Si la série étudiée est exactement de ce type ou peut s’exprimer comme combinaison linéaire de séries de ce type, sa nature est immédiatement connue.

La présence du terme \(3^n\) fait penser aux séries géométriques et géométriques dérivées. On commence donc par remarquer que :

De plus, \(\frac{1}{3} \in ]-1,1[\), donc :

• la série \(\displaystyle \sum n \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\) est une série géométrique dérivée convergente,
• la série \(\displaystyle \sum \left(\frac{1}{3}\right)^n\) est une série géométrique convergente.

La série \[ \sum \frac{n+2}{3^n} \] est donc convergente comme combinaison linéaire de séries convergentes.

Avant toute méthode plus élaborée, on commence toujours par étudier la limite du terme général \(u_n\).

On sait que, si la série \(\sum u_n\) converge, alors \[ \lim_{n\to+\infty} u_n = 0. \]

Par conséquent :

• si \(\lim_{n\to+\infty} u_n \neq 0\), alors la série \(\sum u_n\) diverge,
• si \(\lim_{n\to+\infty} u_n = 0\), on ne peut pas conclure et il faut utiliser une autre méthode.

Erreur classique

Conclure que la série converge parce que \(\lim u_n = 0\).

Étudier la nature de la série \[ \sum \frac{n^2+1}{2n+3n^2}. \]

On pose \(u_n=\frac{n^2+1}{2n+3n^2}\). On factorise par \(n^2\) au numérateur et au dénominateur :

On en déduit que \[ \lim_{n\to+\infty} u_n=\frac{1}{3}\neq 0. \]

La série \(\sum u_n\) est donc divergente.

Si les méthodes précédentes n'ont rien donné et si la suite \( u \) est positive, pour étudier la nature d'une série il est en général intéressant de commencer par chercher un équivalent simple.

En effet, si u est positive et si \(u_n \sim v_n\), alors les séries \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) sont de même nature.

La stratégie consiste donc à :

• déterminer un équivalent simple de \(u_n\) (voir page méthodes de recherche d’équivalent),
• étudier la nature de la série associée.

Erreur classique

Utiliser un équivalent lorsque la suite n’est pas de signe constant, ce qui empêche toute conclusion sur la nature de la série.

Déterminer la nature de la série \[ \sum \frac{n+\ln(n)}{n^3+1}. \]

On pose \[ u_n=\frac{n+\ln(n)}{n^3+1}. \]

Comme \(\ln(n)\) est négligeable devant \(n\) lorsque \(n\to+\infty\) (croissances comparées), on a \[ n+\ln(n)\sim n. \] De plus, \[ n^3+1 \sim n^3. \] On en déduit que \[ u_n \sim \frac{n}{n^3}=\frac{1}{n^2}. \]

Or la série \[ \sum \frac{1}{n^2} \] est une série de Riemann convergente (car \(2>1\)).

Les suites en présence étant positives à partir d’un certain rang, on conclut par comparaison par équivalence que la série \[ \sum u_n \] est convergente.

Si la recherche d’un équivalent n’est pas possible et si la suite \( u \) est positive, il est souvent pertinent d’utiliser un raisonnement par comparaison.

On cherche alors à comparer le terme général \(u_n\) à celui d’une série de référence dont la nature est connue.

On utilise les résultats suivants :

• si \(0 \leqslant u_n \leqslant v_n\) à partir d’un certain rang et si la série \(\sum v_n\) converge, alors la série \(\sum u_n\) converge,
• si \(0 \leqslant v_n \leqslant u_n\) à partir d’un certain rang et si la série \(\sum v_n\) diverge, alors la série \(\sum u_n\) diverge.

Erreur classique

Comparer deux suites sans vérifier qu’elles sont positives à partir d’un certain rang.

Déterminer la nature de la série \[ \sum \frac{\ln(n)}{n}. \]

On pose \[ \forall n \in \mathbb{N}^*,\quad u_n=\frac{\ln(n)}{n}. \]

Pour tout \(n\geqslant 3\), on a \(\ln(n)\geqslant 1\), donc :

Or la série \[ \sum \frac{1}{n} \] diverge.

On en déduit par comparaison que la série \[ \sum u_n \] diverge.

Si la suite u est positive et si l’on parvient à montrer que \(u_n\) est négligeable devant une suite \(v_n\) dont la série \(\sum v_n\) est convergente, on peut conclure par comparaison.

Plus précisément, si l’on a \[ u_n = o(v_n) \quad \text{lorsque } n\to+\infty \] alors il existe \(n_0 \in \mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geqslant n_0\), on a \(0\leqslant u_n \leqslant v_n\), et la convergence de \(\sum v_n\) entraîne celle de \(\sum u_n\).

En pratique, si la suite u est positive (au moins à partir d’un certain rang), pour étudier la nature de la série \(\sum u_n\), on peut étudier la limite de la suite \((n^\alpha u_n)\).

• S’il existe un réel \(\alpha > 1\) (en général on teste \( \alpha = 2 \)) tel que \[ \lim_{n\to+\infty} n^\alpha u_n = 0 \] alors \[ u_n = o\!\left(\frac{1}{n^\alpha}\right) \] ce qui permet de prouver que la série \(\sum u_n\) converge.
• S’il existe un réel \(\alpha \leqslant 1\) (en général on teste \( \alpha = \frac{1}{2} \)) tel que \[ \lim_{n\to+\infty} n^\alpha u_n = +\infty \] (alors on essaie en général avec \(\alpha=1\) ou \(\alpha=\frac{1}{2}\)), on a : \[ \frac{1}{n^\alpha} = o(u_n) \] ce qui permet de prouver que la série \(\sum u_n\) diverge.

Erreur classique

Oublier que cette méthode nécessite que la suite soit positive (au moins à partir d’un certain rang).

Déterminer la nature de la série \[ \sum \frac{\ln(n)}{n^2} \]

On pose \[ \forall n \in \mathbb{N}^*,\ u_n=\frac{\ln(n)}{n^2} \]

Par croissances comparées, on a \[ \lim_{n \to + \infty} n^{3/2} u_n = \lim_{n \to + \infty} \frac{\ln(n)}{n^{1/2}} = 0 \] donc \[ u_n==o\!\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right) \]

Or la série \[ \sum \frac{1}{n^{3/2}} \] est une série de Riemann convergente.

Comme les termes sont positifs, la série \(\sum u_n\) est donc convergente.

Si la suite \(u\) n’est pas de signe constant, il peut être difficile d’étudier directement la nature de la série \(\sum u_n\).

Dans ce cas, il est souvent utile d’étudier la série des valeurs absolues \(\sum |u_n|\).

On sait en effet que, si la série \(\sum |u_n|\) converge, alors la série \(\sum u_n\) converge.

Erreur classique

Penser que la divergence de \(\sum |u_n|\) entraîne la divergence de \(\sum u_n\).

Déterminer la nature de la série \[ \sum \frac{(-1)^n}{n^2}. \]

On pose \[ \forall n \in \mathbb{N}^*,\ u_n=\frac{(-1)^n}{n^2}. \]

La suite \( u \) n'est pas de signe constant, donc on étudie l'absolue convergence. Or on a

Comme la série \[ \sum \frac{1}{n^2} \] est une série de Riemann convergente (car \( 2>1\), la série \(\sum u_n\) est donc absolument convergente, donc convergente.

Lorsque les méthodes précédentes ne permettent pas de conclure, on revient à la définition et on étudie la suite des sommes partielles définie par

Deux situations classiques apparaissent :

• Les séries télescopiques : lorsque le terme général peut s’écrire sous la forme \[ u_n = a_{n+1} - a_n, \] la somme partielle se simplifie et on obtient \[ S_n = a_{n+1} - a_0. \] La nature de la série se déduit de la nature de la suite \((a_n)\).
• Les séries à termes positifs : si la suite \(u\) est positive, la suite des sommes partielles est croissante. On peut alors utiliser le théorème de la limite monotone :
  • si \((S_n)\) est majorée, la série converge,
  • si \((S_n)\) n’est pas majorée, la série diverge.

Déterminer la nature de la série \[ \sum \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right). \]

On pose \[ \forall n \in \mathbb{N}^*,\ u_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}. \]

On remarque que la série est télescopique, et on a ainsi

On en déduit que :

La série est donc convergente.

Lorsque le terme général de la série est de la forme \(u_n=f(n)\), où \(f\) est une fonction continue, positive et décroissante sur \(\mathbb{R}_+\), on peut utiliser une comparaison série-intégrale.

Le résultat n’est pas explicitement au programme ; cependant la méthode de démonstration est souvent demandée et repose sur la méthode des rectangles.

On procède alors de la manière suivante :

• On commence par utiliser la monotonie de \(f\) pour remarquer que : \[ \forall k \in \mathbb{N},\quad \forall t \in [k,k+1],\quad f(k+1) \leqslant f(t) \leqslant f(k). \]
• On applique ensuite la croissance de l’intégration pour en déduire : \[ \forall k \in \mathbb{N},\quad f(k+1) \leqslant \int_k^{k+1} f(t)\,\mathrm{d}t \leqslant f(k). \]
• On en déduit un encadrement de \(u_k\) : \[ \forall k \in \mathbb{N}^*,\quad \int_k^{k+1} f(t)\,\mathrm{d}t \leqslant u_k \leqslant \int_{k-1}^{k} f(t)\,\mathrm{d}t. \]
• En sommant ces inégalités et en utilisant la relation de Chasles, on obtient : \[ \forall n \in \mathbb{N}^*,\quad \int_1^{n+1} f(t)\,\mathrm{d}t \le \sum_{k=1}^n u_k \le \int_0^{n} f(t)\,\mathrm{d}t. \]

Comme la suite des sommes partielles \((S_n)\) est croissante (car \(u\) est positive), on en déduit :

• Si la suite \[ \left(\int_0^{n} f(t)\,\mathrm{d}t\right) \] est convergente, alors \((S_n)\) est majorée, donc convergente.
• Si la suite \[ \left(\int_0^{n} f(t)\,\mathrm{d}t\right) \] est divergente, alors elle diverge vers \(+\infty\) (car elle est croissante) et la suite \((S_n)\) diverge.

Déterminer la nature de la série \[ \sum \frac{\ln(n)}{n}. \]

On pose \[ \forall n \in \mathbb{N}^*,\quad u_n=\frac{\ln(n)}{n}. \] On remarque que \(u_n=f(n)\) avec \[ f : t \mapsto \frac{\ln(t)}{t}. \]

On travaille sur \([1,+\infty[\). La fonction \(f\) est continue sur \([1,+\infty[\) et, pour tout \(t\geqslant 1\), on a \(\ln(t)\geqslant 0\), donc \(f(t)\geqslant 0\).

De plus \( f \) est dérivable sur \( [1,+\infty[ \) et on a, pour tout \(t>0\), \[ f'(t)=\frac{1-\ln(t)}{t^2}. \] Donc \[ \forall t \geqslant e,\ f'(t) \leqslant 0 \] Ainsi \(f\) est décroissante sur \([e,+\infty[\).

On peut donc appliquer la comparaison série-intégrale à partir d’un certain rang, en travaillant sur l’intervalle \([3,+\infty[\) (car \(3\geqslant e\)).

On utilise alors la monotonie de \(f\) : pour tout \(k\geqslant 3\) et tout \(t\in[k,k+1]\), on a \[ f(k+1)\leqslant f(t)\leqslant f(k) \]

Par croissance de l’intégration, on en déduit, les fonctions en présence étant continues sur \( [k,k+1] \), avec \( k \leqslant k+1 \) : \[ \forall k\geqslant 3,\ f(k+1)\leqslant \int_k^{k+1} f(t)\,\mathrm{d}t \leqslant f(k). \]

Comme \(u_k=f(k)\), on obtient : \[ \forall k\geqslant 4,\ \int_k^{k+1} f(t)\,\mathrm{d}t \leqslant u_k \leqslant \int_{k-1}^{k} f(t)\,\mathrm{d}t. \]

En sommant ces inégalités de \(k=4\) à \(n\) et en utilisant la relation de Chasles, on obtient : \[ \forall n\geqslant 4,\ \int_4^{n+1} f(t)\,\mathrm{d}t \le \sum_{k=4}^{n} u_k \le \int_3^{n} f(t)\,\mathrm{d}t. \]

De plus une primitive de \(t \mapsto \frac{\ln(t)}{t}\) est \(t \mapsto \frac{(\ln(t))^2}{2}\), donc : \[ \forall n\geqslant 4,\ \int_4^{n+1} f(t)\,\mathrm{d}t = \frac{(\ln(n))^2}{2}-\frac{(\ln(4))^2}{2}. \]

On en déduit que la suite \[ \left(\sum_{k=4}^{n} u_k\right)_n \] diverge également vers \(+\infty\).

Finalement, la série \[ \sum \frac{\ln(n)}{n} \] diverge.