S’il existe un réel \(\alpha \geqslant 1\) tel que \[ \lim_{t\to 0} t^\alpha f(t) = +\infty, \] alors \[ \frac{1}{t^\alpha} \underset{t \to 0}= o(f(t)), \] ce qui permet de prouver que l’intégrale impropre diverge.

Erreur classique

Oublier que cette méthode nécessite que la fonction soit positive (au voisinage du point d’impropreté).

Étudier la nature de l’intégrale \[ \int_1^{+\infty} \frac{\ln(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t. \]

On pose \[ f(t)=\frac{\ln(t)}{t^2}. \] La fonction \(f\) est continue et positive sur \([1,+\infty[\). On utilise une négligeabilité :\[ \ln(t) \underset{t \to +\infty}=o(t^{1/2})\] donc :

Or \(\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^{3/2}}\) est une intégrale de Riemann convergente (car \(\frac{3}{2}>1\)).

On en déduit que l’intégrale \[ \int_1^{+\infty} \frac{\ln(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t \] est convergente.

Lorsque la fonction intégrée \(f\) n’est pas de signe constant, il peut être pertinent d’étudier la convergence de l’intégrale de \(|f|\).

On rappelle que :

• si l’intégrale impropre \[ \int_a^b |f(t)|\,\mathrm{d}t \] converge, alors l’intégrale impropre \[ \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \] converge,
• si l’intégrale impropre \[ \int_a^b |f(t)|\,\mathrm{d}t \] diverge, on ne peut rien conclure quant à la convergence de \[ \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t. \]

Pour étudier la convergence de \(\displaystyle \int_a^b |f(t)|\,\mathrm{d}t\), on revient ensuite aux méthodes précédentes (intégrales de référence, équivalent, comparaison, négligeabilité).

Attention

Étudier la convergence absolue n’a d’intérêt que si l’on souhaite prouver la convergence de l’intégrale.

Étudier la nature de l’intégrale \[ \int_1^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t. \]

On pose \[ f(t)=\frac{\sin(t)}{t^2}. \] La fonction \(f\) est continue sur \([1,+\infty[\) mais change de signe. On étudie donc la convergence de l’intégrale de \(|f|\).

Pour tout \(t \geqslant 1\), on a \[ \left|\frac{\sin(t)}{t^2}\right| \leqslant \frac{1}{t^2}. \]

Or l’intégrale \[ \int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2} \] est une intégrale de Riemann convergente.

On en déduit que l’intégrale \[ \int_1^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t \] est absolument convergente, donc convergente.

Dans certains cas, il est possible d’étudier directement la nature d’une intégrale impropre en calculant l’intégrale partielle associée.

On suppose que \(f\) est une fonction définie et continue sur \([a,b [\). On définit alors :

\[ \forall x \in \left]a,b \right[,\quad F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t. \]

On calcule ensuite explicitement \(F(x)\) à l’aide des méthodes usuelles de calcul d’intégrales sur un segment :

• recherche d’une primitive,
• intégration par parties,
• changement de variable.

Il s’agit alors d’étudier la limite de \(F(x)\) lorsque \(x\) tend vers \( b^-\).

• Si la fonction \(F\) admet une limite finie lorsque \(x\) tend vers \( b^-\), alors l’intégrale impropre \[ \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \] est convergente.
• Si la fonction \(F\) n’admet pas de limite finie lorsque \(x\) tend vers \( b^-\), alors l’intégrale impropre diverge.

Remarque

Il est rare que cette méthode soit utile quand on s'intéresse uniquement à la nature de l'intégrale (et pas à sa valeur).

Étudier la nature de l’intégrale impropre \[ \int_2^{+\infty} \frac{1}{t \left[\ln (t) \right]^2}\,\mathrm{d}t. \]

La fonction \[ F : t \mapsto \frac{1}{t \left[\ln (t) \right]^2} \] est définie et continue sur \([2,+\infty[\). On remarque de plus que \( f \) est de la forme \( \frac{u'}{u^2} \) (où \( u : t \mapsto \ln(t) \)) donc :

\begin{align*} \forall x \geqslant 2,\ \int_2^x \frac{1}{t \left[\ln (t) \right]^2}\,\mathrm{d}t &=\left[-\frac{1}{\ln t}\right]_2^x \\ &= \frac{1}{\ln (2)}-\frac{1}{\ln (x)}. \end{align*}

On en déduit : \[ \lim_{x\to + \infty} \int_2^x \frac{1}{t \left[\ln (t) \right]^2}\,\mathrm{d}t =\frac{1}{\ln (2)}. \]

donc l’intégrale \( \displaystyle \int_2^{+\infty} \frac{1}{t \left[\ln (t) \right]^2}\,\mathrm{d}t \) est convergente.