Une semaine, un classique
Analyse : suite d’intégrales, séries et informatique
Trois questions de cours pour te lancer
Teste ton cours en répondant aux questions suivantes, à l’oral ou en écrivant ta réponse sur une feuille. Ensuite, envoie une photo de ta réponse et demande à l’IA d’analyser ce qui est juste, ce qui manque et comment t’améliorer.
Énoncer les critères de comparaison pour une intégrale impropre en \(+\infty\).
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Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues et positives sur \([a,+\infty[\).
- Si \(f(x)\underset{+\infty}{\sim} g(x)\), alors les intégrales \(\int_a^{+\infty} f(t)\,dt\) et \(\int_a^{+\infty} g(t)\,dt\) sont de même nature.
-
S'il existe \(b\ge a\) tel que \(0\le f(x)\le g(x)\) pour \(x\ge b\), alors :
- si \(\int_a^{+\infty} g(t)\,dt\) converge, alors \(\int_a^{+\infty} f(t)\,dt\) converge ;
- si \(\int_a^{+\infty} f(t)\,dt\) diverge, alors \(\int_a^{+\infty} g(t)\,dt\) diverge.
-
Si \(f(x)\underset{+\infty}{=} o(g(x))\), alors :
- si \(\int_a^{+\infty} g(t)\,dt\) converge, alors \(\int_a^{+\infty} f(t)\,dt\) converge ;
- si \(\int_a^{+\infty} f(t)\,dt\) diverge, alors \(\int_a^{+\infty} g(t)\,dt\) diverge.
Énoncer la formule d’intégration par parties.
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Si \(u\) et \(v\) sont deux fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) sur un segment \([a,b]\), alors :\[\int_a^b u(t)v’(t)\,\mathrm{d}t = \big[u(t)v(t)\big]_a^b - \int_a^b u’(t)v(t)\,\mathrm{d}t\]
Donner les développements limités à l’ordre 2 au voisinage de 0 de \(x \mapsto \ln(1+x)\), \(x \mapsto \mathrm{e}^x\) et \(x \mapsto (1+x)^\alpha\).
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Au voisinage de 0, on a :
- \( \displaystyle \ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\circ(x^2)\)
- \( \displaystyle \mathrm{e}^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\circ(x^2)\)
- \( \displaystyle (1+x)^\alpha=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\circ(x^2)\)
Mini-exercices : vérifie que les bases sont maîtrisées
Quelques exercices rapides pour passer du cours à l’action. L’objectif : réfléchir, répondre à la question, puis laisser l’IA te dire où tu en es et comment progresser.
Étudier la nature de l’intégrale impropre \( \displaystyle \int_0^{+\infty} x\,\mathrm{e}^{-x}\ln(1+x)\,\mathrm{d}x\).
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La fonction \(x\mapsto x\,\mathrm{e}^{-x}\ln(1+x)\) est continue et positive sur \(\mathbb{R}_+\) comme produit de fonctions qui le sont. De plus on a :
\[\forall x\in\mathbb{R}_+^*,\ x^2\times x\mathrm{e}^{-x}\ln(1+x)=x^4\,\mathrm{e}^{-x}\times\frac{\ln(1+x)}{1+x}\times\frac{1+x}{x}\]
Or on a, par croissances comparées :
\[\lim_{x\to+\infty}x^4\,\mathrm{e}^{-x}=0\]
et :
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(1+x)}{1+x}=0\]
donc, par produit :
\[\lim_{x\to+\infty}x^2\times x\mathrm{e}^{-x}\ln(1+x)=0\]
On en déduit :
\[x\mathrm{e}^{-x}\ln(1+x)\underset{+\infty}{=}\circ\!\left(\frac{1}{x^2}\right)\]
Comme l’intégrale \(\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^2}\) est une intégrale de Riemann convergente (car \(2>1\)), on en déduit, par comparaison d’intégrales de fonctions positives, que l’intégrale \(\int_0^{+\infty}x\,\mathrm{e}^{-x}\ln(1+x)\,\mathrm{d}x\) est convergente.
À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’intégrale \(\displaystyle \int_0^{+\infty} x\,\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x\).
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Rappel important : on n’intègre pas par parties une intégrale impropre ; il faut donc se ramener à un segment \( [0,a ] \) (par exemple) puis faire tendre \( a \) vers \( + \infty \).
Les fonctions \( u : x \mapsto x \) et \( v : x \mapsto -\mathrm{e}^{-x} \) sont de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur \( \mathbb{R}_+ \) et on a :
\[\forall x \in \mathbb{R}_+,\ u'(x) = 1 \ \text{ et } \ v'(x) = \mathrm{e}^{-x} \]
On en déduit, par intégration par parties :
\begin{align*} \forall a \in \mathbb{R}_+,\ \int_0^a x \, \mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x &= \left[ - x \, \mathrm{e}^{-x} \right]_0^a - \int_0^a 1 \times (- \mathrm{e}^{-x}) \,\mathrm{d}x \\ &= - a \, \mathrm{e}^{-a} - \int_0^a - \mathrm{e}^{-x} \,\mathrm{d}x \\ &= - a \, \mathrm{e}^{-a} - \left[ \mathrm{e}^{-x} \right]_0^a \\ &= - a \, \mathrm{e}^{-a} - \mathrm{e}^{-a} + 1 \end{align*}
d'où, notamment par croissances comparées :
\[ \lim_{a\to + \infty} \int_0^a x \, \mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x = 1 \]
ce qui prouve que l'intégrale \( \displaystyle \int_0^{+\infty} x\,\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x \) est convergente et égale à \( 1 \).
Étudier la nature de la série de terme général \(\displaystyle u_n=\ln\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}\).
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On utilise le développement limité de \(\ln(1+x)\) à l’ordre 2 au voisinage de 0 :
\[\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)\]
En prenant \(x=\dfrac{1}{n}\) (qui tend bien vers \(0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\)), on obtient :
\[\ln\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n^2}+o\!\left(\dfrac{1}{n^2}\right)\]
puis :
\[\ln\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{1}{2n^2}+o\!\left(\dfrac{1}{n^2}\right)\]
et ainsi :
\[\ln\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}\sim\dfrac{1}{2n^2}\]
Or la série de Riemann \(\sum\dfrac{1}{2n^2}\) est convergente (car \(2>1\)). Par comparaison de séries à termes positifs, la série \(\sum u_n\) est convergente.
Un exercice sur un thème classique pour t’entraîner
Place maintenant tout en contexte avec un exercice d’annales choisi pour sa difficulté raisonnable et sa forte valeur d’entraînement. C’est l’occasion de tester ta compréhension, de te confronter à une vraie question de concours, et de profiter de l’aide de l’IA si tu en as besoin.
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