Avant toute chose, quand on s'intéresse à l'existence d'une espérance, il faut commencer par examiner si la variable aléatoire \( X \) est bornée.

Si \( X \) est bornée, alors elle admet une espérance.

Soit \( X \) une variable aléatoire à densité, admettant une densité \( f \) nulle en dehors de \([-2,3]\).

Justifier l'existence de l'espérance de \( X\).

\( f \) étant nulle en dehors de \([-2,3]\), on a :\[ \mathbb{P}(-2 \leqslant X \leqslant 3) = 1 \]

Ainsi la variable aléatoire \( X \) est bornée donc elle admet une espérance.

Lorsqu’une variable aléatoire \( X \) peut s’écrire comme une somme finie de variables aléatoires simples, l’existence de son espérance se déduit immédiatement de la linéarité de l’espérance.

En effet, si

\[ X=X_1+\cdots+X_n \]

où \( X_1,\dots,X_n \) sont des variables aléatoires admettant une espérance, alors \( X \) admet une espérance et

\[ \mathbb{E}(X)=\mathbb{E}(X_1)+\cdots+\mathbb{E}(X_n) \]

Erreur classique.

Dire que les variables aléatoires \( X_1,\dots,X_n \) sont indépendantes, ce qui n’est pas nécessaire pour utiliser la linéarité de l’espérance.

Soit \( X_1 \) et \( X_2 \) deux variables aléatoires suivant toutes deux une loi exponentielle.

On pose

\[ X=X_1+X_2 \]

Justifier l'existence de l'espérance de \( X\).

\( X_1 \) et \( X_2 \) suivent toutes deux une loi exponentielle, donc elles admettent une espérance. Il en découle que \( X_1+X_2 \) admet une espérance.

Lorsque la variable aléatoire \( X \) s’écrit comme le produit de variables aléatoires indépendantes admettant une espérance, l’existence de l’espérance de \( X \) est immédiate.

Si \( X=X_1X_2 \) avec \( X_1 \) et \( X_2 \) indépendantes et admettant une espérance, alors \( X \) admet une espérance.

Soit \( X_1 \) et \( X_2 \) deux variables aléatoires indépendantes suivant toutes deux une loi normale.

On pose

\[ X=X_1X_2 \]

Justifier l'existence de l'espérance de \( X\).

\( X_1 \) et \( X_2 \) suivent toutes deux une loi normale, donc elles admettent une espérance. De plus elles sont indépendantes, donc \( X_1X_2 \) admet une espérance.

Pour étudier l’existence de l’espérance de \( X\), il est souvent efficace de chercher à majorer \( \| X\| \).

S’il existe une variable aléatoire \( Y \) telle que \( |X|\leqslant Y \) et telle que \( Y \) admette une espérance, alors \( X \) admet alors une espérance.

Soit \( X_1,\dots,X_n \) des variables aléatoires positives et admettant une espérance.

On pose

\[ X=\max(X_1,\dots,X_n) \]

Montrer que la variable aléatoire \( X\) admet une espérance.

On peut remarquer que, comme \( X_1,\dots,X_n \) sont toutes positives : \[ 0 \leqslant X \leqslant \sum_{i=1}^n X_i \]

Or \( X_1,\dots,X_n \) ont toutes une espérance, donc la variable aléatoire \( X_1 + \cdots + X_n \) admet une espérance. D'après le théorème de domination, la variable aléatoire \( X \) admet donc une espérance.

Si les méthodes précédentes n'ont pas abouti et si on connaît une densité \( f \) de la variable aléatoire \( X \), l’existence de l’espérance s’étudie alors à l'aide de la définition.

La variable \( X \) admet une espérance si et seulement si l’intégrale

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} x\,f(x)\,\mathrm{d}x \]

converge absolument.

Soit \(X\) une variable aléatoire à densité, de densité

\( f : x \mapsto \dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-|x|} \)

Montrer que \(X\) admet une espérance.

On remarque d’abord que la fonction \(x \mapsto x f(x)\) est continue sur \(\mathbb{R}\) et imppaire car :

\( \forall x\in\mathbb{R},\quad (-x)f(-x)=\dfrac{-x}{2}\mathrm{e}^{-|{-x}|}=-\dfrac{x}{2}\mathrm{e}^{-|x|} = -x f(x) \)

Il suffit donc de prouver que l’intégrale

\[ \int_{0}^{+\infty} x\,f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{+\infty} x\,\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x \]

est convergente (car l'intégrande est positif).

Or on sait que l’intégrale

\[ \int_{0}^{+\infty} x\,\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x \]

est convergente, car on reconnaît l’espérance de la loi exponentielle de paramètre \(1\).

Donc \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} x\,\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x\) est convergente, ce qui implique que

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} |x|\,f(x)\,\mathrm{d}x \]

est convergente.

La variable aléatoire \(X\) admet donc une espérance.

Il arrive que la densité de \( X \) ne soit pas connue directement, mais que \( X \) puisse s’écrire comme une fonction d’une variable aléatoire \( Y \) dont la loi est connue.

Dans ce cas on peut utiliser le théorème de transfert pour étudier l'existence de l'espérance de \( X\).

Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

On veut montrer que \(X^4\) admet une espérance.

La variable \(X\) admet pour densité la fonction :

\( \varphi : x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-x^2/2} \)

On applique le théorème de transfert avec la fonction

\( g : x \mapsto x^4 \)

La fonction \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}\). Ainsi, \(X^4\) admet une espérance si et seulement si l’intégrale

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} |x|^4 \varphi (x)\,\mathrm{d}x \]

est convergente.

Or :

\[ \forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \times |x|^4 \varphi (x) = \dfrac{x^6}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-x^2/2} \]

On a donc, par croissances comparées : \[ \lim_{x\to +\infty} x^2 \times |x|^4 \varphi (x) = 0 \]

donc : \[ |x|^4 \varphi (x) \underset{+\infty} = o\! \left( \frac{1}{x^2} \right) \]

Or on sait que l'intégrale \( \dispplaystyle \int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x^2} \) est une intégrale de Riemann convergente donc, par comparaison d'intégrales de fonctions positives, l'intégrale \( \displaystyle \int_0^{+\infty} |x|^4 \varphi (x) \, \mathrm{d}x \) est convergente.

Enfin la fonction \( x \mapsto |x|^4 \varphi (x) \) est paire, donc on en déduit que l’intégrale

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} |x|^4 \varphi (x)\,\mathrm{d}x \]

est convergente, donc que la variable aléatoire \(X^4\) admet une espérance.