Comment étudier l’inversibilité d’une matrice ?
Une méthode en 4 questions réflexes pour décider vite si \(A\) est inversible (et pourquoi)
Pour déterminer efficacement si une matrice carrée \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est inversible, il est essentiel de choisir le bon critère en fonction de la forme de la matrice et des informations dont on dispose.
Les questions réflexes
Pour étudier l’inversibilité d’une matrice, on se pose toujours les questions dans le même ordre. Chaque question correspond à un critère simple, adapté à une situation précise.
La matrice \(A\) est-elle carrée d’ordre 2 ?
Démarche
Si \( A= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \) est une matrice carrée d’ordre \(2\), le plus rapide pour étudier l’inversibilité de \(A\) est de calculer son déterminant.
\[ A \text{ est inversible} \;\Longleftrightarrow\; \det(A)\neq 0 \]
où \( \det(A)=ad-bc. \)
Invisibilité d'une matrice carrée d'ordre 2
Se souvenir que, si \(A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), alors
\[ A \text{ est inversible} \;\Longleftrightarrow\; \det(A)\neq 0 \]
Plus précisément, si
\[ A= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}, \]
alors \(A\) est inversible si et seulement si \(ad-bc\neq 0\), et, dans ce cas,
\[ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}. \]
Exemple
Soit
\[ A= \begin{pmatrix} 2+\lambda & 1\\ 3 & \lambda \end{pmatrix}. \]
Déterminer, selon la valeur du réel \(\lambda\), si la matrice \(A\) est inversible.
Corrigé.
La matrice \(A\) est une matrice carrée d’ordre \(2\). Le plus rapide pour étudier son inversibilité est donc de calculer son déterminant.
\[ \det(A) = (2+\lambda)\lambda-3 = \lambda^2+2\lambda-3. \]
La matrice \(A\) est inversible si et seulement si \(\det(A)\neq 0\), c’est-à-dire si et seulement si
\[ \lambda^2+2\lambda-3\neq 0. \]
On factorise :
\[ \lambda^2+2\lambda-3=(\lambda-1)(\lambda+3). \]
Ainsi,
\[ \det(A)=0 \;\Longleftrightarrow\; \lambda\in\{-3,1\}. \]
On en déduit que la matrice \(A\) est inversible pour tout réel \(\lambda\) différent de \(-3\) et de \(1\), et non inversible pour \(\lambda=-3\) ou \(\lambda=1\).
La matrice \(A\) est-elle diagonale, triangulaire ?
Démarche
Si \(A\) est une matrice diagonale ou triangulaire, l’étude de son inversibilité est immédiate : il suffit d’examiner ses coefficients diagonaux.
- Si \(A=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\), alors \(A\) est inversible si et seulement si \(\forall i\in\{1,\dots,n\},\ \lambda_i\neq 0\).
- Si \(A\) est triangulaire, alors \(A\) est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls.
Erreur classique
- Conclure sur l’inversibilité d’une matrice en regardant uniquement ses coefficients diagonaux alors que la matrice n’est pas triangulaire.
Inversibilité d'une matrice triangulaire
Se souvenir que, si \(A\) est une matrice diagonale ou triangulaire, alors son inversibilité se lit directement sur la diagonale.
\[ A \text{ est inversible} \;\Longleftrightarrow\; \text{tous ses coefficients diagonaux sont non nuls}. \]
Exemple
Soit
\(A=\begin{pmatrix}2&-1&3\\0&1&4\\0&0&\lambda\end{pmatrix}\)
La matrice \(A\) est inversible si et seulement si \(\lambda\neq 0\).
La matrice \(A\) possède-t-elle une ligne ou une colonne nulle ?
Démarche
Si \(A\) possède une ligne entière nulle ou une colonne entière nulle, alors \(A\) n’est pas inversible.
- Si une ligne de \(A\) est entièrement nulle, alors \(A\) n’est pas inversible.
- Si une colonne de \(A\) est entièrement nulle, alors \(A\) n’est pas inversible.
Lien entre ligne (ou colonnes) et inversibilité
Se souvenir que, pour une matrice carrée \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on a
\[ A \text{ est inversible} \;\Longleftrightarrow\; \operatorname{rg}(A)=n. \]
En particulier, si \(A\) possède une ligne nulle ou une colonne nulle, alors
\[ \operatorname{rg}(A)\leqslant n-1<n, \]
donc \(A\) n’est pas inversible.
Exemple
Soit
\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\-1&4&5\end{pmatrix}\)
La deuxième ligne est nulle, donc \(A\) n’est pas inversible.
Une colonne (ou une ligne) de \(A\) peut-elle s’exprimer comme combinaison linéaire des autres ?
Démarche
Si une colonne (ou une ligne) de \(A\) s’écrit comme combinaison linéaire des autres, alors les colonnes (ou les lignes) sont liées et \(A\) n’est pas inversible.
Erreur classique
- Affirmer que les colonnes (ou les lignes) forment une famille libre sans vérification.
Lien entre rang d'une matrice et inversibilité
Se souvenir que, pour une matrice carrée \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), le rang de \(A\) est égal au nombre maximal de colonnes (ou de lignes) linéairement indépendantes.
En particulier, si une colonne de \(A\) s’exprime comme combinaison linéaire des autres, alors les colonnes sont liées et
\[ \operatorname{rg}(A)\leqslant n-1<n, \]
donc \(A\) n’est pas inversible.
De plus, comme \(A\) et \({}^tA\) ont le même rang, le même raisonnement s’applique aux lignes :
\[ \text{les lignes de } A \text{ sont libres} \;\Longleftrightarrow\; \operatorname{rg}(A)=n. \]
Exemple
Soit
\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\-1&1&2\end{pmatrix}\)
La deuxième colonne est égale à \(2\) fois la première, donc les colonnes sont liées et \(A\) n’est pas inversible.
Est-ce que je dispose d’un polynôme annulateur de \(A\) ?
Démarche
Si \(P\) est un polynôme annulateur de \( A\) (i.e. si \(P(A)=0\)), on peut souvent conclure rapidement quant à l'invisibilité de \( A \).
- Si \( 0 \) n'est pas racine de \(P\), on peut isoler le coefficient constant et écrire \[ P(X)=XQ(X)+a \] avec \(a\neq 0\). En évaluant en \(A\), on obtient \[ AQ(A)+aI=0\] puis \[ A \left[ \frac{1}{a}\, Q(A) \right] = A \left[ \frac{1}{a}\, Q(A) \right] A = I \] ce qui prouve que \(A\) est inversible.
Attention
Si \(P\) admet \(0\) pour racine, on ne peut en général pas conclure directement.
Il est cependant fréquent que l’on puisse raisonner par l’absurde pour prouver que \( A \) n'est pas inversible : en supposant \(A\) inversible, on multiplie \(P(A)=0\) par \(A^{-1}\) pour obtenir une relation plus simple et manifestement fausse.
Polynôme annulateur
On appelle polynôme annulateur d’une matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) tout polynôme \(P \in \mathbb{R}[X]\), non nul, tel que
\[ P(A)=0. \]
Exemple
Exemple 1
Soit \(A\) telle que
\(A^2+2A+3I=0\)
On a \(A(A+2I)+3I=0\), donc \(A\) est inversible.
Exemple 2
Soit \(A\) telle que
\(A^2+A=0\)
On suppose \(A\) inversible. En multipliant par \(A^{-1}\), on obtient \(A+I=0\), donc \(A=-I\). On en déduit que \(A\) est inversible si et seulement si \(A=-I\).
Puis-je résoudre l’équation \(AX=0\) ?
Démarche
Si aucune des questions précédentes ne permet de conclure rapidement, on revient au critère le plus général.
Si \(A\) est une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), alors
\[ A \text{ est inversible} \;\Longleftrightarrow\; \forall X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}), \ (AX=0 \Rightarrow X=0). \]
Autrement dit, la matrice \(A\) est inversible si et seulement si l’équation matricielle \(AX=0\) n’admet que la solution triviale.
Pour appliquer ce critère en pratique, on procède toujours de la même manière :
- Poser \(X=\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}\).
- Écrire explicitement le système linéaire associé à l’équation \(AX=0\).
- Résoudre ce système (par élimination, pivot de Gauss, ou par équations successives lorsque c’est possible).
- Conclure : si la seule solution est la solution nulle, alors \(A\) est inversible ; sinon, \(A\) ne l’est pas.
Résoudre \( AX=0\) pour étudier l'invisibilité de \(A\)
Se souvenir que, si \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), alors
\[ A \text{ est inversible} \;\Longleftrightarrow\; \forall X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}), \ (AX=0 \Rightarrow X=0). \]
De plus, si l’on note \(A_1,\dots,A_n\) les colonnes de \(A\) et \(x_1,\dots,x_n\) les coefficients de \(X=\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}\), alors
\[ AX=\sum_{i=1}^n x_i A_i. \]
Résoudre l’équation \(AX=0\) revient donc à étudier la liberté des colonnes de \(A\).
Exemple
Étudions l’inversibilité de la matrice
\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]
On résout l’équation \(AX=0\) avec \(X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\).
\[ \begin{align*} AX=0 &\Longleftrightarrow \begin{cases} x+y=0\\ y+z=0\\ x+z=0 \end{cases} \\ &\Longleftrightarrow \begin{cases} x=-y\\ z=-y\\ x+z=0 \end{cases} \\ &\Longleftrightarrow \begin{cases} x=-y\\ z=-y\\ -2y=0 \end{cases} \\ &\Longleftrightarrow x=y=z=0 \\ &\Longleftrightarrow X=0. \end{align*} \]
L’équation \(AX=0\) n’admet donc que la solution triviale. La matrice \(A\) est donc inversible.