Lorsqu’on cherche à calculer une intégrale de la forme \(\displaystyle \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\), la première question à se poser est toujours la suivante : connaît-on une primitive de la fonction \(f\), ou peut-on en obtenir une à l’aide de transformations simples ?

En effet, si \(F\) est une primitive de \(f\) sur un intervalle contenant \([a,b]\), alors on a directement

\[ \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = \left[ F(t) \right]_a^b = F(b) - F(a) \]

En pratique, on commence donc par comparer la fonction \(f\) aux fonctions de référence du cours (puissances, exponentielle, logarithme, fonctions usuelles, etc.). Cette étape suppose une parfaite maîtrise des primitives usuelles, car elle permet souvent de conclure immédiatement, sans calcul inutile.

Il arrive cependant que la fonction \(f\) ne coïncide pas exactement avec une fonction de référence, mais qu’une modification algébrique simple permette de faire apparaître une primitive connue. Il s’agit alors de transformer l’intégrande sans en modifier la nature, par exemple en ajoutant et retranchant une même quantité.

Considérons par exemple la fonction définie par \( f(t) = \dfrac{t}{t+1} \). Elle n’est pas immédiatement une fonction de référence, mais on peut remarquer qu’elle est proche de la dérivée de \( t \mapsto \ln|1+t| \). Pour faire apparaître cette structure, on écrit

\[ \frac{t}{t+1} = \frac{(t+1)-1}{t+1} = 1 - \frac{1}{t+1} \]

On en déduit alors que la fonction \( t \mapsto t - \ln|1+t| \) est une primitive de \(f\). L’intégrale se calcule donc directement à l’aide de cette primitive.

Cette première étape est essentielle : avant d’envisager un changement de variable ou une intégration par parties, il faut toujours vérifier si l’intégrale ne se ramène pas, après simplification éventuelle, à une primitive usuelle.

Calculer l’intégrale \(\displaystyle \int_1^2 \left( 3x^2 -4x+ \frac{1}{x^2} \right)\,\mathrm{d}x\)

La fonction \(x \mapsto 3x^2 -4x+ \dfrac{1}{x^2}\) est continue sur \([1,2]\) (car polynomiale + \(x \mapsto \dfrac{1}{x^2}\) est continue sur \(\mathbb{R}_+^*\)), donc l’intégrale est bien définie.

On reconnaît des dérivées usuelles :

1. \(\displaystyle x \mapsto 3x^2\) est la dérivée de \(\displaystyle x \mapsto x^3\)
2. \(\displaystyle x \mapsto -4x\) est la dérivée de \(\displaystyle x \mapsto -2x^2\)
3. \(\displaystyle x \mapsto \frac{1}{x^2}=x^{-2}\) est la dérivée de \(\displaystyle x \mapsto -\frac{1}{x}\)

Il en découle que \(x \mapsto 3x^2 -4x+ \dfrac{1}{x^2}\) est la dérivée de \(\displaystyle x \mapsto x^3-2x^2-\frac{1}{x}\), ce qui équivaut à dire que \(\displaystyle x \mapsto x^3-2x^2-\frac{1}{x}\) est une primitive de \(x \mapsto 3x^2 -4x+ \dfrac{1}{x^2}\) sur \([1,2]\). On a ainsi

\[ \begin{align*} \int_1^2 \left( 3x^2 -4x+ \frac{1}{x^2} \right)\,\mathrm{d}x &= \left[ x^3-2x^2-\frac{1}{x} \right]_1^2 \\ &= \left( 2^3-2\cdot 2^2-\frac{1}{2} \right) - \left( 1^3-2\cdot 1^2-\frac{1}{1} \right) \\ &= \left( 8-8-\frac{1}{2} \right) - \left( 1-2-1 \right) \\ &= -\frac{1}{2} - (-2) \\ &= \frac{3}{2} \end{align*} \]

Après avoir vérifié que l’intégrande n’est pas directement une fonction de référence, il faut se demander s’il est possible de faire apparaître la dérivée d’une fonction composée. Autrement dit, on cherche à écrire l’intégrande sous la forme \(\displaystyle u'(x)\,g(u(x))\).

Ce type de structure correspond à des primitives classiques, issues des dérivées usuelles. Il s’agit donc de repérer une fonction \(u\), puis de vérifier que sa dérivée apparaît (éventuellement à une constante près) dans l’intégrande.

En pratique, on rencontre très souvent les cas suivants :

• Exponentielle : faire apparaître une expression de la forme \(\displaystyle u'(x)\,\mathrm{e}^{u(x)}\), qui est la dérivée de \(\displaystyle \mathrm{e}^{u(x)}\).
• Logarithme : faire apparaître une expression de la forme \(\displaystyle \frac{u'(x)}{u(x)}\), qui est la dérivée de \(\displaystyle \ln|u(x)|\).
• Arctangente : faire apparaître une expression de la forme \(\displaystyle \frac{u'(x)}{1+u(x)^2}\), qui est la dérivée de \(\displaystyle \arctan(u(x))\).
• …

Dans chacun de ces cas, reconnaître la forme \(u'(x)\,g(u(x))\) permet d’identifier immédiatement une primitive, sans effectuer de changement de variable explicite.

Calculer l’intégrale \(\displaystyle \int_0^1 \frac{x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\).

La fonction \(x \mapsto \dfrac{x}{1+x^2}\) est continue sur \([0,1]\), donc l’intégrale est bien définie.

La fonction \(x \mapsto \dfrac{x}{1+x^2}\) n’est pas une fonction de référence. Comme il s’agit d’un quotient, on commence par chercher parmi les formes usuelles dont la dérivée est un quotient, en particulier la dérivée de la fonction \(x \mapsto \ln|u(x)|\).

On remarque alors que la dérivée de la fonction \(x \mapsto 1+x^2\) est la fonction \(x \mapsto 2x\), qui coïncide avec le numérateur à une constante multiplicative près. On peut ainsi se rapprocher de la forme \(\displaystyle \frac{u'(x)}{u(x)}\) en écrivant

\[ \frac{x}{1+x^2} = \frac12 \times \frac{2x}{1+x^2} \]

La fonction \(x \mapsto 1+x^2\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) et strictement positive sur \([0,1]\). Il en découle que la fonction \(\displaystyle x \mapsto \frac12 \ln(1+x^2)\) est une primitive de \(x \mapsto \dfrac{x}{1+x^2}\) sur \([0,1]\). On a ainsi

\[ \begin{align*} \int_0^1 \frac{x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x &= \left[ \frac12 \ln(1+x^2) \right]_0^1 \\ &= \frac12 \bigl( \ln(2) - \ln(1) \bigr) \\ &= \frac12 \ln(2) \end{align*} \]

Lorsqu’on ne peut pas identifier de primitive usuelle ou de forme classique, le réflexe est presque toujours d’envisager une intégration par parties.

L’enjeu n’est pas d’appliquer la formule mécaniquement, sans réfléchir, mais de choisir les fonctions à intégrer et à dériver de manière judicieuse.

Pour cela, on cherche en général à écrire l’intégrande sous la forme \(u'(x)\times v(x)\), où l’on choisit :

• comme fonction \(v\), une fonction que l’on ne sait pas intégrer simplement (par exemple un logarithme),
• comme fonction \(u\), une fonction qui se simplifie lorsqu’on la dérive (polynôme, logarithme, fonction algébrique simple),
• comme fonction \(u'\), une fonction dont une primitive est immédiatement connue (exponentielle, sinus, cosinus, fonction constante).

Il arrive également que l’intégrande ne soit pas explicitement écrit sous la forme d’un produit. Dans ce cas, on peut faire apparaître artificiellement un produit, en écrivant par exemple \(f(x)=f(x)\times 1\), la fonction constante \(1\) étant choisie comme fonction à intégrer.

En pratique, on cherche à obtenir après l’intégration par parties :

• soit une intégrale plus simple que l’intégrale initiale,
• soit une équation portant sur l’intégrale cherchée,
• soit une relation de récurrence entre intégrales.

Une intégration par parties pertinente doit toujours avoir un objectif clair : si elle ne simplifie pas la situation ou ne fait pas apparaître une structure exploitable, elle n’est en général pas la bonne.

Calculer l’intégrale \(\displaystyle \int_0^1 x\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x\).

La fonction \(x \mapsto x\,\mathrm{e}^x\) est continue sur \([0,1]\), donc l’intégrale est bien définie.

L’intégrande est un produit. On ne reconnaît ni primitive usuelle ni forme classique, on tente donc une intégration par parties. On choisit d’écrire l’intégrande sous la forme \(u'(x)\,v(x)\) avec

• \(u(x)=x\), fonction qui se simplifie lorsqu’on la dérive,
• \(v'(x)=\mathrm{e}^x\), dont une primitive est immédiatement connue.

On a alors \(u'(x)=1\) et \(v(x)=\mathrm{e}^x\). Les fonctions \(u\) et \(v\) étant de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([0,1]\), la formule d’intégration par parties s’applique et donne

\[ \begin{align*} \int_0^1 x\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x &= \left[ x\,\mathrm{e}^x \right]_0^1 - \int_0^1 1 \cdot \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x \\ &= \left( 1\cdot \mathrm{e} - 0 \right) - \left[ \mathrm{e}^x \right]_0^1 \\ &= \mathrm{e} - (\mathrm{e}-1) \\ &= 1 \end{align*} \]

Si aucune des méthodes précédentes n’a permis de calculer l’intégrale (primitives usuelles, formes classiques, intégration par parties), on peut envisager un changement de variable.

En pratique, et conformément au programme, lorsqu’un changement de variable est réellement nécessaire, il est le plus souvent suggéré explicitement dans l’énoncé. Il ne s’agit donc pas d’une technique à appliquer au hasard, mais d’un outil à utiliser lorsque la structure de l’intégrande s’y prête clairement.

La méthode consiste à remplacer la variable d’intégration par une nouvelle variable afin de simplifier l’expression intégrée. Selon la manière dont l’intégrale est écrite, on distingue les deux situations suivantes.

• Changement de variable \(t=\varphi(x)\) dans une intégrale de la forme \(\displaystyle \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\)

  On introduit une nouvelle variable \(x\) en posant \(t=\varphi(x)\), où \(\varphi\) est une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\), strictement monotone sur un intervalle \([\alpha,\beta]\), telle que \(\varphi(\alpha)=a\) et \(\varphi(\beta)=b\).

  On a alors \(\mathrm{d}t=\varphi'(x)\,\mathrm{d}x\), et l’intégrale devient

  \[ \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = \int_\alpha^\beta f(\varphi(x))\,\varphi'(x)\,\mathrm{d}x \]

• Changement de variable \(t=\varphi(x)\) dans une intégrale de la forme \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\)

  On pose cette fois \(t=\varphi(x)\), où \(x\) est l’ancienne variable et \(t\) la nouvelle. La fonction \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) et strictement monotone sur \([a,b]\).

  On exprime \(x\) en fonction de \(t\) (donc \( x = \psi(t) \) par exemple) puis on calcule \(\mathrm{d}x=\psi'(t)\,\mathrm{d}t\), afin de réécrire entièrement l’intégrande en fonction de la variable \(t\).

  Les bornes sont transformées : lorsque \(x=a\), on a \(t=\varphi(a)\), et lorsque \(x=b\), on a \(t=\varphi(b)\). L’intégrale s’écrit alors

  \[ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f\bigl(\psi(t)\bigr)\, \psi'(t)\,\mathrm{d}t \]

Ainsi, dans tous les cas, lorsqu’on effectue un changement de variable, il est essentiel de bien faire attention au sens du changement (ancienne variable en fonction de la nouvelle, ou inversement). Il ne faut également pas oublier qu’un changement de variable impose de modifier simultanément trois éléments :

• les bornes de l’intégrale,
• la variable d’intégration,
• le différentiel (le \(\mathrm{d}t\) ou le \(\mathrm{d}x\)).

Quel que soit le cas, un changement de variable pertinent doit réellement simplifier l’intégrale : s’il complique l’expression ou ne fait pas apparaître une primitive usuelle, il n’est en général pas le bon choix.

En effectuant le changement de variable \(\displaystyle t=\sqrt{1+x}\), calculer l’intégrale \(\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{1+\sqrt{1+x}}\,\mathrm{d}x\).

La fonction \(x \mapsto \sqrt{1+x}\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) et strictement croissante sur \([0,1]\) comme composée de la fonction \(x \mapsto 1+x\), de classe \(\mathcal{C}^1\), strictement croissante sur \([0,1]\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}_+^*\), par la fonction \(u \mapsto \sqrt{u}\), de classe \(\mathcal{C}^1\) et strictement croissante sur \(\mathbb{R}_+^*\).

Pour savoir comment remplacer le différentiel \(\mathrm{d}x\) en fonction de \(\mathrm{d}t\), on commence par exprimer \(x\) en fonction de \(t\). On a, pour tout \(x \in [0,1]\) et tout \(t \geqslant 0\),

\[ \begin{align*} t=\sqrt{1+x} &\Longleftrightarrow t^2 = 1+x \\ &\Longleftrightarrow x = t^2-1 \end{align*} \]

En dérivant cette relation, on obtient alors

\[ \mathrm{d}x = 2t\,\mathrm{d}t \]

On transforme ensuite les bornes : lorsque \(x=0\), on a \(t=\sqrt{1}=1\), et lorsque \(x=1\), on a \(t=\sqrt{2}\). On obtient ainsi

\[ \begin{align*} \int_0^1 \frac{1}{1+\sqrt{1+x}}\,\mathrm{d}x &= \int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{1}{1+t}\,2t\,\mathrm{d}t \\ &= 2\int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{t}{1+t}\,\mathrm{d}t \\ &= 2\int_{1}^{\sqrt{2}} \left(1-\frac{1}{1+t}\right)\,\mathrm{d}t \\ &= 2\left[ t-\ln(1+t) \right]_{1}^{\sqrt{2}} \\ &= 2\Bigl(\sqrt{2}-\ln(1+\sqrt{2})\Bigr) -2\Bigl(1-\ln(2)\Bigr) \\ &= 2(\sqrt{2}-1) +2\ln\!\left(\frac{2}{1+\sqrt{2}}\right) \end{align*} \]