Une semaine, un classique
Probabilités : une suite de tirages de boules, simulation informatique et convergence en loi
Trois questions de cours pour te lancer
Teste ton cours en répondant aux questions suivantes, à l’oral ou en écrivant ta réponse sur une feuille. Ensuite, envoie une photo de ta réponse et demande à l’IA d’analyser ce qui est juste, ce qui manque et comment t’améliorer.
Énoncer la formule des probabilités composées pour une intersection de n événements.
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Soient \(A_1,\dots,A_n\) des événements tels que \(\mathbb{P}(A_1\cap\cdots\cap A_{n-1})>0\).
Alors :
\[\mathbb{P}(A_1\cap\cdots\cap A_n)=\mathbb{P}(A_1)\,\mathbb{P}_{A_1}(A_2)\,\mathbb{P}_{A_1\cap A_2}(A_3)\cdots \mathbb{P}_{A_1\cap\cdots\cap A_{n-1}}(A_n).\]
Définir l’espérance d’une variable aléatoire discrète dans le cas fini et dans le cas infini. Préciser la condition d’existence.
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Soit \(X\) une variable aléatoire discrète à valeurs dans \(\{x_i,\ i\in I\}\), où \(I\) est une partie de \(\mathbb{N}\).
- Cas fini : on appelle espérance de \(X\) le réel défini par
\[\mathbb{E}(X)=\sum_{i\in I} x_i\,\mathbb{P}(X=x_i).\] - Cas infini : on dit que \(X\) admet une espérance si la série
\[\sum_{i\in I} |x_i|\,\mathbb{P}(X=x_i)\]
est convergente. Dans ce cas, on définit l’espérance par
\[\mathbb{E}(X)=\sum_{i\in I} x_i\,\mathbb{P}(X=x_i).\]
Définir la convergence en loi d’une suite de variables aléatoires.
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On dit que \(X_n\) converge en loi vers \(X\) si, pour tout réel \(x\) point de continuité de \(F_X\),
\[\lim_{n\to+\infty} F_{X_n}(x)=F_X(x)\]
où, pour toute variable aléatoire \(Y\), \(F_Y : x \mapsto \mathbb{P}(Y \leqslant x)\) est la fonction de répartition de \(Y\).
Mini-exercices : vérifie que les bases sont maîtrisées
Quelques exercices rapides pour passer du cours à l’action. L’objectif : réfléchir, répondre à la question, puis laisser l’IA te dire où tu en es et comment progresser.
On désigne par \(p \in\, ]0,1[\) et on dispose d’une pièce donnant pile avec probabilité \(p\).
Un joueur réalise un premier lancer et, s’il obtient pile, il gagne 1 euro et relance la pièce, sinon il est éliminé et ne gagne rien. Plus généralement, tant qu’il obtient pile, il gagne 1 euro pour chaque pile et relance la pièce. Il est éliminé dès qu’il obtient face.
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on note \(G_n\) l’événement « le joueur gagne exactement \(n\) euros ».
Calculer \(\mathbb{P}(G_n)\).
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Cas \(n=0\). Le joueur gagne 0 euro si et seulement s’il obtient face au premier lancer. Donc
\[\mathbb{P}(G_0)=1-p\]
Cas \(n\geqslant 1\). Pour \(k\geqslant 1\), on note \(P_k\) l’événement « le \(k\)-ième lancer donne pile » et \(F_k\) l’événement « le \(k\)-ième lancer donne face ».
Le joueur gagne exactement \(n\) euros si et seulement s’il obtient pile aux \(n\) premiers lancers puis face au lancer suivant, donc
\[G_n=P_1\cap P_2\cap\cdots\cap P_n\cap F_{n+1}\]
On applique la formule des probabilités composées :
\[\mathbb{P}(G_n)=\mathbb{P}(P_1)\,\mathbb{P}_{P_1}(P_2)\cdots \mathbb{P}_{P_1\cap\cdots\cap P_{n-1}}(P_n)\,\mathbb{P}_{P_1\cap\cdots\cap P_n}(F_{n+1})\]
Or chaque lancer est réalisé avec la même pièce, donc, sachant que le lancer \(k\) a lieu (i.e. sachant \(P_1\cap\cdots\cap P_{k-1}\)), la probabilité d’obtenir pile est \(p\) et celle d’obtenir face est \(1-p\), c’est-à-dire
\[\mathbb{P}(P_1)=p,\quad \forall k\geqslant 2,\ \mathbb{P}_{P_1\cap\cdots\cap P_{k-1}}(P_k)=p,\quad \mathbb{P}_{P_1\cap\cdots\cap P_n}(F_{n+1})=1-p\]
Donc, pour tout \(n\geqslant 1\),
\[\mathbb{P}(G_n)=p^n(1-p)\]
On a donc, pour tout \(n\in\mathbb{N}\),
\[\mathbb{P}(G_n)=p^n(1-p)\]
Remarque. On pourrait croire à tort que les lancers sont indépendants. Ce n’est pas le cas car dès qu’un face apparaît, les lancers s’arrêtent. Par exemple
\[\mathbb{P}(F_1\cap F_2)=0\]
alors que
\[\mathbb{P}(F_1)\mathbb{P}(F_2)=(1-p)^2\]
donc \(F_1\) et \(F_2\) ne sont pas indépendants.
On fixe \(p \in\, ]0,1[\) et un entier \(r\geqslant 1\). On considère une variable aléatoire \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\) vérifiant, pour tout \(n\in\mathbb{N}\),
\[\mathbb{P}(X=n)=\binom{n+r-1}{r-1}p^r(1-p)^n\]
Étudier l’existence de l’espérance de \(X\).
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On dit que \(X\) admet une espérance si la série \(\sum n\,\mathbb{P}(X=n)\) est absolument convergente. On étudie donc la convergence de
\[\sum_{n\in\mathbb{N}} n\,\binom{n+r-1}{r-1}p^r(1-p)^n\]
- Équivalent de \(\binom{n+r-1}{r-1}\)
\[\binom{n+r-1}{r-1}=\frac{(n+1)(n+2)\cdots(n+r-1)}{(r-1)!}= \frac{n^{r-1}}{(r-1)!}\prod_{k=1}^{r-1}\left(1+\frac{k}{n}\right)\]
Le produit tend vers 1, donc
\[\binom{n+r-1}{r-1}\sim \frac{n^{r-1}}{(r-1)!}\]
- Équivalent du terme général
\[n\,\mathbb{P}(X=n)\sim \frac{p^r}{(r-1)!}\,n^r(1-p)^n\]
- Utilisation des croissances comparées pour trouver une négligeabilité utile (test de Riemann)
Par croissances comparées, \(n^{r+2}(1-p)^n \to 0\), donc \(n^r(1-p)^n=o(1/n^2)\). Ainsi
\[n\,\mathbb{P}(X=n)=o\!\left(\frac{1}{n^2}\right)\]
Or \(\sum 1/n^2\) est une série à termes positifs convergente (Riemann, \(2>1\)). Donc, par comparaison, \(\sum n\,\mathbb{P}(X=n)\) est absolument convergente et \(X\) admet une espérance.
Pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), on définit une variable aléatoire \(X_n\) par \(\mathbb{P}(X_n=0)=1-\frac{1}{n}\) et \(\mathbb{P}(X_n=1)=\frac{1}{n}\). Étudier la convergence en loi de \((X_n)\).
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Par définition,
\[\forall x\in\mathbb{R},\ F_{X_n}(x)=\mathbb{P}(X_n\leqslant x)\]
Comme \(X_n\) ne prend que les valeurs \(0\) et \(1\), on a
\[\forall x\in\mathbb{R},\ \mathbb{P}(X_n\leqslant x)=\begin{cases} 0 & \text{si } x<0,\\ \mathbb{P}(X_n=0)=1-\dfrac{1}{n} & \text{si } 0\leqslant x<1,\\ 1 & \text{si } x\geqslant 1.\end{cases}\]
D’où
\[\forall x\in\mathbb{R},\ \lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}(X_n\leqslant x)=\begin{cases} 0 & \text{si } x<0,\\ 1 & \text{si } x\geqslant 0.\end{cases}\]
Or si \(X\) est la variable aléatoire constante nulle, alors
\[\forall x\in\mathbb{R},\ \mathbb{P}(X\leqslant x)=\begin{cases} 0 & \text{si } x<0,\\ 1 & \text{si } x\geqslant 0.\end{cases}\]
Donc \(X_n\) converge en loi vers \(0\).
Un exercice sur un thème classique pour t’entraîner
Place maintenant tout en contexte avec un exercice d’annales choisi pour sa difficulté raisonnable et sa forte valeur d’entraînement. C’est l’occasion de tester ta compréhension, de te confronter à une vraie question de concours, et de profiter de l’aide de l’IA si tu en as besoin.
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