Quand on cherche à calculer la probabilité d’une union (finie ou infinie) d’événements, on commence par se demander si les événements considérés sont deux à deux disjoints.

• Si les événements \(A_1,A_2,\dots\) sont deux à deux disjoints, alors

  \[ \mathbb{P}\left(\bigcup_{n=1}^{+\infty} A_n\right)=\sum_{n=1}^{+\infty}\mathbb{P}(A_n) \]

Additionner les probabilités sans vérifier que les événements sont deux à deux disjoints.

On effectue une suite infinie de lancers indépendants d'un dé équilibré.

Pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), on définit l’événement

\(A_n=\text{« obtenir pour la première fois un 6 au }n\text{-ième lancer »}\)

Montrer que \( \displaystyle \mathbb{P} \!\left(\bigcup_{n=1}^{+\infty} A_n\right) = 1 \).

On peut tout d'abord remarquer que les événements de la famille \( (A_n) _{n \in \mathbb{N}^*} \) sont deux à deux disjoints, donc on a : \[ \mathbb{P}\left(\bigcup_{n=1}^{+\infty} A_n\right) = \sum_{n=1}^{+\infty} \mathbb{P} (A_n ) \]

De plus en notant, pour tout \( k \in \mathbb{N}^* \), \( S_k \) l'événement « on obtient 6 au lancer numéro \( k \) », on a : \[ A_1 = S_1 \] et : \[ \forall n \geqslant 2,\ A_n = \left( \bigcap_{k=1}^{n-1} \overline{S_k} \right) \cap S_n \]

Comme les lancers sont indépendants et comme le dé est équilibré, on a ainsi : \[ \mathbb{P}( A_1) = \frac{1}{6} \] et : \[ \forall n \geqslant 2,\ \mathbb{P}( A_n) = \left[ \prod_{k=1}^{n-1}\mathbb{P}( \overline{S_k}) \right] \mathbb{P}( S_n) = \left( \frac{5}{6} \right)^{n-1} \frac{1}{6} \]

On a alors : \begin{align*} \mathbb{P}\left(\bigcup_{n=1}^{+\infty} A_n\right) &= \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \frac{5}{6} \right)^{n-1} \frac{1}{6} \end{align*}

soit encore, en reconnaissant la somme d'une série géométrique convergente : \begin{align*} \mathbb{P}\left(\bigcup_{n=1}^{+\infty} A_n\right) &= \frac{1}{6} \times \frac{1}{1-\frac{5}{6}} \\ &= 1 \end{align*}

Quand on cherche à calculer la probabilité d’une intersection infinie d’événements, on commence par se demander si les événements considérés sont mutuellement indépendants.

• Si les événements \(A_1,A_2,\dots\) sont mutuellement indépendants, alors

  \[ \mathbb{P}\! \left(\bigcap_{n=1}^{+\infty} A_n\right)= \lim_{N \to + \infty} \mathbb{P}\! \left(\bigcap_{n=1}^{N} A_n\right)= \lim_{N \to + \infty} \prod _{n=1}^{N} \mathbb{P} (A_n) \]

Confondre indépendance deux à deux et indépendance mutuelle, ou utiliser la formule du produit sans justification.

On effectue une suite infinie de lancers indépendants d’un dé équilibré.

Pour tout \( k \in \mathbb{N}^* \), on note \( A_k \) l’événement :

\( A_k = \text{« on n’obtient pas 6 au lancer numéro } k \text{ »} \)

Montrer que :

\[ \mathbb{P}\!\left(\bigcap_{k=1}^{+\infty} A_k\right)=0 \]

Les événements \( (A_k)_{k \in \mathbb{N}^*} \) sont indépendants car les lancers sont indépendants, donc on a :

\[ \mathbb{P}\!\left(\bigcap_{k=1}^{+\infty} A_k\right) = \lim_{n\to +\infty} \mathbb{P}\!\left(\bigcap_{k=1}^{n} A_k\right)=\lim_{n\to +\infty}\prod_{k=1}^{n} \mathbb{P}(A_k) \]

Comme le dé est équilibré, on a donc :

\[ \mathbb{P}\!\left(\bigcap_{k=1}^{+\infty} A_k\right) = \lim_{n\to +\infty}\prod_{k=1}^{n} \frac{5}{6} = \lim_{n\to +\infty} \left( \frac{5}{6} \right)^n \]

Donc, comme \( \frac{5}{6} \) appartient à \( ]-1,1[ \) :

\[ \mathbb{P}\!\left(\bigcap_{k=1}^{+\infty} A_k\right) = 0 \]

Si l'on souhaite calculer la probabilité d'une union infinie ou d'une intersection infinie, le plus souvent on se demande s’il existe une relation d’inclusion entre ces événements, par exemple une suite croissante ou décroissante.

• Si \((A_n)\) est croissante, alors

  \[ \mathbb{P}\left(\bigcup_{n\geqslant 1} A_n\right)=\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(A_n) \]

• Si \((A_n)\) est décroissante, alors

  \[ \mathbb{P}\left(\bigcap_{n\geqslant 1} A_n\right)=\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(A_n) \]

Appliquer un passage à la limite sans avoir identifié une inclusion monotone.

On effectue une suite infinie de lancers indépendants d’une pièce équilibrée.

Pour tout \(k \in \mathbb{N}^*\), on note \(P_k\) (respectivement \( F_k \)) l’événement « le \(k\)-ième lancer donne Pile (resp. Face) ».

Calculer la probabilité de l’événement \(A\) : « on obtient un nombre fini de Pile ».

Dire que l’on obtient un nombre fini de Pile signifie qu’il existe un rang à partir duquel on n’obtient plus jamais Pile, donc qu’il existe \(n \in \mathbb{N}^*\) tel que tous les lancers à partir de \(n\) donnent Face. Ainsi :

\[ A=\bigcup_{n=1}^{+\infty}\ \bigcap_{k=n}^{+\infty} F_k \]

Pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), on pose alors :

\[ B_n=\bigcap_{k=n}^{+\infty}F_k \]

On a ainsi :\[A=\bigcup_{n=1}^{+\infty} B_n\]

On peut remarquer que :\[ \forall n \in \mathbb{N}^*,\ B_n = F_n \cap \left( \bigcap_{k=n+1}^{+\infty}F_k \right) \]

donc : \[ \forall n \in \mathbb{N}^*,\ B_n \subset B_{n+1} \]

Ainsi la suite \((B_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) est croissante donc, par continuité croissante de la probabilité :

\[ \mathbb{P}(A) = \mathbb{P}\!\left(\bigcup_{n=1}^{+\infty} B_n\right) = \lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}(B_n) \]

De plus, les lancers étant indépendants, les événements de la famille \((F_k)_{k\geqslant n}\) sont mutuellement indépendants, donc :

\[ \forall n \in \mathbb{N}^*,\ \mathbb{P}(B_{n}) = \lim_{N\to +\infty} \prod_{k=n}^{N}\mathbb{P}(F_k) \]

d'où, comme la pièce est équilibrée :

\[ \forall n \in \mathbb{N}^*,\ \mathbb{P}(B_{n}) = \lim_{N\to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{N-n+1} = 0 \]

On a ainsi :

\[ \mathbb{P}(A)=\lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}(B_n)=\lim_{n\to+\infty}0=0 \]