On suppose que la matrice \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est diagonalisable.

La première étape consiste à déterminer une matrice diagonale \(D\) semblable à \(A\).

Les coefficients diagonaux de \(D\) sont nécessairement les valeurs propres de \(A\), chacune répétée autant de fois que la dimension du sous-espace propre associé.

Ainsi, si les valeurs propres de \(A\) sont \(\lambda_1,\dots,\lambda_r\) et si \[ \dim(E_{\lambda_1}(A))+\cdots+\dim(E_{\lambda_r}(A))=n, \] alors on peut choisir \(D\) comme une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont constitués de \[ \underbrace{\lambda_1,\dots,\lambda_1}_{\dim(E_{\lambda_1}(A))\ \text{fois}},\ \dots,\ \underbrace{\lambda_r,\dots,\lambda_r}_{\dim(E_{\lambda_r}(A))\ \text{fois}}. \]

Le choix de l’ordre des coefficients diagonaux est libre : différentes matrices diagonales \(D\) peuvent convenir.

On suppose que \(A\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) est diagonalisable et que ses valeurs propres sont \(1\) et \(2\), avec \[ \dim(E_1(A))=1 \qquad\text{et}\qquad \dim(E_2(A))=2. \]

Une première matrice diagonale semblable à \(A\) peut être choisie sous la forme \[ D_1=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2 \end{pmatrix}. \]

Un autre choix, tout aussi valable, est par exemple \[ D_2=\begin{pmatrix} 2&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2 \end{pmatrix}. \]

Les matrices \(D_1\) et \(D_2\) ont les mêmes coefficients diagonaux, à l’ordre près.

Elles sont donc toutes deux semblables à \(A\) (et, en particulier, semblables entre elles).

On suppose que \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est diagonalisable et que l’on a choisi une matrice diagonale \(D\) semblable à \(A\).

Pour construire une égalité \(A=PDP^{-1}\), on procède ainsi :

• pour chaque valeur propre \(\lambda\) de \(A\), on détermine une base du sous-espace propre \(E_\lambda(A)\),
• on concatène ces bases pour former une famille \((X_1,\dots,X_n)\) de \(n\) vecteurs propres linéairement indépendants,
• l’ordre des vecteurs propres \(X_1,\dots,X_n\) doit être exactement le même que l’ordre des valeurs propres apparaissant sur la diagonale de \(D\),
• on définit \(P\) comme la matrice dont les colonnes sont \(X_1,\dots,X_n\).

Alors \(P\) est inversible et on a \[ AP=PD, \] donc \[ A=PDP^{-1}. \]

Erreur classique

Choisir correctement les vecteurs propres mais dans un ordre incompatible avec celui des coefficients diagonaux de \(D\).

On considère la matrice \[ A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}. \]

On admet que \(A\) est diagonalisable, que ses valeurs propres sont \(0\) et \(3\), et que \[ E_0(A)=\mathrm{Vect}(X_1,X_2) \quad\text{et}\quad E_3(A)=\mathrm{Vect}(X_3) \] avec \[ X_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}, \qquad X_2=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}, \qquad X_3=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}. \]

• Premier choix
  On choisit \[ D_1=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&3\end{pmatrix} \] et \[ P_1=\begin{pmatrix}\,|&|&|\,\\ X_1&X_2&X_3\\ \,|&|&|\,\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1&1&1\\ -1&0&1\\ 0&-1&1 \end{pmatrix}. \] Les colonnes de \(P_1\) sont associées respectivement aux valeurs propres \(0,0,3\), dans le même ordre que sur la diagonale de \(D_1\), donc \[ A=P_1D_1P_1^{-1}. \]
• Deuxième choix
  On choisit \[ D_2=\begin{pmatrix}3&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} \] et \[ P_2=\begin{pmatrix}\,|&|&|\,\\ X_3&X_1&X_2\\ \,|&|&|\,\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&-1&0\\ 1&0&-1 \end{pmatrix}. \] Les colonnes de \(P_2\) sont associées respectivement aux valeurs propres \(3,0,0\), dans le même ordre que sur la diagonale de \(D_2\), donc \[ A=P_2D_2P_2^{-1}. \]

Les couples \((P_1,D_1)\) et \((P_2,D_2)\) conviennent tous les deux : le choix n’est pas unique, mais l’ordre des colonnes de \(P\) doit toujours correspondre à l’ordre des coefficients diagonaux de \(D\).